Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).
Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство
Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства
откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .
Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).
Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.
Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом rb .
Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.
Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство
где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:
где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.
Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле
где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .
Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства
Следовательно, справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:
Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:
Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности
,
что и требовалось доказать.
Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле
Доказательство . Перемножим формулы
что и требовалось доказать.
Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:
Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим
Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
МАТЕМАТИКА
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и проведем биссектрису 
. Затем продолжим эту биссектрису за точку 
до пересечения в точке 
с биссектрисой внешнего угла при вершине В (рис.1). Поскольку точка лежит на биссектрисе угла А, то она равноудалена от прямых АВ и ВС. Следовательно, она равноудалена и от прямых АС и ВС, а значит, лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине С.
Продолжение биссектрисы треугольника, проведенной из одной из вершин, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке.
Поскольку точка равноудалена от сторон внешних углов при вершинах В и С, то окружность с центром , касающаяся стороны ВС, касается также и продолжений сторон АВ и АС (рис.2).
Эта окружность называется вневписанной окружностью треугольника АВС. Ясно, что любой треугольник имеет три вневписанных окружности. (рис.3).
Положение центра вневписанной окружности можно охарактеризовать так: это точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах В и С. Можно охарактеризовать его и совершенно иначе, если заметить, что точки , В и С и центр О вписанной в треугольник АВС окружности лежат на одной окружности с диаметром 
(рис.4), – это следует из того, что углы 
и 
прямые.
Можно сказать, таким образом, что точка представляет собой точку пересечения прямой и окружности, описанной около треугольника ВОС.
Принимая во внимание замечание в конце статьи (Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности), из этого можно сделать еще один вывод:
Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.
В самом деле, пусть D – точка пересечения продолжения биссектрисы с описанной около треугольника АВС окружностью (рис.5). Тогда согласно упомянутому замечанию DB = DC = DO. Следовательно, D – центр окружности, описанной около четырехугольника 
. Проведем из точек O, D и перпендикуляры к стороне ВС и обозначим их основания буквами P, Q и R соответственно (рис.6). Точки P и R являются точками касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной ВС, а точка Q – середина этой стороны. Но 
, значит, и PQ = QR, то есть точки P и R симметричны относительно точки Q.
Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника обладает еще одним замечательным свойством:
Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам.
Можно убедиться в этом самостоятельно, используя рис. 7.
При решении задач, связанных с нахождением площади треугольника, часто полезной бывает следующая формула. Пусть 
– радиус вневписанной окружности, касающейся стороны треугольника, равной а, р – полупериметр треугольника. Тогда
Обозначим эту формулу (1).
Действительно, если две другие стороны данного треугольника равны b и c (рис. 8), то
Замечание. Выпуклый четырехугольник может не иметь вписанной окружности, но он всегда имеет четыре вневписанные окружности.
Любопытно, что для площади S такого четырехугольника имеет место соотношение, похожее на формулу (1).
В самом деле, пусть стороны данного четырехугольника равны последовательно a, b, c и d; p – его полупериметр, 
и 
– радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных а и с. Допустим, что две другие стороны не параллельны (случай параллельных сторон рассмотрите самостоятельно). Продолжим их до пересечения в точке М (рис.9).
Пусть 
и 
– точки, в которых продолжения одной из сторон касаются вневписанных окружностей, причем лежит на окружности, вписанной в маленький треугольник. Площадь S четырехугольника равна, очевидно, разности площадей большого и маленького треугольников. Периметр маленького треугольника равен 
, а периметр большого треугольника равен
Применяя к большому треугольнику формулу (1), а к меньшему – формулу , выражающую его площадь через радиус вписанной окружности и полупериметр, получаем:
Обозначим эту формулу (2)
С другой стороны, из подобия треугольников 
и 
( 
и – центры вневписанных окружностей) находим 
. Но отрезок 
равен полупериметру большого треугольника, то есть 
.
Поэтому из полученной пропорции можно найти 
:
Подставляя это выражение в равенство (2) получим:
Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях
Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.
Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать
Статья «Применение свойств вневписанной окружности при решении геометрических задач»
статья по математике
Необходимость изучения теории о замечательных точках треугольника, о вневписанной окружности и ее свойствах вызвана тем, что многие выпускники школ даже не приступают к задачам раздела С4. Актуальность изучения данной темы в том, что чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов и выпускников, участников математических олимпиад. Познакомить выпускников с понятием вневписанной окружности и ее свойствах необходимо как для расширения их кругозора, так и для умения решать задачи повышенной сложности.
Видео:✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| statya_svoystva_vnevpisannoy_okruzhnosti_pri_reshenii_geometricheskih_zadach.docx | 237.96 КБ |
Видео:Вневписанная окружностьСкачать
Предварительный просмотр:
Применение свойств вневписанной окружности при решении геометрических задач
Необходимость изучения теории о замечательных точках треугольника, о вневписанной окружности и ее свойствах вызвана тем, что многие выпускники школ даже не приступают к задачам раздела С4. Актуальность изучения данной темы в том, что чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов и выпускников, участников математических олимпиад. Познакомить выпускников с понятием вневписанной окружности и ее свойствах необходимо как для расширения их кругозора, так и для умения решать задачи повышенной сложности. 
Данный материал был предложен учащимся для ознакомления и подготовки к ЕГЭ.
Определение: Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон .
Теорема 1: У каждого треугольника три вневписанные окружности 
1 свойство вневписанной окружности:
Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника ( ∠ A) и биссектрис двух внешних углов ( ∠ B и ∠ C).
2 свойство вневписанной окружности:
Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны. 
3 свойство вневписанной окружности:
Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам. Длина отрезка касательной, проведённой к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.
4 свойство вневписанной окружности:
Площадь треугольника равна произведению радиуса вневписанной окружности на разность периметра и длины стороны треугольника касающейся вневписанной окружности
5 свойство вневписанной окружности:
где r, r a , r b , r c – соответственно радиусы вписанной и вневписанных окружностей
6 свойство вневписанной окружности: 
7 свойство вневписанной окружности: 
8 свойство вневписанной окружности : 
9 свойство вневписанной окружности
Определение: Ортотреугольник это треугольник
∆abc вершины которого являются основаниями высот треугольника АВС.
Для ортотреугольника ( треугольника ∆abc) сам треугольник АВС является треугольником трех внешних биссектрис. Отрезки АВ, ВС и СА являются тремя внешними биссектрисами треугольника ∆abc. 
Исходный треугольник АВС является ортотреугольником треугольника OaObOc.
Применение свойств к решению задач части С4 из банка ЕГЭ
Задача 1.
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
«Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6».
Решение: Согласно свойству 6, произведение радиусов можно найти по формуле
r a r b r c = rp 2 , где r-радиус вписанной в треугольник окружности, а р – полупериметр треугольника. Р = 4+5+6=15, р = 15/2.
r = S/p. Площадь найдем по формуле Герона: S = 
Тогда r a r b r c = 
Ответ: 
Задача 2
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
«Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21».
Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через радиус описанной окружности.
S= 
, тогда abc=S·4R. 4R=r a +r b +r c -r; S = r a r b r c /p;
р 2 = r a r b +r a r c +r b r c ; p²=9·18+9·21+18·21=27²; S=9·18·21/27=126;
4R = r a + r b + r c — r; r = r a ·r b ·r c /p²; r = 9·18·21/27² = 14/3;
4R = 9+18+21- 14/3 = 130/3; abc = 126·130/7=5460
Задачи повышенной сложности
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.
Решение. 
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = b , BC = a и гипотенузой AB = c.
Пусть окружность с центром O c радиуса r c касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC
− в точках M и N соответственно, а p — полупериметр треугольника ABC.
Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что CM = CB + BM = CB + BT и CN = CA + AN = CA + AT , поэтому 
а так как CM = CN , то CM = p. Далее, пусть окружность с центром O a радиуса r a касается катета BC в точке K , а продолжений сторон AB и AC — в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем AQ = AP = p .
Четырехугольники NO c MC и KO a QC — квадраты, поэтому 
значит , r a r c .
Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.
Таким образом, возможны только такие случаи:
- Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17 , а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7;
- либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17 .
Предположим, что r c = 17 и r a = 7 (рис. 1).
Опустим перпендикуляр O a F из центра меньшей окружности на O c N . Тогда 
Следовательно, 
Пусть теперь r b = 17 и r a = 7. (рис 2)
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки O a , C и O b лежат на оной прямой.
Ответ: 26 или 
Задание 16 № 519666
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на его основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Решение. 
а) Пусть b — боковая сторона треугольника, c — его основание, h — высота, опущенная на основание треугольника.
Радиус вневписанной окружности вычисляется по формуле 
где p — полупериметр треугольника, a — сторона, которой касается окружность.
Таким образом, 
б) Пусть O 2 — центр вписанной окружности. Проведем радиус в точку касания H . Трегольники AMC и CHO 2 подобны по двум углам, поэтому 
Так как R=h, то r= 
. Тогда CO 2 =3r. Найдем CH по теореме Пифагора. Получим, что СH= 
Тогда 
Откуда получаем 
О твет: а) R=h ч.т.д
б) точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону в отношении 2:1
Таким образом: рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся для успешной сдачи итоговой аттестации.
Список используемой литературы:
1. Березин В.И. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике – Москва: Просвещение, 1985 год.
2. Гнеденко Б.Г. Энциклопедический словарь юного математика. –Москва: Просвещение, 1985 год
5. Мальцев Д.А. « Математика. Все для ЕГЭ-2011» НИИ школьных технологий , 2010г.
6. Понарин Я.П. Элементарная геометрия / Я.П. Понарин. – Москва: МЦНМО, 2004 год.
7. Шарыгин И.Ф. « Геометрия 7-9» . учебник для общеобразовательных учреждений, — Москва. Дрофа. 2010г. (п. 8.1)
🌟 Видео
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать
Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.Скачать
Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать
ТОП-3 конструкции с окружностями для №16 из ЕГЭ 2023 по математикеСкачать
Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать
✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
Задача про две вневписанные окружности | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |Скачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать
Лекция 59. Вневписанная окружность.Скачать
Треугольник. Расстояние от вершины до точки касания вневписанной окружности. Задание 16Скачать
Вневписанная окружность треугольникаСкачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Задание 26 Вневписанная окружностьСкачать
Задание 16 ЕГЭ по математике #6Скачать
