Точки м и к окружности лежат по одну сторону (5 видео)

Точки М и К окружности лежат по одну сторону от диаметра CD (рис. 11). Найдите угол CDK, если dmk = 53

Содержание

Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
Точки м и к окружности лежат по одну сторону
Метод вспомогательной окружности. 9-й класс
🔍 Видео

Видео:ОГЭ Задание 25 Две окружностиСкачать

Ваш ответ

Видео:№113. Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведенныеСкачать

решение вопроса

Видео:Г: Две окружности лежат по одну сторону от прямой и касаются ее в точках А1 и А2. Другая прямаяСкачать

Точки м и к окружности лежат по одну сторону

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.

Точка I равноудалена от A и B, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. То же можно сказать и о J . Значит, IJ — серединный перпендикуляр к AB.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы.	2
Доказательство в целом верное, но содержит неточности.	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.	0
Максимальный балл	2

Задание 25 № 341422

Решение: IA и IB — радиусы окружности с центром в точке I => IA = IB => треугольник IAB — равнобедренный.

Проведем медиану IJ к стороне AB. Т.к. треугольник IAB — равнобедренный, то IJ также является высотой, проведённой AB => AB и IJ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Метод вспомогательной окружности. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Один мудрец сказал “ Высшее проявление духа – это разум, Высшее проявление разума – это геометрия, Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою”.

Рассмотрим один из основных геометрических методов решения задач – метод вспомогательной окружности. Предлагаю набор задач, который поможет понять и разобраться в этом методе.

При решении некоторых задач может оказаться полезной следующая теорема.

Т.1 Если для четырех точек плоскости А, В, М, К выполняется одно из следующих условий:

а) точки М и К расположены по одну сторону от прямой АВ и при этом 0 , то точки А, В, М, К расположены на окружности с диаметром АВ. (Это свойство вписанных углов сформулированное в более удобном виде для решения задач) Сформулированные выше предложения можно назвать свойства четырех точек окружности.

Т1 и Т2 и свойства вписанных углов позволяют решать некоторые интересные геометрические задачи с помощью метода, который называют методом вспомогательной окружности.

Суть метода проиллюстрируем на решении следующих задач.

В треугольнике АВС проведена высота СК. Найти длину отрезка, соединяющего точку К с серединой АС, если АС = 10см.

Проведем высоту АМ, тогда углы АКВ и АМВ равны по 90 0 , значит точки А, К, М, В лежат на одной окружности и АВ – диаметр.(На рисунке окружность изображена штриховой линией, хотя ее можно и вообще не изображать, а “представлять в уме”) Точка О – середина АС по условию

Следовательно, АО = ОВ = КО = r = 5 см. (рис. 3)

Рис. 3

В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О.

0 , 0 , 0 . Найти углы САD и АDС.

Рис. 4

0 – 49 0 = 62 0 .Таким образом В и С лежат по одну сторону от АD и углы АВО и АСD равны значит точки А, В, С, D лежат на одной окружности. 0 , отсюда 0 – 111 0 = 69 0 .

2. дуга АDС равна 222 0 . Значит дуга DС равна 222 0 – 124 0 = 98 0 . Угол САD вписанный и равен 49 0 . Ответ: 0 0

В окружности проведены параллельные хорды АВ, FC, ED известно, что AD ∩ CE = M,

BE ∩FD = N доказать, что МN ║ АВ.

Обозначим равные дуги АF и ВС – α, тогда , то около четырехугольника ARHQ можно описать окружность, приняв отрезок АН за диаметр. Построив ее, замечаем, что 0 , то точки В, Н, А₁ и С₁ лежат на одной окружности с диаметром ВН. Следовательно, 0 , что и требовалось доказать.

Рис. 8

Рис. 9

Точки м и к окружности лежат по одну сторону

б) Рисунок 9 иллюстрирует случай, когда в треугольнике АВС один угол (угол В) тупой. Рассуждение является точно таким же. Только точки В₁ и Н как бы меняются местами. В этом случае точка пересечения высот оказывается расположенной вне треугольника.

Для прямоугольного треугольника точкой пересечения высот является вершина прямого угла.

Таким образом, рассмотренные задачи помогают понять суть метода вспомогательной окружности, использование которого помогает решать геометрические задачи.