Прямая проходящая через вершину а и центр о окружности

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:Окружность с центром на стороне AС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой AB вСкачать

Прямая проходящая через вершину а и центр о окружности

Подборка задач по планиметрии от aalleexx

Решения всех этих задач можно найти на странице его сайта alexlarin.net/Zadachi.html

41 задача по планиметрии МГУ
41 задача по планиметрии с решениями, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на механико-математический факультет МГУ в разные годы.
Некоторые из этих задач можно найти в вариантах других ВУЗов и олимпиадах.

читать дальше 1. Найти величины углов треугольника ABC, если известно, что медиана AM в 4 раза меньше стороны BC, а треугольник ABM — равнобедренный.
2. Около прямоугольника АВСD описали окружность. На окружности взята точка М, равноудаленная от вершин А и В. Отрезки МС и АВ пересекаются в точке Е. Найти площадь четырехугольника АМВС, если МЕ=2 см, ЕС=16 см.
3. Внутри параллелограмма АВСD взята точка К, равноудаленная от прямых AD, AB, CD. Перпендикуляр, опущенный из вершины D на сторону АВ, пересекает отрезок АК в точке М. Найти площадь параллелограмма, если DK = 2 см, AM : MK = 8 : 1, DC = 3 BC.
4. Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника АВС, проведена прямая, перпендикулярная ВО и пересекающая отрезок АВ в точке Р и продолжение отрезка ВС в точке Q так, что точка С лежит между точками В и Q. Вычислить длину отрезка ВР, если АВ = 4 см, ВС = 3 см, BQ = 5 см.
5. Через точку С проведены две прямые, касающиеся заданной окружности в точках А и В. На большей из дуг АВ взята точка D так, что CD = 3 и sin∠ACD*sin∠BCD=1/2 . Найти расстояние от точки D до хорды АВ.
6. В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и СQ на стороны ВС и АВ. Известно, что площадь треугольника АВС равна 18, площадь треугольника ВРQ равна 2, а длина отрезка PQ равна 2√2 . Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
7. В прямоугольном треугольнике АВС длина катета АВ равна 6, а длина катета ВС равна 8. Точка D делит гипотенузу АС пополам. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольник АВD и в треугольник ВСD.
8. В трапеции АВСD точка М лежит на боковой стороне АВ. О – пересечение диагонали BD и отрезка СМ. Найти площадь треугольника ВОС, если ВМ = 2АМ, СО = 5ОМ, а площадь треугольника СОD равна 1.
9. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, длина диагонали BD равна 12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников AOD и COD, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника АОВ, равен 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
10. Прямая, проходящая через вершину основания равнобедренного треугольника, делит его площадь пополам, а периметр треугольника делит на части 5 м и 7 м. Найдите площадь треугольника и укажите, где лежит центр описанной окружности: внутри или вне треугольника?
11. В треугольнике АВС длина стороны АВ равна 18, длина биссектрисы АЕ равна 4√15 , а длина отрезка ЕС равна 5. Определить периметр треугольника АВС.
12. В остроугольном треугольнике PQR, сторона РR которого равна 12, на стороны QR и PQ опущены высоты РМ и RN. Вычислить площадь четырехугольника PNMR, если известно, что площадь треугольника NQM равна 2, а радиус окружности, описанной около треугольника PQR, равен 9√2/2 .
13. На основании ВС трапеции ABCD взята точка Е, лежащая на одной окружности с точками A, C, и D. Другая окружность, проходящая через точки А,В и С, касается прямой CD. Найти ВС, если АВ=12 и ВЕ:ЕС=4:5.
14. Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность, касающаяся прямой ВС, а через вершины В и С — другая окружность, касающаяся прямой АВ. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок АС в точке Е, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F. Найти отношение AE:EC, если АВ=5 и ВС=9.
15. В треугольнике АВС с углом ∠B =50° и стороной ВС=3 на высоте ВН взята точка D, что ∠ADC =130° и AD=√3. Найти угол между прямыми AD и BC, а также ∠CBH.
16. На продолжении биссектрисы AL треугольника АВС за точку А взята такая точка D, что AD=10 и ∠BDC = ∠BAL = 60° . Найти площадь треугольника АВС.
17. Точка О лежит на диагонали АС выпуклого четырехугольника ABCD. Известно, что ОС=OD и что точка О одинаково удалена от прямых DA, AB и ВС. Найти углы четырехугольника, если ∠AOB = 110° и ∠COD = 90° .
18. Точка М лежит на боковой стороне СD трапеции ABCD. Известно, что ∠BCD = ∠CBD = ∠ABM =arccos(5/6) и AB=9. Найти ВМ.
19. Во вписанном четырехугольнике АВСD точка Х лежит на стороне AD, причем BX||CD и CX||BA. Найти ВС, если АХ=3/2 и DX=6.
20. В трапеции ABCD с боковой стороной CD=30 диагонали пересекаются в точке Е, а углы АЕD и BCD равны. Окружность радиуса 17, проходящая через точки C, D и Е, пересекает основание AD в точке F и касается прямой BF. Найти высоту трапеции и ее основания.
21. Окружность, проходящая через вершины В, С и D параллелограмма АВСD, касается прямой AD и пересекает прямую АВ в точках В и Е. Найти длину отрезка АЕ, если AD=4 и СЕ=5.
22. Две окружности с центрами О и Q, пересекающиеся друг с другом в точках А и В, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки OQ и AD пересекаются в точке Е, причем площади треугольников ОАЕ и QAE равны соответственно 18 и 42. Найти площадь четырехугольника OAQD и отношение ВС:BD.
23. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке А. прямая, проходящая через точку А, пересекает первую окружность в точке В, а вторую — в точке С. Касательная к первой окружности, проходящая через точку В, пересекает вторую окружность в точках D и Е. (D лежит между В и Е). Известно, что АВ=5, АС=4. Найти длину отрезка СЕ.
24. Через вершины А, В, С параллелограмма ABCD со сторонами АВ = 3 и ВС=5 проведена окружность, пересекающая прямую BD в точке Е, причем ВЕ=9. Найти диагональ BD.
25. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е, АВ=AD, CA — биссектриса угла С, ∠BAD =140° , ∠BEA =110° . Найти угол CDB.
26. Точка F лежит на продолжении стороны ВС параллелограмма ABCD за точку С. Отрезок AF пересекает диагональ BD в точке Е и сторону CD в точке G. Известно, что АЕ=2 см, GF=3 см. Найти отношение площадей треугольников ВАЕ и EDG.
27. Диагонали вписанного в окружность четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е, причем ∠ADC =П/8 , BD=6 и AD⋅CE=DC⋅AE. Найти площадь четырехугольника ABCD.
28. В треугольнике АВС длина АВ равна 3,∠ACB=arcsin(3/5), хорда KN окружности, описанной около треугольника АВС, пересекает отрезки АС и ВС в точках M и L соответственно. Известно, что ∠ABC = ∠CML , площадь четырехугольника ABLM равна 2, а длина LM равна 1. Найти высоту треугольника KNC, опущенную из вершины С, и его площадь.
29. В окружности проведены хорды АС и BD, пересекающиеся в точке Е, причем касательная к окружности, проходящая через точку А, параллельна BD. Известно, что CD/ED=3/2 и S_ΔABE = 8. Найти площадь треугольника АВС.
30. Треугольник АВС со стороной АВ=4 и углом ∠A =60° вписан в окружность радиуса 2√3 . Найти среднюю линию этого треугольника, параллельную АС, и расстояние между точками, в которых ее продолжение пересекает окружность.
31. В треугольнике АВС точка О – центр описанной окружности, точка R лежит на отрезке ВС и BR=RC. Описанная около треугольника BRO окружность пересекает АВ в точке Т. Найти площадь треугольника АВС, если ∠BOR =30° , RT=8, BT=6.
32. Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность, пересекающая стороны ВС и АС в точках D и Е соответственно. Площадь треугольника CDE в 7 раз меньше площади четырехугольника ABDE. Найти DE и радиус окружности, если АВ=4 и ∠C =45° .
33. В окружность вписан четырехугольник ABCD, P – точка пересечения его диагоналей, АВ=CD=5, AD > BC. Высота, опущенная из точки В на сторону AD, равна 3, а площадь треугольника ADP равна 25/2 . Найти стороны AD, BC и радиус окружности.
34. На боковой стороне АВ трапеции АВСD взята такая точка М, что AM:BM=2:3. На противоположной стороне CD взята такая точка N, что отрезок MN делит трапецию на части, одна из которых по площади втрое больше другой. Найти отношение CN:DN, если BC:AD=1:2.
35. На сторонах АВ, ВС и АC треугольника АВС взяты точки D, E и F соответственно. Отрезки АЕ и DF проходят через центр вписанной в треугольник окружности, а прямые DF и ВС параллельны. Найти длину отрезка ВЕ и периметр треугольника АВС, если ВС=15, BD=6, CF=4.
36. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали АC и BD пересекаются в точке Е. Вокруг треугольника ЕСВ описана окружность, а касательная к этой окружности, проведенная в точке Е, пересекает прямую AD в точке F таким образом, что точки A, D и F лежат последовательно на этой прямой. Известно, что AF=a, AD=b. Найти EF.
37. Найти стороны треугольника, если высота, опущенная на одну из сторон имеет длину 6, радиус вписанной окружности — 2, радиус описанной окружности — 5.
38. В треугольнике ABC дано: |AB|=√14 , |BC| =2 ; окружность, проходящая через точку B , середину отрезка BC и касающаяся стороны AC пересекает отрезок AB в точке E . Найти отношение, в котором данная окружность делит отрезок AB, если DE — диаметр этой окружности.
39. Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит медиану BM на три равные части. Найти соотношение |BC|:|CA|:|AB|.
40. Треугольник ABC — остроугольный, ∠BAC =α . На стороне BC как на диаметре построена полуокружность; P и Q — точки пересечения этой полуокружности со сторонами AB и AC соответственно. Найти отношение площадей треугольников ABC и PAQ .
41. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, лежащих по разные стороны от прямой АВ. Касательные к этим окружностям в точках С и D пересекаются в точке Е. Найти АЕ, если АВ=10, АС=16, AD=15.

Еще 41 задача по планиметрии

Еще 41 задача по планиметрии. Источники разные — мехмат, физфак, некоторые другие факультеты МГУ и другие ВУЗы.

читать дальше 1. Дан квадрат ABCD. На стороне АВ лежит точка К, на стороне ВС – точка L, на стороне CD – точка М. Четырехугольник AKLM – равнобокая трапеция. Найти сумму оснований трапеции, если АК = 5 и MD = 2.
2. В равнобедренном треугольнике АВС со сторонами АВ=ВС=4 и АС=2 проведены высоты АА1 и ВВ1. Прямая А1В1 пересекает прямую АВ в точке К. Найти длину АК.
3. В прямоугольном треугольнике АВС (∠С=90°) медианы СС1 и ВВ1 перпендикулярны друг другу. Найти длину большей из этих медиан, если длина третьей медианы AA1=3√3 .
4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса CD. Прямая, перпендикулярная CD и проходящая через D, пересекает АС в точке Е. Найти ЕС, если AD = 1.
5. В треугольнике АВС угол А равен 60°. На стороне АВ взята точка К так, что AK=AC/2 . Найти ВК, если расстояние от центра описанной около треугольника АВС окружности до стороны АС равно a.
6. В равнобедренном треугольнике АВС, в котором АВ = ВС = 10 и АС = 16, найти расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис.
7. Точки К и L лежат на стороне АС треугольника АВС. Прямые ВК и BL пересекая медиану АМ, делят ее на три равные части. Найти длину стороны АС, если KL = 6.
8. В трапеции ABCD углы A и D при основании AD соответственно равны 60° и 30°. Точка N лежит на основании ВС, причем BN/NC=2 . Точка М лежит на основании AD, прямая MN перпендикулярна основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найти AM/MD.
9. Диагональ АЕ является биссектрисой угла BAD трапеции ABCD. В треугольник ABE вписана окружность. Хорда MN=2. Вычислить угол MON, если AB=4.
10. В прямоугольную трапецию ABCD вписана окружность, которая касается сторон трапеции в точках K, L, M, N. Найти BC/AD, если площадь четырехугольника KLMN относится к площади трапеции как 3:10.
11. Найти площадь параллелограмма ABCD со сторонами AB=2, BC=3, если диагональ АС перпендикулярна отрезку ВЕ, соединяющему вершину В с серединой стороны AD.
12. В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка D, а на стороне АВ – точка К, так что BD:DC=1:2 и BK:KA=4:1. Отрезки AD и СК пересекаются в точке Е. Найти отношение площадей треугольников KBD и KDE.
13. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС АВ:АС=3:4. Точка L – середина стороны АВ, а точка О – центр вписанной окружности. Отрезок, проведенный через точки L и О, пересекает сторону ВС в точке К. Найти отношение ВК:КС.
14. В треугольнике АВС длины сторон АВ, ВС, АС относятся как 4:2:3. На стороне АВ выбрана точка К, а на стороне ВС – точка L так, что отрезок KL перпендикулярен стороне АВ и касается вписанной в треугольник АВС окружности. Найти АК:АВ.
15. Площадь треугольника АВС равна 70. Биссектриса AD делит сторону ВС на отрезки так, что BD:DC=3:2. На стороне АC выбрана точка К такая, что биссектриса АВ пересекает ВК в точке Е и ВЕ:ЕК=5:2. Найти площадь четырехугольника EDCK.
16. В трапеции ABCD точка Е лежит на основании AD, а точка К – на основании ВС, причем АЕ:ЕD=3:4, BK:KC=2:3. Отрезок ЕК пересекает диагональ BD в точке N, а диагональ АС – в точке М, причем BN:ND=1:2. Найти отношение MN:EK.
17. В трапеции ABCD AD=8, BC=2. Параллельно AD и ВС проведена прямая, пересекающая АВ в точке Р, диагональ АС – в точке L, диагональ BD – в точке R, а сторону CD – в точке Q, причем PL=LR. Найти длину PQ.
18. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC биссектриса угла А пересекает боковую сторону CD в точке Е. Найти площадь треугольника АВЕ, если AD=2BC, AD=AB, а площадь трапеции равна 18.
19. В равнобедренной трапеции ABCD AD=14, BC=2. Окружность касается сторон АВ, ВС, CD. Боковая сторона трапеции делится точкой касания в отношении 1:9, считая от меньшего основания. Найти радиус окружности.
20. Площадь параллелограмма ABCD равна 36. Точка Е делит сторону CD пополам. Биссектриса угла АВС пересекает отрезок АЕ в точке О. Найти площадь четырехугольника OBCE, если AD=4AB.
21. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС радиус вписанной окружности относится к высоте AD как 3:11. Вписанная окружность касается стороны АВ в точке Р, а стороны АС – в точке Q. Найти отношение площади треугольника APQ к площади четырехугольника BPQC.
22. Окружность касается стороны АС треугольника АВС и продолжения стороны АВ за точку А, а продолжения стороны ВС – за точку С. Найти отношение ее радиуса к радиусу вписанной в треугольник АВС окружности, если периметр треугольника АВС равен 8, а длина АС=3.
23. Окружность, вписанная в равнобокую трапецию ABCD, касается основания AD в точке N, а боковой стороны АВ – в точке М. Диагональ АС пересекает отрезок MN в точке К, NK=2MK, BC=2. Найти радиус окружности.
24. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АВ в точке М. Точка N – середина ВС. Площадь треугольника NBM относится к площади четырехугольника AMNC как 5:11. Найти отношение (BC-AC)/AB .
25. В равнобокой трапеции ABCD AD=10, BC=2, AB=CD=5. Биссектриса угла BAD пересекает продолжение стороны ВС в точке К. Найти длину биссектрисы угла В в треугольнике АВК.
26. В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найти площадь трапеции.
27. Окружность радиуса 1 вписана в треугольник АВС, в котором cos∠B= 0,8. Эта окружность касается средней линии треугольника АВС, параллельной стороне АС. Найти длину стороны АС.
28. В треугольнике АВС биссектриса угла АВС пересекает сторону АС в точке К. Известно, что ВС=2, КС=1, BK=3√2/2 . Найти площадь треугольника АВС.
29. В трапеции ABCD даны основания AD=12 и ВС=3. На продолжении стороны ВС выбрана точка М такая, что прямая АМ отсекает от трапеции треугольник, площадь которого составляет 0,75 площади трапеции. Найти СМ.
30. В треугольнике АВС из вершин А и С на стороны ВС и АВ опущены высоты АР и СК. Найдите сторону АС, если известно, что периметр треугольника АВС равен 15, периметр треугольника ВРК равен 9, а радиус окружности, описанной около треугольника ВРК, равен 1,8.
31. В треугольнике АВС высота BD равна 6, а медиана СЕ равна 5. Расстояние от точки пересечения отрезков BD и СЕ до стороны АС равно 1. Найдите сторону АВ.
32. Отрезок КВ является биссектрисой треугольника KLM. Окружность радиусом 5 проходит через вершину К, касается стороны LM в точке В и пересекает сторону KL в точке А. Найти площадь треугольника KLM, если ML=9√3, KA/LB = 5/6 .
33. Сторона ВС треугольника АВС равна 4, сторона АВ равна 2√19. Известно, что центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника АВС лежит на биссектрисе угла С. Найти АС.
34. Через точку А окружности радиуса 10 проведены две взаимно перпендикулярные хорды АВ и АС. Вычислить радиус окружности, касающейся данной окружности и построенных хорд, если АВ = 16.
35. Трапеция ABCD с основаниями AD=6 и BC=4 и диагональю BD=7 вписана в окружность. На окружности взята точка K, отличная от точки D так, что BK=7. Найти длину отрезка AK.
36. В треугольнике АВС ∠ABC=60° , АВ=6, ВС=4. Найти площадь полукруга с диаметром на прямой АС, касающейся сторон АВ и ВС.
37. На прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 12, взяты точки А и В так, что ОА=15, АВ=5. Из точек А и В проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой ОВ. Найти площадь треугольника АВС, где С – точка пересечения этих касательных.
38. Окружность касается сторон АВ и ВС треугольника АВС в точках D и Е. Найти высоту треугольника АВС, опущенную из точки А, если АВ=5, АС=2, а точки А, D, E и С лежат на одной окружности.
39. В трапеции АВСЕ основание АЕ равно 16, CE=8√3 . Окружность, проходящая через точки А, В и С, вторично пересекает прямую АЕ в точке Н, угол АНВ равен 60°. Найти АС.
40. В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так, что АК:ВК=1:2, а на стороне ВС взята точка L так, что CL:BL=2:1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и CK. Найти площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQC равна 1.
41. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD равна 2, угол С равен 45°, причем прямая CD касается окружности, описанной около треугольника ABD. Найти площадь параллелограмма ABCD.

Огромная благодарность aalleexx за предоставленные материалы!!

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

16. Планиметрия

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие «буква» — «цифра» должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.

Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

В треугольнике ABC угол ABC равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.

а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите sin∠BMC, если известно, что отрезок BM в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

а) Проведем радиусы $OHperp BC$ и $OMperp AC$ с длинной $R.$ Так как центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис, то $angle OBH=30^.$ Катет, лежащий против угла в $30^$ равен половине гипотенузы $Rightarrow OB=2OH=2R.$ По неравенству треугольника для $OBM$ имеем $BM &lt OM+OB=3R.$

б) Запишем теорему косинусов для треугольника $OBM:$

$OB^=OM^-2OMcdot BMcos angle BMO,$

cos$angle BMO=displaystyle frac=0,65.$

Так как $angle OMC=90^,$ то $sin angle BMC=sin (90^+angle BMO)=cos angle BMO=0,65.$

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK=3 и MK=12.

а) Треугольники $ABD$ и $BMC$ — прямоугольные, так как опираются на диаметры окружностей. Тогда $AD$ и $CM$ перпендикулярны одной и той же прямой $DM$. Следовательно, $ADparallel MC.$

б) Пусть $O$ — центр окружности с диаметром $AB.$ Тогда отрезок $OM$ перпендикулярен $AM.$

Так как угол $AKB$ — вписанный, опирающийся на диаметр, то отрезок $KB$ перпендикулярен $AM.$ Значит, $ KBparallel OM $ и треугольники $AKB$ и $AOM$ подобны по двум углам:

$displaystyle frac=displaystyle frac=displaystyle frac=displaystyle frac,$

Проведем высоту $BP$ в треугольнике $BOP:$

Рассмотрим треугольники $ACM$ и $DCM.$ Они имеют одинаковые основания $MC$ и высоту $DM,$ а, значит, и равные площадию

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А = 45∘, В₁С₁ = 6 и площадь треугольника АВ₁С₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

a) В треугольниках $ABC$ и $AB_C_$ $angle A$ — общий. $AC$ и $AB$ — секущие, проведениные из одной точки, следовательно, $displaystyle frac<AB_>=displaystyle frac<AC_>.$ Тогда треугольники $ABC$ и $ AB_C_$ подобны по двум сторонам и углу между ними.

б) Отношение площадей подобных фигур равно квадрату линейного отношения соответсвенных элементов данных фигур:

$displaystyle frac<S_<AB_C_>><S_>=left( displaystyle frac<B_C_>right)^=left( displaystyle frac<AC_>right) ^=left( displaystyle frac<AB_>right)^=displaystyle fracRightarrow BC=3B_C_=18.$

По теореме косинусов в треугольнике $ACC_:$

По теореме синусов $ACC_:$

Искомый радиус совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $BCC_.$ по теореме синусов из треугольника $BCC_:$

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что $displaystyle frac=sin angle D$.

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны $displaystyle frac$ и $displaystyle frac$ .

а) Продолжим стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точки $R$. Окружности вписаны в угол, следовательно, их центры лежат на биссектрисе этого угла. Точка $P$ лежит на одной прямой с центрами окружности, значит, $RP$ — биссектриса треугольника $ARP.$

По теореме о биссектрисе угла треугольника $displaystyle frac=displaystyle frac=sin angle D.$

б) Введем обозначения. Пусть окружность с центром $O_$ и радиусом $displaystyle frac$ касается сторон $AB$ и $AD$ в точках $E$ и $M,$ а окружность в цетре $O_$ и радиусом $displaystyle frac$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $F$ и $N.$ Проведем перпендикуляр $O_H$ к отрезку $O_E.$ Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то $HO_FE$ — прямоугольник, а $AEO_M$ и $BNO_F$ — квадраты. Получим:

$O_H=O_E-HE=O_E-O_F=displaystyle frac-displaystyle frac=1,$

$O_O_=displaystyle frac+displaystyle frac=displaystyle frac.$

По теореме Пифагора из трегугольника $O_O_H:$

Прямые $O_H$ и $EF$ параллельны, значит треугольники $O_O_H$ и $O_RE$ подобны по признаку подобия по двум углам ($angle REO_=angle O_HO_=90^,$ $angle RO_E$ — общий). Тогда обозначим $angle O_O_H=angle O_RE=alpha .$

Из прямоугольного треугольника $O_O_H:$

$tg alpha =displaystyle frac<O_H><O_H>=displaystyle frac.$

Тогда $angle BRC=2alpha ,$ $angle BCD=angle CRB+angle RBC=90^+2alpha $ как внешний угол треугольника и $angle O_CN=displaystyle fracangle BCD=45^+2alpha $ так как центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла.

Из треугольника $O_CN$ находим:

Значит, $BC=BN+NC=displaystyle frac+displaystyle frac=displaystyle frac.$

Аналоично, $angle O_DM=tg(45^-alpha )$ и

$AD=AM+MD=displaystyle frac+displaystyle frac=displaystyle frac.$

Так как $AB=AE+EF+FB=displaystyle frac+displaystyle frac+displaystyle frac=3,$ то $S_=displaystyle fraccdot AB=displaystyle frac<displaystyle frac+displaystyle frac>cdot 3=displaystyle frac.$

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.

