Биссектриса треугольника изображена на рисунке (4 видео)

Биссектриса треугольника

Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

Определение . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.

На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD .

Теорема 1 . Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Доказательство . Продолжим сторону AC треугольника ABC , изображенного на рисунке 1, за точку A . Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD . Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD , поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD . Заметим также, что угол BEA равен углу DAC , поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD . Таким образом, угол EBA равен углу BEA , откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

что и требовалось доказать.

Следствие 1 . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.

что и требовалось доказать.

Следствие 2 . Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O .

Тогда справедлива формула:

что и требовалось доказать.

Теорема 2 . Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

Доказательство . Из рисунка 5 следует формула

Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC , получаем:

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6

откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

что и требовалось доказать.

Задача . Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высота CE .

Доказать, что выполнено равенство:

Решение . Поскольку CD – биссектриса угла ACB , то

Поскольку CE – высота, то

что и требовалось доказать.

Из решения этой задачи вытекает простое следствие.

Следствие . Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

Содержание

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника
Определение биссектрисы угла треугольника
Свойства биссектрисы треугольника
Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
Свойство 2
Свойство 3
Свойство 4
Свойство 5
Пример задачи
Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.
теория по математике 📈 планиметрия
Виды треугольников по углам
Виды треугольников по сторонам
Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника
Медиана
Биссектриса
Высота
Средняя линия
📸 Видео

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Видео:Найдите биссектрису угла треугольника на рисунке ★ Два способаСкачать

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Видео:3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Видео:Биссектрисы треугольника.Скачать

Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.

теория по математике 📈 планиметрия

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков.

Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами.

Виды треугольников по углам

Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные.

Остроугольные	Тупоугольные	Прямоугольные
Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого все три угла острые. На рисунке показан такой остроугольный треугольник АВС.	Тупоугольным называется треугольник, у которого есть тупой угол. В треугольнике может быть только один тупой угол. На рисунке показан треугольник такого вида, где угол М – тупой.	Прямоугольным называется треугольник, у которого есть угол, равный 90 0 (прямой угол). На рисунке угол С равен 90 0 . Такой угол в любом прямоугольном треугольнике – единственный.

Виды треугольников по сторонам

Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний.

Разносторонний	Равнобедренный	Равносторонний
Треугольник называется разносторонним, если у него длины всех сторон разные. На рисунке показан такого вида треугольник АВС.	Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. На рисунке показан равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС.	Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны равны. На рисунке показан такой треугольник, у него АВ=ВС=АС.

Видео:Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника

Медиана

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.

По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.

Биссектриса

Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам.

В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD₁, EE₁ и CC₁.

По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.

Высота

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.

На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН₁, ВН₂ и СН₃.

По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.

Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см.

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 90 0 .

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

A E A B . . = A B A F . . откуда по свойству пропорции АВ 2 =АЕ ∙ АF

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

A E A D . . = A C A F . . ; откуда выразим AD= A E ∙ A F А C . . = A E ∙ A F A C . .

Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ 2 =АЕ ∙ АF и AD= A E ∙ A F A C . .

Видим, что 36 2 =АЕ ∙ АF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD= A E ∙ A F A C . . = 36 2 54 . . = 24

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.

Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

В треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 84 0 , АD – биссектриса. Найдите угол ВАD. Ответ дайте в градусах.

Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84 0 :2=42 0

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить