Пересечение трех плоскостей треугольники (2 видео)

Построение линии пересечения плоскостей, заданных различными способами

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L₁ и L₂, принадлежащих линии пересечения.

Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₁. Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1»C» и 2»3», совпадают с фронтальным следом пл. γ₁. Он обозначен на рисунке как f₀_γ₁ и расположен параллельно оси x.
Определяем горизонтальные проекции 1’C’ и 2’3′ по линиям связи.
Находим горизонтальную проекцию точки L₁ на пересечении прямых 1’C’ и 2’3′. Фронтальная проекция точки L₁ лежит на фронтальном следе плоскости γ.
Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₂. С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L₂.
Через L₁ и L₂ проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Содержание

Пересечение плоскостей, заданных следами
Пересечение плоскостей треугольников
Взаимное расположение трех плоскостей в пространстве
Точка пересечения трех плоскостей
📽️ Видео

Видео:Линия пересечения плоскостейСкачать

Пересечение плоскостей, заданных следами

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П₁ и П₂.

Находим точку L’₁, расположенную на пересечении горизонтальных следов h₀_α и h₀_β. Точка L»₁ лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L’₁.
Находим точку L»₂ на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L’₂ лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L»₂.
Проводим прямые l’ и l» через соответствующие проекции точек L₁ и L₂, как это показано на рисунке.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Видео:Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f_0σ. Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3»=A»B»∩f_0σ и 5»=A»С»∩f_0σ, определяем положение (∙)3′ и (∙)5′ по линиям связи на ΔA’B’C’.
Находим горизонтальную проекцию N’=D’E’∩3’5′ точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N» расположена на фронтальном следе f_0σ на одной линии связи с N’.

Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f_0τ. С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

Через N и K проводим искомую прямую NK – линию пересечения ΔABC и ΔDEF.

Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₂. Так как (∙)5′ находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4′, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π₂. С противоположной стороны от линии N»K» видимость треугольников меняется.

Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₁. Так как (∙)6» находится выше, чем (∙)7», то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π₁. С противоположной стороны от линии N’K’ видимость треугольников меняется.

Видео:Построить линию пересечения треугольников ABC и DEF. Определить видимость. Вариант 2Скачать

Взаимное расположение трех плоскостей в пространстве

Три плоскости в пространстве могут располагаться так и только так, как показано в следующей таблице.

Плоскости попарно не пересекаются.

Прямые, по которым третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, параллельны.

Прямые, по которым пересекаются каждые две плоскости, параллельны.

Все три плоскости имеют единственную общую точку (на рисунке — это точка S)

Все три плоскости имеют общую прямую

Фигура	Рисунок	Свойство
Три параллельные плоскости
Две параллельные плоскости, пересечённые третьей плоскостью
Третья плоскость параллельна линии пересечения первых двух плоскостей
Третья плоскость пересекает линию пересечения первых двух плоскостей
Третья плоскость проходит через линию пересечения первых двух плоскостей

Плоскости попарно не пересекаются.

Прямые, по которым третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, параллельны.

Прямые, по которым пересекаются каждые две плоскости, параллельны.

Все три плоскости имеют единственную общую точку (на рисунке — это точка S)

Все три плоскости имеют общую прямую

Видео:Взаимное пересечение двух плоскостейСкачать

Точка пересечения трех плоскостей

Чтобы найти координаты точки пересечения трех плоскостей, необходимо решить эти уравнения относительно х, у и z, при этом координаты точки пересечения должны удовлетворять уравнениям всех трех плоскостей.

Система уравнений трёх плоскостей имеет вид:

Если определитель этой системы не равен нулю,

то система имеет единственное решение и тогда три плоскости пересекаются в одной точке.

1. Если три плоскости не имеют ни одной общей точки ( или хотя бы две из них параллельны) — система уравнений не имеет решений.
2.Если плоскости имеют бесчисленное множество общих точек ( все они проходят через одну прямую), то система уравнений имеет бесчисленное множество решений.
3.Если система имеет одну общую точку, то система уравнений имеет только одно решение.

Пример 1
Исследовать, есть ли общие точки у плоскостей

x+y+z=1, x-2y-3z=5, 2x-y-2z=6

Оно имеет бесчисленное множество решений. Значит, три плоскости имеют бесчисленное множество общих точек, т. е. проходят через одну прямую.