Точка внутри треугольника свойства (7 видео)

Точка внутри треугольника

Координаты треугольника

Координаты точки

Вы ввели следующие координаты многоугольника

Определение, принадлежит ли произвольная точка какому либо треугольнику (находится ли она внутри треугольника, на самом деле очень важная задача. Для нас она важна в контексте разбиения многоугольника на треугольники. Решение этой промежуточной задачи, позволит нам определять координаты центра тяжести многоугольника.

Итак, существует достаточно много вариантов определения принадлежности точки треугольнику. Могу порекомендовать ссылку. Написано достаточно подробно и рассмотрены практически все варианты.

Мы в своей реализации будем придерживаться следующего алгоритма

Пусть у нас есть треугольник

Высчитаем значение трех нижеуказанных выражений

где x0,y0 — координаты произвольной точки

Если все три значения одинакового знака, то точка внутри треугольника,

если значение равно нулю, значит точка лежит на стороне треугольника

В ином случае (если значения различные по знаку) , точка вне треугольника.

Теперь проверим наше предположение

Точка лежит внутри треугольника так как результат трех вычислений одинаков по знаку ( все они отрицательные)

В этом случае точка F лежит вне треугольника, так как знаки результирующих вычислений различны.

Хотелось бы заметить, что в случае точки Е наш бот, скажет что точка также находится внутри треугольника, хотя и находится на стороне треугольника( или как вариант в одной из вершин) . Это как уже было сказано связано с использованием этого бота, для расчета центра тяжести многоугольников.

Содержание

Как определить лежит ли точка внутри треугольника или снаружи.
Точка в треугольнике
Векторное произведение ( z — координата )
Точка внутри треугольника. Описание алгоритма.
Ззамечательные точки треугольника — свойства, применение и примеры решения
Точка пересечения медиан треугольника
Точка пересечения биссектрис треугольника
🌟 Видео

Видео:Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.Скачать

Как определить лежит ли точка внутри треугольника или снаружи.

Калькулятор поможет определить находится ли заданная точка внутри заданного треугольника. Точка и треугольник задаются декартовыми координатами на плоскости. Детально описан алгоритм вычисления.

Этот калькулятор определит где находится заданная точка внутри 2-мерного треугольника или вовне. Калькулятор использует простой алгоритм, основанный на свойствах векторного произведения. Описание этого алгоритма можно найти сразу за калькулятором.

Точка в треугольнике

Векторное произведение ( z — координата )

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

Точка внутри треугольника. Описание алгоритма.

Векторное произведение векторов a и b, заданного декартовыми координатами в пространстве для 3-х мерного правого ортонормального базиса можно выразить так:
[1].
Векторное произведение обладает свойством антикоммутативности:

Это важное свойство мы будем использовать для решения нашей задачи.

Попарное векторное произведение векторов-сторон треугольника и вектора из вершины в точку

Для того чтобы определить лежит ли точка P внутри треугольника ABC мы вычислим 3 векторных произведения: ABxAP, BCxBP and CAxCP. Так как наш треугольник и точка в 2-мерном пространстве на плоскости, третья координата z для трехмерного пространства равна нулю. Согласно формуле [1] мы можем не вычислять координаты x и y для векторного произведения, если координата z векторов-множителей равна нулю — координаты x и y результата в этом случае всегда равны нулю (результирующий псевдо-вектор перпендикулярен плоскости треугольника). Знак результата произведения для оставшейся координаты (z) зависит от относительного положения умножаемых векторов. Если первый вектор (в нашем случае это сторона треугольника) находится правее второго вектора (вектор из вершины в точку P), то координата z результата будет положительна, если первый вектор будет левее второго — отрицательна, и в противном случае, если оба вектора идут в одном и том же направлении, результат будет равен нулю.
Получив результаты по трем векторным произведениям, нам остается их проанализировать, чтобы понять лежит ли точка внутри треугольника:
Если мы имеем и положительные и отрицательные результаты, точка лежит вне треугольника, если результаты только положительные или только отрицательные, точка — внутри.
Таблица далее иллюстрирует все возможные варианты результатов векторного произведения:

Видео:Где находится точка в треугольнике заданном координатами вершин, внутри или вне треугольника.Скачать

Ззамечательные точки треугольника — свойства, применение и примеры решения

Замечательные точки треугольника не просто так описываются таким прилагательным. Для многих учеников, а начинают знакомиться с этим понятием в 8 классе, эта тема кажется наиболее интересной и простой в курсе геометрии, поэтому многочисленные теоремы и свойства запоминаются достаточно просто.

Итак, какие же четыре точки называются замечательными? Перечислим их:

точку пересечения медиан треугольника;

точку пересечения биссектрис треугольника;

точку пересечения высот треугольника;

точку пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Все точки обладают своими особенностями и свойствами, про всех есть свои теоремы и следствия из них. Кроме того, существует свойство, которое справедливо сразу для четырёх этих точек. Вне зависимости от того, медиана ли это, биссектриса или высота, все они пересекаются в одной точке.

Замечательные точки характерны не только для треугольников. Например, в трапеции так же четыре замечательные точки.

Теперь рассмотрим основные положения, связанные с замечательными точками треугольника.

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

Точка пересечения медиан треугольника

Из курса геометрии известно определение медианы треугольника.

На данном рисунке она обозначена прямой m, которая исходит из вершины А и заканчивается точкой М, являющейся центром стороны ВС.

Теперь сделаем чертёж треугольника, на котором укажем замечательную точку пересечения медиан.

Для начала постройте абсолютно любой треугольник и обозначьте его буквами А, В и С.

На отрезке АВ отметьте центр С₁, на стороне ВС центр А₁, на АС центр В_1.

Проведите 3 медианы из вершин. Из угла А – медиана АА₁,из угла В — медиана ВВ₁, из угла С — медиана СС_1.

Должно получиться так, как показано на рисунке: три проведённые линии пересекаются в одной точке G (что является их свойством).

Изучим следующее свойство точки пересечения трёх медиан треугольника.

Отрезки медианы треугольника, разделённой замечательной точкой, относятся друг к другу как 2:1. Проследим это свойство на примере используемого нами рисунка: