Курс школьной геометрии » Окружность

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

Обновлено
Геометрия. 8 класс

Выберите верные утверждения.

Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, в котором известны стороны АС = 8 см,
ВС = 15 см, АВ = 17 см.

Окружность с центром в точке А и радиусом 3 см имеет с прямой BС две общие точки.

Окружность с центром в точке А и радиусом 8 см имеет с прямой ВС одну общую точку.

Окружность с центром в точке В и радиусом 17 см имеет с прямой АС две общие точки.

Окружность с центром в точке В и радиусом 9 см имеет с прямой AС одну общую точку.

Выберите верный ответ.

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности, которая имеет
с каждой стороной квадрата единственную общую точку. Найдите радиус этой окружности,
если периметр квадрата 56,8 см. Ответ дайте в сантиметрах.

Содержание
  1. Геометрические фигуры. Квадрат.
  2. Свойства квадрата.
  3. Диагональ квадрата.
  4. Квадрат — определение и свойства

Геометрические фигуры. Квадрат.

Квадрат — правильный четырёхугольник. У квадрата все углы и стороны одинаковы.

Квадраты различаются лишь длиной стороны, а все 4 угла прямые и равны 90°.

Квадратом может стать параллелограмм, ромб либо прямоугольник, когда у них одинаковые длины диагоналей, сторон и равные углы.

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности котораяТочка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

Свойства квадрата.

— у всех 4-х сторон квадрата одинаковая длина, т.е. стороны квадрата равны:

— противолежащие стороны квадрата параллельны:

— каждый уг ол квадрата прямой:

— сумма углов квадрата равна 360°:

— каждая диагональ квадрата имеет такую же длину, как и другая:

— каждая из диагоналей квадрата делит квадрат на 2 одинаковые симметричные фигуры.

— угол пересечения диагоналей квадрата равен 90°, пересекая друг друга, диагонали делятся на две равные части:

AC┴BD;AO = BO = CO = DO = d/2

— точку пересечения диагоналей называют центр квадрата и она оказывается центром вписанной и описанной окружностей.

— все диагонали делят угол квадрата на две равные части, таким образом, они оказываются биссектрисами углов квадрата:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD

— диагонали делят квадрат на 4 одинаковых треугольника, кроме того, полученные треугольники в одно время и равнобедренные и прямоугольные:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Диагональ квадрата.

Диагональю квадрата является всякий отрезок, который соединяет 2-е вершины противолежащих углов квадрата.

Диагональ всякого квадрата больше стороны этого квадрата в √2 раз.

Формулы для определения длины диагонали квадрата:

1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

4. Сумма углов квадрата = 360°:

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

5. Диагонали квадрата одной длины:

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

6. Все диагонали квадрата делят квадрат на 2-е одинаковые фигуры, которые симметричны:

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

7. Угол пересечения диагоналей квадрата равен 90°, пересекая друг друга, диагонали делятся на две равные части:

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

9. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

R — радиус вписанной окружности;

D — диаметр вписанной окружности;

d — диагональ квадрата.

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

10. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

R – радиус описанной окружности;

D – диаметр описанной окружности;

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

11. Формула диагонали квадрата через линию, которая выходит из угла на середину стороны квадрата:

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

C – линия, которая выходит из угла на середину стороны квадрата;

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

Вписанный круг в квадрат – это круг, примыкающий к серединам сторон квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус вписанной окружности — сторона квадрата (половина).

Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в π/4 раза.

Круг, описанный вокруг квадрата — это круг, который проходит через 4-ре вершины квадрата и который имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата больше радиуса вписанной окружности в √2 раз.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен 1/2 диагонали.

Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

  1. Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
  2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
  3. Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

Площадь квадрата, очевидно, равна квадрату его стороны: .
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на , то есть
.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

1 . Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна .

Мы знаем, что . Тогда .

2 . Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

3 . Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса .

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

Диаметр окружности равен стороне квадрата.

4 . Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат , считая стороны квадратных клеток равными .

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.

5 . Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник . В ответе укажите
.

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром окружности которая

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, . Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен . В ответ запишем .

Поделиться или сохранить к себе: