Доказать что треугольник abc акс

Содержание
  1. Доказать треугольник abc ac
  2. Доказать треугольник abc ac
  3. АС = DC Угол 1 равен углу 2Доказать что треугольник АВС равен треугольнику DBC?
  4. В треугольнике АВС, угол А + угол В = 100 градусов?
  5. Решить задачу :1) В треугольнике ABC угол А равен 40, а угол ВСЕ, смежный с углом ACB, равен 80?
  6. В треугольнике АВС угол, смежный с углом А, равен 150 градусам, а угол, вертикальный с углом С, равен 30 градусам?
  7. . В треугольнике АВС угол В — прямой, BD — высота?
  8. Угол ABC равен углу CDA, доказать : треугольник ADB равен треугольнику CBD?
  9. Помогите?
  10. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С угол В равен 35градусов?
  11. BM — биссектриса угла ABO Доказать : треугольник ABC равен треугольнику DBC?
  12. В треугольники АВС построена высота BD, Чему равны все углы треугольника АВС, если угол А в 1?
  13. Пусть АА1 и ВВ1 – высоты остроугольного треугольника АВС?
  14. Признаки равенства треугольников — определение и вычисление с примерами решения
  15. Определения
  16. Равные треугольники
  17. Виды треугольников
  18. Первый и второй признаки равенства треугольников
  19. Пример №1
  20. Пример №2
  21. Пример №3
  22. Пример №4
  23. Высота, медиана и биссектриса треугольника
  24. Равнобедренный треугольник
  25. Пример №5
  26. Пример №6
  27. Признаки равнобедренного треугольника
  28. Пример №7
  29. Пример №8
  30. Третий признак равенства треугольников
  31. Пример №9
  32. Пример №10
  33. Пример №11
  34. Серединный перпендикуляр к отрезку
  35. Пример №12
  36. Пример №13 (1-я замечательная точка треугольника).
  37. 🔍 Видео

Видео:№170. Докажите, что треугольники ABC и А1B1С1 равны, если АВ =А1В1, ∠A=∠A1, AD =A1D1, где AD и A1D1Скачать

№170. Докажите, что треугольники ABC и А1B1С1 равны, если АВ =А1В1, ∠A=∠A1, AD =A1D1, где AD и A1D1

Доказать треугольник abc ac

Видео:№199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВССкачать

№199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВС

Доказать треугольник abc ac

Ответ:

AB = CD, ∠AВC = ∠DСВ по условию, ВС — общая сторона для треугольников АВС и CDB, значит ΔАВС = ΔCDB по двум сторонам и углу между ними.

2. В условии опечатка, очевидно, что надо доказать равенство треугольников АВС и ADC.

∠ BAC = ∠DAC, ∠BCA = ∠DCA по условию, АС — общая сторона для треугольников АВС и ADC, значит эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3. К сожалению, в условии задачи перепутаны все обозначения. Исправим их так:

Дано: треугольник ABC и треугольник CBD, AB = CD, угол ABС равен углу BСD. Докажите, что AС = ВD.

АВ = CD по условию, ∠ABС = ∠BСD поусловию, ВС — общая сторона для треугольников ABС и DСВ, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит АВ = CD.

4. Отрезки АВ и CD равны, значит равны и их половины:

АМ = ВМ = СМ = DМ, ∠AMD = ∠СМВ как вертикальные, значит

ΔAMD = ΔСМВ по двум сторонам и углу между ними, ⇒ AD = BC.

5. СО = OD по условию, ∠ACO = ∠BDO = 90° по условию, ∠АОС = ∠BOD как вертикальные, ⇒ ΔАОС = ΔBOD по стороне и двум прилежащим к ней углам.

6. Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

Сумма углов треугольника 180°. Значит

∠L = 180° — (∠K + ∠M) = 180° — (47° + 47°) = 180° — 94° = 86°

Объяснение:

если я правильно узнал задачу ты не указал все значения дано

Видео:№140. В треугольниках ABC и А1B1С1 медианы ВМ и B1М1 равны, АВ =А1B1, АС=А1С1. Докажите, что ΔABCСкачать

№140. В треугольниках ABC и А1B1С1 медианы ВМ и B1М1 равны, АВ =А1B1, АС=А1С1. Докажите, что ΔABC

АС = DC Угол 1 равен углу 2Доказать что треугольник АВС равен треугольнику DBC?

Геометрия | 5 — 9 классы

АС = DC Угол 1 равен углу 2

Доказать что треугольник АВС равен треугольнику DBC.

Доказать что треугольник abc акс

Доказать что треугольник abc акс

∠АСВ = 180° — ∠1 по свойству смежных углов, ∠DCB = 180° — ∠2 по свойству смежных углов, ∠1 = ∠2 по условию, значит и ∠АСВ = ∠DCBAC = DC по условию, ВС — общая сторона для треугольников АВС и DBC, ⇒ΔАВС = ΔDBC по двум сторонам и углу между ними.

Доказать что треугольник abc акс

Видео:№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провестиСкачать

№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести

В треугольнике АВС, угол А + угол В = 100 градусов?

В треугольнике АВС, угол А + угол В = 100 градусов.

Чему равен угол С.

В равнобедренном треугольнике АВС , угол А — при основании равен 35 градусов.

Найдите углы при вершинах В и С треугольника АВС.

Доказать что треугольник abc акс

Видео:№98. В треугольниках ABC и A1B1C1 AB = А1В1, АС = А1С1, ∠A=∠A1 На сторонах AB и A1B1 отмеченыСкачать

№98. В треугольниках ABC и A1B1C1 AB = А1В1, АС = А1С1, ∠A=∠A1 На сторонах AB и A1B1 отмечены

Решить задачу :1) В треугольнике ABC угол А равен 40, а угол ВСЕ, смежный с углом ACB, равен 80?

1) В треугольнике ABC угол А равен 40, а угол ВСЕ, смежный с углом ACB, равен 80.

Доказать, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой AB.

2)В треугольниках ABC и MKE отрезки СО и EH медианы, BC = KE, угол В равен углу К и угол С равен углу E.

Доказать, что треугольник АСО равен треугольнику MEH.

Доказать что треугольник abc акс

Видео:№127. В треугольниках ABC и А1В1С1 АВ=А1В1, ВС=В1С1, ∠B =∠B1Скачать

№127. В треугольниках ABC и А1В1С1 АВ=А1В1, ВС=В1С1, ∠B =∠B1

В треугольнике АВС угол, смежный с углом А, равен 150 градусам, а угол, вертикальный с углом С, равен 30 градусам?

В треугольнике АВС угол, смежный с углом А, равен 150 градусам, а угол, вертикальный с углом С, равен 30 градусам.

Докажите , что треугольник АВС — равнобедренный.

Доказать что треугольник abc акс

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

. В треугольнике АВС угол В — прямой, BD — высота?

. В треугольнике АВС угол В — прямой, BD — высота.

Доказать, что угол А = углу DBC.

Доказать что треугольник abc акс

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Угол ABC равен углу CDA, доказать : треугольник ADB равен треугольнику CBD?

Угол ABC равен углу CDA, доказать : треугольник ADB равен треугольнику CBD.

Доказать что треугольник abc акс

Видео:7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольников

Помогите?

В треугольнике АВС угол А в три раза больше угла В и равен половине угла С.

Чему равен угол А?

Доказать что треугольник abc акс

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С угол В равен 35градусов?

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С угол В равен 35градусов.

Найдите угол А этого треугольника.

Доказать что треугольник abc акс

Видео:№130. В треугольниках ABC и А1В1С1 отрезки СО и С1О1 — медианы, ВС=В1С1, ∠B = ∠B1 и ∠C=∠C1Скачать

№130. В треугольниках ABC и А1В1С1 отрезки СО и С1О1 — медианы, ВС=В1С1, ∠B = ∠B1 и ∠C=∠C1

BM — биссектриса угла ABO Доказать : треугольник ABC равен треугольнику DBC?

BM — биссектриса угла ABO Доказать : треугольник ABC равен треугольнику DBC.

