Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника лежит на окружности, вписанной в этот треугольник?

Геометрия | 10 — 11 классы

Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника лежит на окружности, вписанной в этот треугольник.

Найти углы треугольника.

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Задача показалась мне интересной, и я её немного обобщил.

Пусть вписанная окружность делит медиану, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе, в отношении к : (1 — к).

В условии задачи к = 2 / 3.

Обозначим a и b — катеты, с — гипотенуза, r — радиус вписанной окружности.

Проще всего составить необходимые уравнения, воспользовавшись уравнением окружности.

Далее я покажу, как эти соотношения элементарно получаются и без координатных методов.

Расположим катеты вдоль координатных осей так, что вершина прямого угла — вначале координат (0, 0), а вершины гипотенузы — в точках (а, 0) и (0, b).

Тогда точка пересечения К медианы и вписанной окружности (их 2, нас интересует, очевидно, та, что ближе к гипотенузе) лежит на прямой y = (b / a) * x ; основание медианы — это середина гипотенузы, то есть точка с координатами (a / 2, b / 2), а координаты точки К (k * a / 2 ; k * b / 2) (в условии задачи это (a / 3, b / 3))

Уравнение вписанной окружности

(x — r) ^ 2 + (y — r) ^ 2 = r ^ 2 ;

кроме того, есть известное соотношение в прямоугольном треугольнике

Подставим (x, y) = (k * a / 2 ; k * b / 2) в уравнение окружности.

(k * a / 2 — r) ^ 2 + (k * b / 2 — r) ^ 2 = r ^ 2 ;

(на самом деле это соотношение для точки К можно выписать сразу, исходя из теоремы Пифагора, а все предыдущие «методические» приемы просто опустить : ) достаточно построить прямоугольный треугольник, проведя радиус из центра вписанной окружности О в точку К, и прямые II катетам исходного тр — ка из концов этого радиуса (то есть из точек О и К) до пересечения.

Полученные катеты этого треугольника очевидно равны (k * a / 2 — r) и (k * b / 2 — r), — в условии задачи (a / 3 — r) и (b / 3 — r), а гипотенуза — r)

k ^ 2 * (a ^ 2 + b ^ 2) / 4 — k * (a + b) * r + r ^ 2 = 0 ;

Подставим a + b = 2 * r + c ; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ;

k ^ 2 * c ^ 2 / 4 — k * r * (2 * r + c) + r ^ 2 = 0 ;

r ^ 2 * (1 — 2 * k) — k * c * r + (k ^ 2 / 4) * c ^ 2 = 0 ;

Теперь введем x = r / c.

X ^ 2 * (1 — 2 * k) — k * x + (k ^ 2 / 4) = 0 ; x ^ 2 + x * k / (2 * k — 1) — k ^ 2 / (4 * (2k — 1)) = 0 ;

x = — k / (2 * (2 * k — 1)) + корень((k / (2 * (2 * k — 1))) ^ 2 + k ^ 2 / (4 * (2k — 1))) = = — k / (2 * (2 * k — 1)) + k / (2 * (2 * k — 1)) * корень(1 + (2k — 1)) ;

НО только если k &gt ; 1 / 2.

Вот именно для этого я и обозначил k = 2 / 3.

Если k &lt ; 1 / 2, решения нет.

Ну, в задаче это выполнено — k = 2 / 3 &gt ; 1 / 2.

Замечу также, что второй корень отрицательный, поэтому отброшен.

x = k / (2 * (2 * k — 1))(корень(2 * k) — 1) ;

в частности при k = 2 / 3, как в задаче, x = 2 * корень(3) / 3 — 1 ;

таким образом, мы нашли r / c = x = 2 * корень(3) / 3 — 1 ; дальше ищем углы в этом случае.

Поскольку a / c + b / c = 2 * (r / c) + 1 ; то

sin(A) + cos(A) = 4 * корень(3) / 3 — 1 ; это уравнение для А решается очень легко — достаточно возвести в квадрат обе стороны : ))

1 + sin(2 * A) = (4 * корень(3) / 3 — 1) ^ 2 ;

sin(2 * A) = (2 — корень(3)) * 8 / 3 ; A = (1 / 2) * arcsin((2 — корень(3)) * 8 / 3) ;

Это можно считать ответом.

Приближенноsin(2 * A) = 0, 714531179816328.

Интересно, что 2 * А получилось почти точно 45 градусов, точнее 2 * А = 45, 6047908137106 градусов.

Вернусь еще раз к задаче.

Приведу решение в сжатом виде при k = 2 / 3.

Всё, что надо понять — что расстояния от точки пересечения медиан до катетов равны a / 3 и b / 3 — и сразу получается соотношение.

(a / 3 — r) ^ 2 + (b / 3 — r) ^ 2 = r ^ 2 ;

(a ^ 2 + b ^ 2) / 9 — 2 * r * (a + b) / 3 + r ^ 2 = 0 ;

Подставим a + b = 2 * r + c ; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ;

c ^ 2 / 9 — 2 * r * (2 * r + c) + r ^ 2 = 0 ;

r ^ 2 + 2 * r * c — c ^ 2 / 3 = 0 ; Обозначаем r / c = x ;

x ^ 2 + 2 * x — 1 / 3 = 0 ; (x + 1) ^ 2 = 4 / 3 ; x = 2 * корень(3) / 3 — 1 ;

поскольку a / c + b / c = 2 * (r / c) + 1 ; то

sin(A) + cos(A) = 4 * корень(3) / 3 — 1 ; возводим в квадрат обе стороны

1 + sin(2 * A) = (4 * корень(3) / 3 — 1) ^ 2 ;

sin(2 * A) = (2 — корень(3)) * 8 / 3 ;

A = (1 / 2) * arcsin((2 — корень(3)) * 8 / 3) ;

Содержание
  1. Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  2. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  3. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  4. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  5. Треугольник
  6. Типы треугольников
  7. По величине углов
  8. Остроугольный треугольник
  9. Тупоугольный треугольник
  10. Прямоугольный треугольник
  11. По числу равных сторон
  12. Разносторонний треугольник
  13. Равнобедренный треугольник
  14. Равносторонний (правильный) треугольник
  15. Вершины, углы и стороны треугольника
  16. Свойства углов и сторон треугольника
  17. Сумма углов треугольника равна 180°
  18. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы
  19. Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны
  20. Теорема синусов
  21. Теорема косинусов
  22. Теорема о проекциях
  23. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  24. Формулы сторон через медианы
  25. Медианы треугольника
  26. Свойства медиан треугольника
  27. Формулы медиан треугольника
  28. Формулы медиан треугольника через стороны
  29. Биссектрисы треугольника
  30. Свойства биссектрис треугольника
  31. Формулы биссектрис треугольника
  32. Формулы биссектрис треугольника через стороны
  33. Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол
  34. Высоты треугольника
  35. Свойства высот треугольника
  36. Формулы высот треугольника
  37. Формулы высот треугольника через сторону и угол
  38. Формулы высот треугольника через сторону и площадь
  39. Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности
  40. Окружность вписанная в треугольник
  41. Свойства окружности вписанной в треугольник
  42. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  43. Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру
  44. Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны
  45. Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности
  46. Окружность описанная вокруг треугольника
  47. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  48. Свойства углов
  49. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  50. Радиус описанной окружности через три стороны и площадь
  51. Радиус описанной окружности через площадь и три угла
  52. Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)
  53. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  54. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  55. Радиус описанной окружности через площадь и три угла
  56. Средняя линия треугольника
  57. Свойства средней линии треугольника
  58. Признаки
  59. Периметр треугольника
  60. Формулы площади треугольника
  61. Формула площади треугольника по стороне и высоте
  62. Формула площади треугольника по трем сторонам
  63. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
  64. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  65. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
  66. Равенство треугольников
  67. Определение
  68. Свойства
  69. Признаки равенства треугольников
  70. По двум сторонам и углу между ними
  71. По стороне и двум прилежащим углам
  72. По трем сторонам
  73. Подобие треугольников
  74. Определение
  75. Признаки подобия треугольников
  76. Свойства
  77. Прямоугольные треугольники
  78. Свойства прямоугольного треугольника
  79. Признаки равенства прямоугольных треугольников
  80. Свойства
  81. 📽️ Видео

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружностиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружностиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружностиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой ЭйлераСкачать

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой Эйлера

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности.

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникТочка пересечения медиан лежит на вписанной окружности
Равнобедренный треугольникТочка пересечения медиан лежит на вписанной окружности
Равносторонний треугольникТочка пересечения медиан лежит на вписанной окружности
Прямоугольный треугольникТочка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности.

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности.

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Произвольный треугольник
Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности
Равнобедренный треугольник
Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности
Равносторонний треугольник
Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности
Прямоугольный треугольник
Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности
Произвольный треугольник
Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности.

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности.

Равнобедренный треугольникТочка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Равносторонний треугольникТочка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникТочка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Видео:Точка пересечения медиан.Скачать

Точка пересечения медиан.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности– полупериметр (рис. 6).

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

с помощью формулы Герона получаем:

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.

Треугольник

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Видео:Найти часть медианы треугольника, если некоторые его точки лежат на окружностиСкачать

Найти часть медианы треугольника, если некоторые его точки лежат на окружности

Типы треугольников

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

По величине углов

Остроугольный треугольник

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

— все углы треугольника острые.

Тупоугольный треугольник

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

— один из углов треугольника тупой (больше 90°).

Прямоугольный треугольник

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

— один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

Разносторонний треугольник

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

— все три стороны не равны.

Равнобедренный треугольник

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

— две стороны равны.

Равносторонний (правильный) треугольник

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

— все три стороны равны.

Видео:#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Вершины, углы и стороны треугольника

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы

  • если α > β , тогда a > b
  • если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin α = b sin β = c sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 b c · cos α
b 2 = a 2 + c 2 — 2 a c · cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2 a b · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α;
c = a cos β + b cos α;

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 2 3 2 m b 2 + m c 2 — m a 2

b = 2 3 2 m a 2 + m c 2 — m b 2

c = 2 3 2 m a 2 + m b 2 — m c 2

Видео:Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

Медианы треугольника

Медиана треугольника — отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

Свойства медиан треугольника

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан называется центроидом.

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
AO OD = BO OE = CO OF = 2 1

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников

S ∆AOF = S ∆AOE = S ∆BOF = S ∆BOD = S ∆COD = S ∆COE

  • Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник
  • Формулы медиан треугольника

    Формулы медиан треугольника через стороны

    m a = 1 2 2 b 2 + 2 c 2 — a 2

    m b = 1 2 2 a 2 + 2 c 2 — b 2

    m c = 1 2 2 a 2 + 2 b 2 — c 2

    Видео:все, что нужно знать для 16 задачи | вся планиметрия в одном видеоСкачать

    все, что нужно знать для 16 задачи | вся планиметрия в одном видео

    Биссектрисы треугольника

    Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

    Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

    Свойства биссектрис треугольника

    1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

    Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
    AE AB = EC BC

    Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°

    Угол между l c и l c ‘ = 90°

  • Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.
  • Формулы биссектрис треугольника

    Формулы биссектрис треугольника через стороны

    l a = 2 b c p p — a b + c

    l b = 2 a c p p — b a + c

    l c = 2 a b p p — c a + b

    где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника.

    Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол

    l a = 2 b c cos α 2 b + c

    l b = 2 a c cos β 2 a + c

    l c = 2 a b cos γ 2 a + b

    Видео:С4,ЕГЭ-решение задачи-Центр пересечения медиан,центр вписанной окружности на прямой,параллельной BCСкачать

    С4,ЕГЭ-решение задачи-Центр пересечения медиан,центр вписанной окружности на прямой,параллельной BC

    Высоты треугольника

    Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

    Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

    В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:

    • внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
    • совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
    • проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

    Свойства высот треугольника

    1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

  • Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.
  • h a : h b : h c = 1 a : 1 b : 1 c = BC : AC : AB

    1 h a : 1 h b : 1 h c = 1 r

    Формулы высот треугольника

    Формулы высот треугольника через сторону и угол

    h a = b sin γ = c sin β

    h b = c sin α = a sin γ

    h c = a sin β = b sin α

    Формулы высот треугольника через сторону и площадь

    Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

    Видео:Прямая ЭйлераСкачать

    Прямая Эйлера

    Окружность вписанная в треугольник

    Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

    Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

    Свойства окружности вписанной в треугольник

    • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
    • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

    Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

    Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру

    Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны

    Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

    Видео:№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точкаСкачать

    №366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точка

    Окружность описанная вокруг треугольника

    Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

    Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

    Свойства окружности описанной вокруг треугольника

    • Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.
    • Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

    Свойства углов

    Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

    Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

    Радиус описанной окружности через три стороны и площадь

    Радиус описанной окружности через площадь и три угла

    Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)

    Видео:Задание 16 ОГЭ 2022 математика | Точка пересечения медиан треугольникаСкачать

    Задание 16 ОГЭ 2022 математика | Точка пересечения медиан треугольника

    Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

    Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

    Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

    Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то

    d 2 = R 2 — 2 R r

    Радиус описанной окружности через площадь и три угла

    Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

    ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точки

    Средняя линия треугольника

    Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

    Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

    Свойства средней линии треугольника

    • Любой треугольник имеет три средних линии.
    • Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
      MN = 1 2 AC ; KN = 1 2 AB ; KM = 1 2 BC

    MN || AC ; KN || AB ; KM || BC

  • Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника.
    S ∆MBN = 1 4 S ∆ABC ; S ∆MAK = 1 4 S ∆ABC ; S ∆NCK = 1 4 S ∆ABC
  • При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
    ∆MBN

    Признаки

    Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Периметр треугольника

    Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

    Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.

    Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

    Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

    Формулы площади треугольника

    Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

    Формула площади треугольника по стороне и высоте

    Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

    S = 1 2 a · h a ,
    S = 1 2 b · h b ,
    S = 1 2 c · h c ,

    где a, b, c — стороны треугольника,
    ha, hb, hc — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.

    Формула площади треугольника по трем сторонам

    Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

    Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

    S = p p — a p — b p — c ,

    где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
    a, b, c — стороны треугольника.

    Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

    Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

    S = 1 2 a · b · sin γ ,
    S = 1 2 b · c · sin α ,
    S = 1 2 a · c · sin β ,

    где a, b, c — стороны треугольника,
    γ — угол между сторонами a и b ,
    α — угол между сторонами b и c ,
    β — угол между сторонами a и c .

    Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

    a, b, c — стороны треугольника,
    R — радиус описанной окружности.

    Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

    Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

    где S — площадь треугольника,
    r — радиус вписанной окружности,
    p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

    Видео:#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5Скачать

    #31. Регион ВсОШ 2023, 11.5

    Равенство треугольников

    Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

    Определение

    Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.

    Свойства

    У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).

    Признаки равенства треугольников

    По двум сторонам и углу между ними

    Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

    По стороне и двум прилежащим углам

    Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    По трем сторонам

    Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Видео:✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис Трушин

    Подобие треугольников

    Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

    Определение

    Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

    ∆MNK => α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k

    где k — коэффициент подобия.

    Признаки подобия треугольников

    1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
    2. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
    3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

    Свойства

    Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

    S ∆АВС S ∆MNK = k 2

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Прямоугольные треугольники

    Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

    Свойства прямоугольного треугольника

    • Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
      Сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника ∠ 1 + ∠ 2 = 90° .
    • Точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности

    Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).

    Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ A — прямой, ∠ B = 30°, и значит, что ∠ C = 60°.

    Докажем, что BC=2AC.
    Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD , как показано на рисунке.
    Получим треугольник BCD, в котором ∠ B = ∠ D = 60° , поэтому DC = BC. Но DC = 2AC. Следовательно, BC = 2AC.

    Справедливо и обратное суждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

    Признаки равенства прямоугольных треугольников

    Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

    1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
    2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
    3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
    4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

    Свойства

    Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

    📽️ Видео

    Геометрия, Олимпиады, ЕГЭ, Теорема о трилистникеСкачать

    Геометрия, Олимпиады, ЕГЭ, Теорема о трилистнике
  • Поделиться или сохранить к себе: