Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружностиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружностиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружностиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности.

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникТеоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности
Равнобедренный треугольникТеоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности
Равносторонний треугольникТеоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности
Прямоугольный треугольникТеоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности.

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности.

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Произвольный треугольник
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности
Равнобедренный треугольник
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности
Равносторонний треугольник
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности
Прямоугольный треугольник
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности
Произвольный треугольник
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности.

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности.

Равнобедренный треугольникТеоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Равносторонний треугольникТеоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникТеоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности– полупериметр (рис. 6).

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

с помощью формулы Герона получаем:

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

2. Радиус вписанной окружности:
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

3. Радиус описанной окружности:
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

4. Периметр:
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

5. Площадь:
Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Теоремы о равностороннем треугольнике и вписанной окружности

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .

💥 Видео

Найти радиус вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника. Разные способы.Скачать

Найти радиус вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника. Разные способы.

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в  равносторонний  треугольник.

15 задание треугольники огэ по математике / маттаймСкачать

15 задание треугольники огэ по математике / маттайм

ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Формулы для равностороннего треугольника.Скачать

Формулы для  равностороннего треугольника.

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около равностороннего треугольника. Задача 2Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около  равностороннего   треугольника. Задача 2

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

7 фактов про равносторонний треугольникСкачать

7 фактов про равносторонний треугольник

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: