Теоремы стереометрии с использованием векторов

Учёные всегда стремились упростить себе жизнь – придумывали новые, простые методы решения, универсальные для множества задач, позволяющие быстро решить даже самую трудную задачу. Именно таким методом и является векторно-координатный.

«Векторный» путь построения геометрии предложил в 1918 году известный немецкий математик Герман Вейль. Векторы можно использовать как для решения планиметрических задач, так и для стереометрических.

Векторно-координатный метод решения задач позволяет с лёгкостью решать даже самые громоздкие и сложные задачи, избегать долгих доказательств теорем. С помощью векторов можно вычислять расстояния и углы, доказывать теоремы, строить перпендикулярные и параллельные прямые и отрезки, строить сечения, доказывать равенство геометрических фигур и многое другое. Использование этого метода при решении задач также способствует развитию творческого мышления, ведь векторы, используемые при решении задачи, необходимо выбрать самому.

В настоящее время векторно-координатный метод используется в алгебре, геометрии, физике, механике; понятие векторного пространства используется в теории вероятностей, математической экономике, биологии, лингвистике и т.д.

Данная разработка адресована тем учителям, которые хотят расширить знания своих учеников в области аналитической геометрии, научить их решать более сложные по сравнению с обязательным уровнем задачи, содержит необходимый теоретический материал, а также подборки задач, решаемых как векторным, так и координатным методами, примеры доказательств теорем стереометрии методами аналитической геометрии. Наличие стереометрических задач на построение сечений, нахождение расстояний и углов актуально в плане подготовки учащихся к решению геометрических задач части «С» единого государственного экзамена.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Скачать:

Видео:Аксиомы стереометрии и их следствия. 10 класс.Скачать

Предварительный просмотр:

Методическая разработка по теме :

«Применение векторно-координатного метода в решении стереометрических задач»

Автор: Симакова Н.Б, учитель математики ГБОУ СОШ №264 Санкт-Петербурга.

Учёные всегда стремились упростить себе жизнь – придумывали новые, простые методы решения, универсальные для множества задач, позволяющие быстро решить даже самую трудную задачу. Именно таким методом и является векторно-координатный.

«Векторный» путь построения геометрии предложил в 1918 году известный немецкий математик Герман Вейль. Векторы можно использовать как для решения планиметрических задач, так и для стереометрических.

Векторно-координатный метод решения задач позволяет с лёгкостью решать даже самые громоздкие и сложные задачи, избегать долгих доказательств теорем. С помощью векторов можно вычислять расстояния и углы, доказывать теоремы, строить перпендикулярные и параллельные прямые и отрезки, строить сечения, доказывать равенство геометрических фигур и многое другое. Использование этого метода при решении задач также способствует развитию творческого мышления, ведь векторы, используемые при решении задачи, необходимо выбрать самому.

В настоящее время векторно-координатный метод используется в алгебре, геометрии, физике, механике; понятие векторного пространства используется в теории вероятностей, математической экономике, биологии, лингвистике и т.д.

Данная разработка адресована тем учителям, которые хотят расширить знания своих учеников в области аналитической геометрии, научить их решать более сложные по сравнению с обязательным уровнем задачи, содержит необходимый теоретический материал, а также подборки задач, решаемых как векторным, так и координатным методами, примеры доказательств теорем стереометрии методами аналитической геометрии. Наличие стереометрических задач на построение сечений, нахождение расстояний и углов актуально в плане подготовки учащихся к решению геометрических задач части «С» единого государственного экзамена.

Краткая историческая справка

Вейль, Герман Клаус Гуго (Hermann Klaus Hugo Weyl) (1885-1955)-немецкий математик. Окончил Геттинтенский университет. В 1913-1930 годах – профессор Цюрихского политехнического, в 1930-1933 годах – профессор Геттингенского университета, после прихода к власти фашистов в 1933 году эмигрировал в США, работал в Принстоне в институте перспективных исследований.

Труды посвящены тригонометрическим рядам и рядам по ортогональным функциям, теории функций комплексного переменного , дифференциальным и интегральным уравнениям. Ввёл в теорию чисел т. н. « Суммы Вейля »Труды Вейля по прикладной линейной алгебре имели значение для последующего создания математического программирования , а работы в области математической логики и оснований математики до сих пор вызывают интерес. В 1918 году предложил «векторный» путь построения геометрии.

Основные понятия и теоремы

• Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом. Направление вектора на рисунке (от начала к концу) отмечается стрелкой.

А

• Любая точка пространства также может считаться вектором. В таком случае вектор называется нулевым. Начало и конец этого вектора совпадают.
• Длиной ненулевого вектора называется длина самого отрезка.
• Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
• Векторы называются сонаправленными, если они коллинеарны и лучи, содержащие эти векторы, сонаправлены.
• Векторы называются равными, если их длины равны и они сонаправлены.
• Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
• Любой данный вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
• Любой данный вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
• Сложение двух векторов по правилу треугольника:

• Сложение двух векторов по правилу параллелограмма:

• Сложение нескольких векторов по правилу многоугольника:

• Сложение трёх некомпланарных векторов по правилу параллелепипеда:

• Вычитание двух векторов по правилу треугольника:

• Если векторы а и b коллинеарны, причём а – ненулевой, то существует такое

число, что а=k*b, где к – некоторый коэффициент.

• Пусть даны три вектора: а, b и с. Если окажется, что хотя бы один из них может быть представлен в виде суммы произведений двух других векторов на некоторые числа, то в этом случае данную тройку векторов называют линейно зависимой.(т.е.эти векторы компланарны).

Если не один из векторов а, b и с не является линейной комбинацией двух остальных, то векторы а, b и с называются линейно независимыми.

• Аксиома размерности: существует три линейно независимых вектора, но всякие четыре вектора линейно зависимы.Из аксиомы следует. Что максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Это и означает, что пространство трёхмерно.
• Теорема: Любой вектор а может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации любых трёх линейно независимых векторов.

Пусть i, j, k – линейно независимые векторы и а – произвольный вектор. Докажем, что

вектор а может быть представлен в виде линейной комбинации векторов i, j, k, то есть

На основании аксиомы размерности четыре вектора а, i, j, k линейно зависимы. Это означает, что среди них существует хотя бы один вектор, который является линейной комбинацией остальных. При этом возможны два случая:

1)Вектором, который является линейной комбинацией трёх остальных, является именно а.

Тогда эта линейная комбинация является искомым представлением вектора а и останется доказать только его единственность.

2)Линейной комбинацией остальных векторов является один из данных линейно

независимых векторов i, j, k:

i=n 1 a+n 2 j+n 3 k

В этом разложении число n 1 ≠0. Если n 1 =0, то имели бы

Последнее означает, что векторы i, j, k линейно зависимы, что противоречит условию теоремы. Следовательно n 1 ≠0.

Пользуясь распределительностью умножения вектора на число, выполним следующие преобразования:

или, прибавляя к обеим частям последнего равенства векторы, противоположные векторам получим:

Обозначив числа , , соответственно через х, у и z, получим равенство

Докажем теперь единственность представления вектора а. Допустим, что кроме этого разложения существует ещё такое:

a=x 1 i+y 1 j+z 1 k

xi+ yj+ zk= x 1 i+y 1 j+z 1 k

откуда можно получить, что

(х – х 1 )i+(y – y 1 )j+(z – z 1 )k=0

Если допустить, что хотя бы одна из разностей равна нулю (скажем х – х 1 ), то будем иметь:

→→→

Это означает, что векторы i, j, k линейно зависимы. Получается противоречие с условием теоремы. Следовательно, допущение неверно. Отсюда х – х 1 =0; y – y 1 =0; z – z 1 =0, или x=x 1 , y=y 1 , z=z 1 , ч.т.д.

• Если через некоторую точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что выбрана прямоугольная система координат в пространстве. Прямые с выбранными направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат. Она обычно обозначается буквой О. Оси обозначаются так: Ох, Оу, Оz – и имеют названия: «ось абсцисс», «ось ординат», «ось аппликат».Вся система координат называется Oxyz. Три плоскости, проходящие через оси координат называются координатными плоскостями. Точка О разделяет каждую из осей координат на на два дополнительных луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а дополнительный к нему луч – отрицательной полуосью.
• В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами.
• Зададим в пространстве прямоугольную систему координат. На каждой из положительных полуосей от начала координат отложим единичный вектор, то есть вектор, длина которого равна единице. Обозначим эти векторы как i, j, k . Они называются координатными векторами. Эти векторы не компланарны, поэтому любой вектор можно представить в виде

a=xi+yj+zk , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. Эти коэффициенты называются координатами вектора в данной системе координат.

• Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Каждая координата разности векторов равна разности координат этих векторов.
• Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
• Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

• Длина вектора вычисляется по формуле: │a│= √x 2 +y 2 +z 2
• Скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на угол между ними.

a*b=│a│*│b│*cos α , где α – угол между этими векторами.

Скалярное произведение векторов в координатах выглядит так:

ab=x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 при a и b . Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.

• Уравнением плоскости α, проходящей через точку М и

перпендикулярной к ненулевому вектору n является уравнение:

A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0

Решение задач с помощью векторов и скалярного произведения векторов:

Доказательство некоторых теорем :

Пусть точки А, В, С и Р такие, что ОР=mOA+nOB+рОС (OА, ОС и ОВ линейно независимы).Тогда необходимое и достаточное условие их принадлежности одной прямой состоит в следующем: m+n+р=1.

Пусть точки А, В, С и Р лежат в одной плоскости, тогда векторы

АР=ОР-ОА, АВ=ОВ-ОА, АС=ОС-ОА будут линейно зависимыми, следовательно

OP=(1- n- p)OA+nOB+pOC

И в силу единственности разложения вектора OP по векторам ОА, ОВ, ОС получим

m=1- n –p или m+ n+ p=1

Пусть m+n+p=1, тогда

Отсюда АР=nAB+pAС и по определению P принадлежит плоскости АВС.

Если две плоскости α и β имеют общую точку М, то найдётся по меньшей мере, ещё одна общая точка N у этих плоскостей.

Так как плоскость может быть задана любыми тремя точками, не лежащими на одной прямой, то плоскость α можно задать точками М, А, В, а плоскость β – точками М, С и D.

На основании теоремы о том, что любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации любых трёх линейно независимых векторов можно записать:

Построим вектор MN=a. Имеем:

Докажем теперь. что M=N . Если допустить, что M=N, то MN=0, тогда MD+

(-k 3 )MC=0, или MD=k 3 MC. Это означает, что векторы MD и MC линейно зависимы и точки M, C и D лежат на одной прямой, что противоречит их выбору.

Следовательно, M=N. Теорема доказана.

3) Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая АВ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым СD и СЕ, принадлежащим плоскости α, то прямая АВ ┴ α.

Пусть MN – произвольный вектор плоскости α и MN≠0. Так как векторы CD и СЕ

не компланарны, то MN = nCD+mCE. Тогда

AB*MN=AB(nCD+mCE)=AB(nCD)=AB(mCE)=n(AB*CD)+m(AB*CE). По условию

AB*CD=0 и АВ*СЕ=0. Отсюда АB*MN=n*0+m*0=0, т.е. АВ ┴ MN. Тогда по определению прямой, перпендикулярной к плоскости, АВ ┴ α. , ч.т.д.

Нахождение расстояний и углов:

Введём понятие базиса – это пара неколлинеарных векторов, заданных на плоскости, благодаря которым любой вектор можно разложить по ним. В пространстве базис – это три некомпланарных вектора.

Каждое ребро призмы АВСА 1 В 1 С 1 равно 2. Точки M и N – середины рёбер АВ и А 1 С 1 . Найти расстояние от точки М до прямой СN, если известно, что угол А 1 АС=60 гр. и прямые А 1 А и АВ перпендикулярны.

Решение: Рассмотрим базис, состоящий из векторов АА 1 =а, АВ=b и АС=с, и составим таблицу умножения для векторов этого базиса.

Расстояние от точки М до прямой СN равно расстоянию от точки М до её проекции на прямую CN. Пусть Р – проекция точки М на прямую СN. Тогда

МР=СР-СМ=хСN-СМ для некоторого числа х.

CN= a – 1/2c и СМ=1/2b – c , то

МР=x(a – 1/2c) – (1/2b – c)=xa-1/2b+(1 – x/2)c

Поскольку прямые МР и СN перпендикулярны, то

МР*СN=0, т.е. (xa-1/2b+(1 – x/2)c)*(a – 1/2c)=0

Раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения для нашего базиса, получаем 3х+1/2=0, откуда х= –(1/6)

Значит, МР= –(1/6)а-1/2b+13/12c

Искомое расстояние МР равно

│МР│=√((1/6)а-1/2b+13/12c) 2 _____

Снова раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения, находим МР=√105/6 . Таким образом, расстояние от точки М до прямой СN равно √105/6

В пирамиде DABC грань АСD – правильный треугольник со стороной 3√2, грань АВС – равнобедренный прямоугольный треугольник (угол АСВ = 90 гр.), ребро ВD равно 3. найти объём пирамиды.

Решение: Построим линейный угол двугранного угла АС ( угол DKO) и обозначим его через φ. Очевидно, что угол между векторами KD и CB равен линейному углу двугранного угла АС. найдя этот угол, мы из прямоугольного треугольника КОD, в котором │KD│=│AD│*sin угла DAK, т.е.

вычислим │DO│ – длину высоты тетраэдра.

BD 2 =CK 2 +KD 2 +CB 2 =2CK*KD-2CK*CB-2KD*CB, значит 3 2 = ((3√2)/2) 2 + ((3√6)/2) 2 + (3√2) 2 +0-0-2*((3√6)/2)*3√2cos φ,

откуда cos φ=√3/2 и φ=30 гр.

Из треугольника КОD находим высоту тетраэдра

Наконец, объём пирамиды

Введём понятие радиус-вектора : если в пространстве фиксирована некоторая точка

О, то каждая точка пространства характеризуется вектором ОА.ОА и есть радиус-

вектор. Если точка М лежит на прямой АВ и АМ=kAB, то ОМ=(1-k)OA+kOB.(1)

На рёбрах DA,DB,AC тетраэдра DABC взяты соответственно точки L, N, F так, что DL=1/2DA,DN=1/3DB,AF=1/4AC. В каком отношении плоскость, проходящая через точки L,N,F делит ребро BC?

Пусть М – точка пересечения рассматриваемой плоскости с ребром BC и

Так как точки M,N,L,F лежат в одной плоскости, причём последние три точки не лежат на одной прямой, то по формуле

DM=kDL+lDN+(1 – k – l)DF=ka/2+lb/3+(1 – k – l)(3/4a+1/4c).

С другой стороны, по формуле (1)

где m – отношение ВМ:ВС. Так как векторы а,b,с не компланарны, то на основании утверждения о разложении вектора по трём некомпланарным, мы получим систему:

k/2+(1 – k – l)3/4=0, l/3=1 – m,

Отсюда m=2/5 и ВМ:МС=2/3.

Длины рёбер тетраэдра АВСD равны a,b,c,d,m,n,k. Найти расстояние от вершины А до точки пересечения медиан грани ВСD.

Пусть О – точка пересечения медиан грани ВСD. Обозначим угол ВАС=φ 1 , угол САD= φ 2 , угол DАВ= φ 3 .

Воспользуемся равенством (1), преобразуя его для точки пересечения медиан треугольника, вершин треугольника и точки А:

АО 2 =1/9(АВ+АС+АD) 2

или, используя формулу квадрата суммы трёх чисел:

Последнее равенство перепишем так:

АО 2 =1/9(a 2 +b 2 +c 2 +2ab*cos φ 1 +2bc*cos φ 2 +2ac*cos φ 3 ).

АО 2 =1/9(3(a 2 +b 2 +c 2 ) – (m 2 +n 2 +k 2 )).

│АО│=1/3√3(a 2 +b 2 +c 2 ) – (m 2 +n 2 +k 2 )

Следствие: Если длины всех рёбер тетраэдра равны а, то

Векторное уравнение плоскости: Если точки А,В,С,D принадлежат одной плоскости, три из которых не лежат на одной прямой, и точка О – произвольная точка пространства, то выполняется следующее равенство

OD=aOA+bOB+cOC , где а+b+с=1

В правильной треугольной пирамиде SABС (АС – основание) точки К,L и М принадлежат рёбрам SA и SC,SB соответственно так, что

В каком отношении плоскость KLM делит высоту пирамиды SO?

Пусть Р – точка пересечения плоскости KLM с высотой пирамиды SO, тогда на основании вышеизложенного можно записать следующее равенство

3/4a=1/3x

решив эту систему, получим что x=18/29

Решение задач с помощью метода координат:

Задачи на построение:

На рёбрах АА 1 и CD куба АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 взяты соответственно точки P и Q – середины этих рёбер, а в грани А 1 В 1 C 1 D 1 взята точка О 1 , в которой пересекаются диагонали А 1 С 1 и B 1 D 1 . Через точку О 1 проведём прямую m, параллельную прямой PQ.

Введём в пространстве прямоугольную систему координат Вхуz, как показано на рисунке. В этой системе координат:

В(0;0;0), А(1;0;0), С(0;1;0), В 1 (0;0;1)

Найдём координаты (v 1 ;v 2 ;v 3 ) точки V – точки, в которой прямая m пересекается с плоскостью какой-нибудь грани призмы, например с плоскостью грани СDD 1 C 1 . Ясно, что так как точка V лежит в плоскости СDD 1 , то её вторая координата v 2 =1. Таким образом, V(v 1 ;1;v 3 ). → →

Найдём координаты точек P,Q и О 1 , координаты векторов O 1 V и PQ. Получаем

O 1 V(v 1 -1/2;1/2;v 3 -1), PQ(-1/2;1;-1/2) → →

так как прямая m параллельна прямой PQ, то O 1 V││PQ, и , значит координаты этих векторов пропорциональны, т.е.

откуда v 1 =1/4, v 3 =3/4, и , следовательно, V(1/4;1;3/4). Строим точку V по её координатам и затем строим прямую m, проходящую через точки O 1 и V.

Вершина В прямоугольного параллелепипеда АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 с отношением рёбер AB:DA:AA 1 =1:2:3 принята за начало прямоугольной системы координат, а

векторы ВА, 1/2ВС и 1/3ВВ 1 приняты соответственно за единичные векторы i, j, k.

Построить сечение параллелепипеда плоскостью α , заданной в этой системе координат уравнением 4x + y — 2z — 2=0.

Для построения данного сечения найдём три точки, принадлежащие плоскости α, но не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости α с осями координат. Так, если плоскость α пересекает ось Вх в точке К, то точка К имеет координаты (к;0;0). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α ,получим к=1/2. Таким образом, плоскость α пересекает ось Вх в точке К(1/2;0;0). Построим эту точку.

Аналогично если плоскость α пересекает ось Ву в точке L, то точка L имеет координаты (0;l;0). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α , найдем, что L(0;2;0). Построим точку L (она совпала с точкой С).

Точно так же находим, что плоскость α пересекает ось Вz в точке М(0;0;-1). построим эту точку и затем построим сечение призмы плоскостью α, проходящей через точки К,L,M.

Получаем четырёхугольник КСD 2 A 2 .

На рёбрах A1D1 и CD куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и Q – середины этих ребер построим сечение куба плоскостью α , проходящей через прямую РQ перпендикулярно плоскости α.

Введём в пространстве прямоугольную систему координат Вхуz с началом в точке

В и единичными векторами i=BA, j=BC, k=BB 1 .

Найдём нормальный вектор n 1 (k 1 ;l 1 ;m 1 ) плоскости АВ 1 С. Так как n 1 ┴АВ 1 и n 1 ┴АС.

Находим координаты векторов АВ 1 и АС:

AB 1 (-1;0;1) , AC(-1;1;0)

Далее получаем систему уравнений

k 1 *(-1)+l 1 *0+m 1 *0=0

k 1 *(-1)+l 1 *1+m 1 *0=0

откуда, полагая, например, k 1 =1, находим l 1 =1, m 1 =1, т.е. n 1 (1;1;1). →

Составим теперь уравнение плоскости α.. Найдём для этого вектор n 2 (k 2 ;l 2 ;m 2 ) – нормальный вектор этой плоскости. Так как плоскость α. перпендикулярна

плоскости АВ 1 С и вектор n 2 перпендикулярен плоскости АВ 1 С, то n 2 ┴ α.. Кроме

того, PQ││ α . Тогда ясно, что вектор n 2 перпендикулярен векторам n 1 (1;1;1) и

k 2 *1+l 2 *1+m 2 *1=0

k 2 *(-1/2)+l 2 *1/2+m 2 *(-1)=0 →

откуда, полагая, например, m 2 =2, находим l 2 =1, k2=-3, т.е. n 2 (-3;1;2)

Теперь составим уравнение плоскости α, проходящей через точку Q(1/2;1;0) перпендикулярно прямой PQ. Получаем:

или после упрощений: 6x-2y-4z-1=0

Построим сечение куба плоскостью α . Для этого найдём ещё одну точку, принадлежащую плоскости α .

Если плоскость α пересекает ось Bx в точке L, то точка L имеет координаты (l;0;0).

Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α, находим l=1/6. Таким образом, L(1/6;0;0). Строим точку L.

Теперь плоскость α построим как плоскость, проходящую через точки P,Q и L. Основным следом этой плоскости является прямая QL. Получается многоугольник ELQD 2 P. ( На рисунке также построена прямая TV – линия пересечения плоскости α с плоскостью АВС).

Задачи на вычисление расстояний и углов:

В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 45 гр. На ребре МВ взята точка К – середина этого ребра. Найдём угол между прямой АК и плоскостью МВС.

Установив, что медианно МО грани МАВ является высотой пирамиды, т.е. МО┴АВ и МО┴ОС, и что ОА =ОС=ОМ, зададим в пространстве прямоугольную систему координат Охуz, как показано на рисунке.

В этой системе координат O(0;0;0), A(1;0;0), C(0;1;0), M(0,0,1)

Находим далее координаты точек В и К, вектора АК, коллинеарного прямой АК, и

векторов ВС и ВМ. Получаем B(-1;0;0;), K(-1/2;0;1/2), AK(-3/2;0;1/2), BC(1;1;0), BM (1;0;1). → → →

Если вектор n(k;l;m) перпендикулярен плоскости МВС, то n┴BC и n┴BM, или в координатах:

k*1+l*1+m*0=0

откуда, полагая, например, что k=1, находим, что l=-1, m=-1, т.е. n(1;-1;-1).

Пусть φ – это искомый угол. Тогда

Таким образом, угол между прямой АК и плоскостью МВС равен arcsin (2√30)/15.

На ребре АВ куба АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка Р – середина этого ребра. Найдём расстояние от вершины А1 до плоскости С 1 DP.

Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Bxyz, приняв, например, вершину В куба за начало системы координат, а векторы

ВА, ВС и ВВ 1 соответственно за единичные векторы i, j и k. В этой системе координат B(0;0;0), A(1;0;0), C(0;1;0), B1(0;0;1).

Составим уравнение плоскости С1DP, для чего найдём координаты точек C 1 , D, P и

векторов DC 1 и DP. Получаем:

C 1 (0;1;1), D(1;1;0), P(1/2;0;0), DC 1 (-1;0;1), DP(-1/2;-1;0).

Если вектор n(k;l;m) – нормальный вектор плоскости C 1 DP, то n┴DC 1 и n┴DP, или в координатах:

k*(-1)+l*0+m*1=0

Из этой системы уравнений находим ( с точностью до множителя пропорциональности)

k=2, l=-1, m=2.Итак, вектор n(2;-1;2) – нормальный вектор плоскости C 1 DP. Тогда, так как плоскость C 1 DP проходит, в частности, через точку D(1;1;0), её уравнение будет следующим:

или, после упрощений 2x-y+2z-1=0.

Если, далее, точка Н(h 1 ;h 2 ;h 3 ) – основание перпендикуляра, опущенного из точки А 1 (1;0;1)

на плоскость C 1 DP, т.е. если вектор A 1 H(h 1 -1;h 2 ;h 3 -1) перпендикулярен плоскости C 1 DP, то

A 1 H││n. Это значит, что

Так как точка Н лежит в плоскости C 1 DP, то её координаты удовлетворяют уравнению плоскости С 1 DP:

2h 1 -h 2 +2h 3 -1=0 (2)

Решим систему, составленную из уравнений (1) и (2). Положим, что (1)=t. Тогда h 1 =2t+1, h 2 = — t и h 3 =2t+1, и, следовательно, 2(2t+1) – (-t) + 2(2t+1)=0, откуда t= — 1/3. Значит,

координаты вектора А 1 Н будут следующими:

Теперь находим расстояние А 1 Н:

Таким образом, мы убедились, что использование векторно-координатного метода позволяет с лёгкостью решать множество задач самых разных типов, избегать громоздких доказательств теорем. Решать таким методом задачи очень просто и интересно, можно сэкономить время и силы. Такое решение задач хорошо тем, что человек не механически действует по образцу решения задач данного типа, повторяя одни и те же действия, а творчески подходит к работе. Хотя и можно распределить векторно решаемые задачи на группы, но каждое решение всё-таки обладает индивидуальностью, неповторимостью.

Учитель может добавлять свои задачи, легко изменять данные задачи путем «зеркального» изменения условия, изменения вводных данных и т.д. Надеюсь, что данная работа будет полезна для коллег, работающих в профильных классах, а также ведущих элективные курсы по аналитической геометрии.

Список используемой литературы:

«Применение векторов для решения задач»

СПб, СМИО Пресс 2002г.

«Векторное построение стереометрии»

изд. «Народная асвета»,1974г.

«Сборник задач по стереометрии с методами решений»

4.Болтянский В.Г., Ягиом И.Н.

«Векторы и их применение в геометрии в книге: Энциклопедия элементарной математики», том 4

М.,Главное издательство физмат литературы, 1963г.

5.Журнал «Математика в школе», №2,№3, 1984г.

6.Журнал «Математика», №39, 2001г.

7.Ионин Ю.И., Некрасов В.Б.

«Векторы в геометрических задачах»

«Задачи к урокам геометрии 7-11»

СПб, МПО «Мир и семья – 95», изд. ООО «Акация», 1996г.

9. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др.

учебник «Геометрия 9-10»

Изд. «Просвещение», 1982г.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка по теме: «Применение аналитической геометрии к решению стереометрических задач».

ВЫЧИСЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ И УГЛОВ Рассмотрим несколько геометрических задач, для решения которых необходимо вычислить те или иные расстояния или углы в пространст.

Использование координатно — векторного метода при решении стереометрических задач

Изучение данного метода является неотъемлемой частью школьного курса геометрии. Но нельзя забывать, что при решении задач координатно- векторным методом необходим навык алгебраических вычислений.

Методическая разработка по теме: «Применение векторно-координатного метода в решении стереометрических задач»

Учёные всегда стремились упростить себе жизнь – придумывали новые, простые методы решения, универсальные для множества задач, позволяющие быстро решить даже самую трудную задачу. .

Методическая разработка урока геометрии по теме «Применение теоремы синусов и косинусов при решении практических задач», 9 класс

На уроке разбирается решение задачи измерения высоты недоступного объекта различными способами: с использованием подобия, теорем синусов и др.

Определение области применения координатного метода при решении стереометрических задач на примере задания 14 ЕГЭ

Векторно-координатный метод — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве Автор обосновывает использование в.

рабочая программа курса по выбору «Векторный и координатный метод в решении стереометрических задач»»

Содержит характеристику курса и учебно-тематическое планирование.

Применение координатно-векторного метода при решении стереометрических задач

Мастер-класс по теме «Применение координатно-векторного метода при решении стереометрических задач». Разбор задач ЕГЭ.

Видео:Первые теоремы стереометрии.Скачать

Урок- мастер-класс «Решение задач стереометрии векторно-координатным методом»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Аксиомы стереометрии. 10 класс.Скачать

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Открытый урок — мастер класс в 11 информационно-технологическом профильном классе по теме:

«Векторно-координатный метод решения задач

1) рассмотреть векторно-координатный метод с применением скалярного произведения векторов для решения задач на нахождение углов

2) показать преимущество этого метода по сравнению с традиционными методами;

3) показать эффективность использования этого метода на экзамене.

Оборудование: ноутбук, мультимедийный проектор, презентация, 13 нетбуков.

Ход урока: Класс разделен на 4 разноуровневые группы обучающихся.

У учащихся на нетбуках презентация по теме для использования при

Учитель: При подготовке к ЕГЭ по математике, задача С ₂ вызывает у учащихся много вопросов. Сегодня мы хотим показать, что использование векторно-координатного метода решения задач такого типа упрощает решение, дает возможность по новому взглянуть на возможность решить эти задачи на экзамене.

1 группа : Задания по теории: угол между скрещивающимися прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями. Способы введения системы координат в кубе, треугольной призме, четырехугольной пирамиде, координаты точек.

Определение 1: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимися прямым.

Определение2: Если прямая a пересекает плоскость α и не перпендикулярна плоскости α, то углом между прямой и плоскостью α называется угол между прямой a и ее проекцией на плоскость α.

Из определения угла ϕ между прямой и плоскостью следует, что 0 º ≤ ϕ ≤ 90 º. Но угол между векторами может принимать значения от 0 º до 180 º. Поэтому возможны два случая:

1) 0

( )= + ϕ; + ϕ = —

Определение 3: Углом между плоскостями называется угол между прямыми, по которым плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух данных плоскостей, пересекает эти плоскости. ( угол ϕ)

Координаты вершин куба в прямоугольной системе координат в пространстве со стороной равной единице:

А(1;0;0),В(0;0;0) , С(0;1;0),Д(1;1;0),А ₁ (1;0;1),В ₁ (0;0;1), С ₁ (0;1;1), Д ₁ (1;1;1) .

Координаты треугольной призмы в прямоугольной системе координат в

пространстве со стороной равной единице:

А( 0;0;0) , В ( 0; 1; 0), С ( ;0), А ₁ ( 0; 0; 1), В ₁ (0; 1; 1),С ₁ (

Координаты четырехугольной пирамиды в прямоугольной системе координат в пространстве со стороной основания ,равной единице:

А(1; 0; 0),В(0;0;0), С(0;1;0),Д(1;1;0), S (

Алгоритм решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми векторно-координатным методом:

Угол между скрещивающимися прямыми заменяем углом между направляющими векторами этих прямых , который можно вычислить по теореме о скалярном произведение векторов по формуле:

Cos φ = , где | a * в| – модуль скалярного произведения векторов , а и – длины этих векторов.

Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью векторно-координатным методом :

Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле

, где – направляющий вектор прямой, — вектор нормали к плоскости, а и – длины этих векторов.

Вектор нормали к плоскости находим из условия его перпендикулярности двум непараллельным векторам плоскости. Чтобы найти координаты вектора нормали необходимо рассмотреть два скалярных произведения и приравнять их нулю.

Алгоритм решения задач на нахождение угла между плоскостями векторно- координатным методом: .

Углом между плоскостями считают угол между векторами нормали к плоскостям , который можно вычислить по формуле

= , где и –векторы нормали к плоскостям, а

– длины этих векторов

В это время учащиеся во 2, 3, 4 группах решают задачи.

2 группа : Задача1.

В правильной треугольной призме АВСА ₁ В ₁ С ₁ все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ и В ₁ С.

1) Введем систему координат как на рисунке.

3 группа: Задача 2.

В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямой АС и плоскостью А S Д.

1) Введем систему координат как на рисунке.

Координаты ( -1; 1; 0).Найдем координаты вектора нормали ( х; у; z) к плоскости АSД. Для этого выберем в плоскости АSД два непараллельных вектора .

Координаты векторов

х =0, при z =1, х= у =0.И так ,

4 группа: Задача 3.

В кубе АВСДА1В1С1Д1 точки Е и F – середины ребер соответственно А1В1 и А1Д1. Найдите косинус угла между плоскостями АЕF и ВДД1.

. Плоскость ВДД ₁ – это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости, поэтому – это вектор нормали к плоскости ВДД _1.

А ( 0; 0; 0;), С(1; 1; 0) , тогда = ₁ ( 1; 1; 0).

2) Найдем вектор нормали ₂ (х; у; z) к плоскости АЕF. Выберем в этой плоскости два непараллельных вектора и

3) Определим координаты векторов: А(0; 0; 0) , Е ( ½; 0; 1), F (0; ½; 1).

4) Запишем скалярные произведения ₂ * и ₂ * и приравняем их нулю

1/2х + 0у + z = 0, z = — 1/2х,

0х + ½ у + z = 0; z = — 1/2у, при х = у =1, z = — ½.

И так, вектор нормали ₂ ( 1; 1 ; — ½)

5) Найдем косинус угла между ₁ и _2.

Старшие в группах оформляют решение на доске. Учащиеся обсуждают решение задач, осуществляя взаимопроверку.

2. Самостоятельная работа. Решение задач из сборников ЕГЭ, С2.

3. Подведение итогов урока: И так, мы рассмотрели разнообразные виды задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями. За 30 минут решили 3 вида задач, убедились, что векторно – координатный метод позволяет сэкономить время на экзамене.

4.Домашнее задание: задачи из сборника ЕГЭ, С2.

Видео:Векторный метод в стереометрии. Задача 14 профильный ЕГЭСкачать

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Стереометрия - это ПРОСТО! Урок 1. Аксиомы Теоремы Задачи. Геометрия 10 классСкачать

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

🎥 Видео

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

10 класс, 2 урок, Аксиомы стереометрииСкачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 2 | Математика | TutorOnlineСкачать

Геометрия 10 класс (Урок№18 - Компланарные векторы. Векторный метод решения задач.)Скачать

Все теоремы по геометрии 10 классСкачать

Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Стереометрия с нуля до уровня ЕГЭ. Координатно-векторный метод. Задачи на доказательствоСкачать

10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиомСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ 10 11 класс стереометрия АтанасянСкачать

ЕГЭ. Математика. Промежуточный срез № 7 по теме «Стереометрия. Векторы и координаты». ПовторениеСкачать