а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если BC = 7, AD = 23.

а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции. Так как $AD$ и $CD$ — диаметры окружностей, то $angle AMD=angle CND=90^.$ По условию $ACperp BDRightarrow ACperp BO,$ следовательно , $CN,$ $AM$ и $DO$ — высоты треугольноки $ACD.$ Они пересекаются в одной точке $P.$

Трапеция равнобедренная, а ее диагонали перпендикулярны, поэтому треугольник $BOC$ и $AOD$ — равнобедренные и прямоугольные, следовательно, $angle CBD=angle CAD=45^.$ Так как $ADperp CN,$ то $BCperp CN.$ Значит, в прямоугольных треугольниках $BCP$ и $CAN$ углы при основании равны $45^$ и треугольники являются равнобедренными, поэтому $BC=CP$ и $AN=CN.$

Прямая $CO$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$. Точка $A$ принадлежит этой прямой, поэтому $AB=AP.$

Тогда верно, что $BC+AP=AB+CP$ (то есть суммы противоположных сторон равны), следовательно, в четырехугольнике $ABCP$ можно вписать окружностью.

б) Так как $N$ — основание высоты в равнобедренной трапеции, то

$DN=displaystyle frac=displaystyle frac=8,$

По теореме Пифагора из треугольника $ACN$ $AC=sqrt<CN^+AN^>=23sqrt.$

Аналогично из треугольника $BCP$ $BP=7sqrt,$ из треугольника $CND$

Выразим площадь четырехугольника $ABCP$ двумя способами:

$S_=displaystyle fracACcdot BPcdot sin 90^=displaystyle fracP_cdot r,$

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.

а) Докажите, что $displaystyle frac=displaystyle frac$.

б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 5, а BC = 5√2.

а) Вписанные углы $BAC$ и $DAC$ равны, как опирающиеся на равные хорды, значит, $AC$ — биссектриса угла $BAD. $

Вписанные углы $ADB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому они тоже равны. Значит, треугольники $ADP$ и $ACB$ подобные по двум углам. Следовательно, $displaystyle frac=displaystyle frac.$

б) Точки $A$ и $C$ принадлежит окружности с диаметром $BD$, значит, треугольники $ABD$ и $BCD$ прямоугольные. По условию треугольник $BCD$ равнобедренный, поэтому $BD=BCsqrt=10$ и углы при основании равны $45^.$

Катет $AB$ прямоугольного треугольника $ABD$ равен половине гипотенузы $BD,$ следовательно, $angle ADB=30^,angle ABD=60^.$

Так ка центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его биссектрис, то точка $O$ лежит на биссектрисе $AC$ угла $BAD$ и на биссектрисе угла $ADB.$ Тогда $angle ACD=angle ABD=60^$ (как опирающиеся на одну хорду) и $angle ODB=displaystyle fracangle ADB=15^. $ Получаем, что $angle ODC=angle ODB+angle BDC=15^+45^=60^.$

Значит, треугольник $COD$ — равностронний со стороной $5sqrt.$

В ответе необходимо записать полученное значение пункта б), умноженное на √3, то есть 37,5.

📹 Видео

Задание 24 ОГЭ по математике #2Скачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычислениеСкачать

Урок 3. №23 ОГЭ. Касательная. Окружность с центром на стороне AC касается АВ в точке В.Скачать

№204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину ОСкачать

Геометрия В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину ВСкачать

№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярнаяСкачать

5.31.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

Задание 16 ЕГЭ по математикеСкачать

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ + ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ!Скачать

ЕГЭ по математике. Задание №16 #11Скачать

65 Вписанная окружность и окружность, проходящая через две вершины и центр вписанной окружностиСкачать

Пирамиды, в которых высота проходит через центр описанной около основания окружностиСкачать

Найти расстояние от центра окружности до вершины прямого углаСкачать

№968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).Скачать

№200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около мноСкачать

ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать

№204. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр ОСкачать