Доказать что треугольник abc акс

Видео:Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.

В треугольники АВС построена высота BD, Чему равны все углы треугольника АВС, если угол А в 1?

В треугольники АВС построена высота BD, Чему равны все углы треугольника АВС, если угол А в 1.

5 раза больше угла В.

А угол DBC равен 50.

Доказать что треугольник abc акс

Видео:АК - биссектриса треугольника АВС. АВ=ВС. Угол АКС=108 градусов.Найти углы АВС, ВАС, АСВ.Скачать

АК - биссектриса треугольника АВС. АВ=ВС. Угол АКС=108 градусов.Найти углы АВС, ВАС, АСВ.

Пусть АА1 и ВВ1 – высоты остроугольного треугольника АВС?

Пусть АА1 и ВВ1 – высоты остроугольного треугольника АВС.

Доказать, что угол СА1В1 равен углу САВ.

На этой странице сайта размещен вопрос АС = DC Угол 1 равен углу 2Доказать что треугольник АВС равен треугольнику DBC? из категории Геометрия с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 — 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.

Видео:Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.

Признаки равенства треугольников — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Если на плоскости отметить три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, и соединить их отрезками, то получим треугольник ABC. Можно сказать, что треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная. Обозначают: Доказать что треугольник abc акс

Видео:№121. В треугольнике ABC дано: ∠C = 90°, AC = 6 см, ВС = 8 см, СМ — медиана. Через вершину ССкачать

№121. В треугольнике ABC дано: ∠C = 90°, AC = 6 см, ВС = 8 см, СМ — медиана. Через вершину С

Определения

Доказать что треугольник abc акс

Определение. Треугольником называется трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

Если соединить концами три деревянных планки, то получится треугольник, который нельзя подвергнуть деформации — он будет сохранять свою форму. Тогда как четырехугольник может менять свою форму (рис. 102)? Это свойство «жесткости» треугольника широко используется в технике, производстве, строительстве.
Доказать что треугольник abc акс

Равные треугольники

Равные треугольники можно совместить наложением так, что соответственно совпадут все три стороны и все три угла (рис. 103). В совпавших, то есть в равных треугольниках, против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны. Если Доказать что треугольник abc аксто Доказать что треугольник abc акса если Доказать что треугольник abc аксто Доказать что треугольник abc акс

Доказать что треугольник abc акс

Для совмещения равных отрезков достаточно совпадения их концов, а для совмещения равных треугольников — совпадения их вершин.

Виды треугольников

Если у треугольника все три стороны имеют разную длину, то такой треугольник называется разносторонним.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Его равные стороны называются боковыми сторонами, третья сторона — основанием, вершина, противолежащая основанию, — вершиной равнобедренного треугольника (рис. 104).

Доказать что треугольник abc акс

Если у треугольника равны все три стороны, то он называется равносторонним (рис. 105). Равносторонний треугольник является также и равнобедренным, где любую пару сторон можно принять за боковые стороны.

Доказать что треугольник abc акс

По величине углов треугольники делятся на остроугольные (у них все углы острые), тупоугольные (есть тупой угол) и прямоугольные (есть прямой угол) (рис. 106).

Доказать что треугольник abc акс

Треугольником называется трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

Периметром треугольника (многоугольника) называется сумма длин его сторон.

Равными треугольниками называются треугольники, которые можно совместить наложением.

Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все стороны равны.

Свойство равных треугольников. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны.

Замечание. Называя или записывая равные треугольники, стараются соблюдать последовательность соответствующих вершин. Во многих случаях это удобно. Однако делать это необязательно. Обе записи: Доказать что треугольник abc аксАВС =Доказать что треугольник abc аксKNM и Доказать что треугольник abc аксBAC =Доказать что треугольник abc аксKNM — правильные. Иногда соответствующие вершины равных треугольников обозначают одними и теми же буквами, добавляя к буквам одного из треугольников индекс: Доказать что треугольник abc аксАВС = = Доказать что треугольник abc аксА1В1С1. При такой записи имеют в виду, что соответствующими являются вершины А и А1, В и В1, С и С1.

Первый и второй признаки равенства треугольников

При выяснении равны ли треугольники нет необходимости устанавливать равенство всех их соответствующих элементов путем наложения или измерения. Следующие две теоремы гарантируют равенство треугольников при равенстве некоторых сторон и углов.

Теорема (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: АВ =А1В1, АС =А1С1, Доказать что треугольник abc аксA = Доказать что треугольник abc аксA1 (рис. 108).

Доказать что треугольник abc акс

Доказать: Доказать что треугольник abc аксАВС = Доказать что треугольник abc аксА1В1С1.

Доказательство:

Наложим треугольник ABC на треугольник А1В1С1 так, чтобы совпали равные углы А и А1, луч АВ совпал с лучом А1В1, а луч АС совпал с лучом А1С1. Так как отрезки АВ и А1В1 равны, то они совпадут при наложении, и вершина В совпадет с вершиной В1. Аналогично совпадут равные отрезки АС и A1C1, вершина С совпадет с вершиной C1. Треугольники совпадут полностью, так как совпадут их вершины. Таким образом, Доказать что треугольник abc аксАВС = Доказать что треугольник abc аксА1В1С1. Теорема доказана.

Говорят, что две стороны и угол между ними задают треугольник однозначно.

Теорема (второй признак равенства треугольников). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

AC =А1С1, Доказать что треугольник abc аксA = Доказать что треугольник abc аксА1, Доказать что треугольник abc аксC = Доказать что треугольник abc аксС1 (рис. 109).

Доказать: Доказать что треугольник abc аксАВС = Доказать что треугольник abc аксА1В1С1.

Доказательство:

Наложим треугольник ABC на треугольник А1В1С1 так, чтобы совпали равные стороны АС и А1С1, угол А совпал с равным углом А1, а угол С — с равным углом Сх. Тогда луч АВ совпадет с лучом А1В1, луч СВ — с лучом С1В1, а вершина В совпадет с вершиной В1 (точка В будет принадлежать и прямой
А1В1, и прямой С1В1, и поэтому совпадет с точкой их пересечения В1). Треугольники совпадут полностью, так как совпадут их вершины. Таким образом, Доказать что треугольник abc аксАВС = Доказать что треугольник abc аксА1В1С1. Теорема доказана.

Говорят, что сторона и два прилежащих к ней угла задают треугольник однозначно

Пример №1

Отрезки АВ и CD пересекаются в их серединах. Доказать, что расстояния между точками А и С, В и D равны.

Доказать что треугольник abc акс

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков АВ и CD (рис. 110). Рассмотрим Доказать что треугольник abc аксАОС и Доказать что треугольник abc аксBOD. У них АО = ОВ, CO = OD по условию, Доказать что треугольник abc аксAOC = Доказать что треугольник abc аксBOD как вертикальные. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, то есть по 1-му признаку равенства треугольников. Стороны АС и BD равны, так как в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

Возможно краткое оформление решения задачи.Доказать что треугольник abc акс

Пример №2

Дана простая замкнутая ломаная ABCD, у которой АВ =AD = 6 см, CD -4 см и луч АС является биссектрисой угла BAD. Найти длину ломаной ABCD.

Решение:

У треугольников ABC и ADC сторона АС — общая (рис. 111), AB=AD по условию, Доказать что треугольник abc аксBAC =Доказать что треугольник abc аксDAC, так как АС — биссектриса угла BAD.

Доказать что треугольник abc акс

Эти треугольники равны по 1-му признаку равенства треугольников.

Отсюда ВС = CD как соответствующие (соответственные) стороны в двух равных треугольниках.

Длина ломаной ABCD: Доказать что треугольник abc акс

Пример №3

На сторонах угла В отложены отрезки: ВА = ВС, КА-МС (рис. 112). Доказать, что Доказать что треугольник abc аксA = Доказать что треугольник abc аксС.

Доказать что треугольник abc акс

Доказательство:

Рассмотрим треугольники АВМ и СВК. У них Доказать что треугольник abc аксB — общий, АВ = СВ по условию, MB=KB, так как MB = СВ — СМ, KB =АВ -АК (если от равных отрезков отнять равные, получим равные отрезки). Треугольники АВМ и СВК равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что Доказать что треугольник abc аксA = Доказать что треугольник abc аксC (в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы).

Пример №4

На рисунке 113 Доказать что треугольник abc аксBAD = Доказать что треугольник abc аксCDA, Доказать что треугольник abc аксCAD = Доказать что треугольник abc аксBDA. Доказать равенство треугольников АОВ и DOC.

Доказать что треугольник abc акс

Доказательство:

Так как Доказать что треугольник abc аксABD =Доказать что треугольник abc аксDCA по 2-му признаку равенства треугольников (сторона AD — общая, углы при стороне AD соответственно равны по условию), то АВ = DC, Доказать что треугольник abc аксB =Доказать что треугольник abc аксC.

Так как Доказать что треугольник abc аксBAO = Доказать что треугольник abc аксBAD — Доказать что треугольник abc аксCAD, Доказать что треугольник abc аксCDO = Доказать что треугольник abc аксCDA — Доказать что треугольник abc аксBDA, тo Доказать что треугольник abc аксBAO =Доказать что треугольник abc аксCDO (если от равных углов отнять равные, получим равные углы). Тогда Доказать что треугольник abc аксАОВ = Доказать что треугольник abc аксDOC по 2-му признаку равенства треугольников.

Высота, медиана и биссектриса треугольника

У треугольника, помимо трех сторон, трех вершин и трех углов, имеются также и другие элементы — высота, медиана и биссектриса.
Доказать что треугольник abc акс

Определение. Высотой треугольника (рис. 118, а) называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на ее продолжение (отрезок ВН).

Определение. Медианой треугольника (рис. 118, б) называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны (отрезок ВМ).

Определение. Биссектрисой треугольника (рис. 118, в) называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения биссектрисы с противоположной стороной (отрезок ВК).

В равных треугольниках равны соответствующие высоты, медианы и биссектрисы.

Если треугольник не равнобедренный, то высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины треугольника, не совпадают (рис. 119).

Доказать что треугольник abc акс

Поскольку у треугольника три вершины, то у него и три высоты, три медианы, три биссектрисы. Позже мы докажем, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Это же касается медиан треугольника (рис. 120) и его биссектрис (рис. 121).

Доказать что треугольник abc акс

Если треугольник остроугольный (рис. 122, а), то точка пересечения его высот находится внутри треугольника ABC. Если треугольник тупоугольный или прямоугольный (рис. 122, б, в), то продолжения высот пересекаются соответственно вне треугольника или в вершине прямого угла.

Доказать что треугольник abc акс

Точки пересечения высот, биссектрис и медиан называются замечательными точками треугольника.

Геометрия 3D

Тетраэдром или треугольной пирамидой называется многогранник, у которого все четыре грани — треугольники. Любую его грань можно принять за основание, а противолежащую вершину — за вершину пирамиды. Если точка S — вершина, а треугольник ABC — основание пирамиды, то перпендикуляр SH к плоскости ABC является высотой тетраэдра (рис. 124).
Доказать что треугольник abc акс

Равнобедренный треугольник

Определение. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.

Равные стороны называются боковыми сторонами, третья сторона — основанием, вершина, противолежащая основанию, — вершиной равнобедренного треугольника.

Рассмотрим некоторые свойства равнобедренного треугольника и один из его признаков.

Теорема (о свойстве углов при основании). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: Доказать что треугольник abc акс(рис. 126).

Доказать что треугольник abc акс

Доказать: Доказать что треугольник abc акс

Доказательство:

Проведем биссектрису ВК треугольника ABC. Треугольники АВК и СВК равны по двум сторонам и углу между ними: сторона ВК — общая, АВ = ВС по условию, углы АВК и СВК равны по определению биссектрисы. Из равенства этих треугольников следует, что Доказать что треугольник abc аксТеорема доказана.

Теорема (о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника).

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является его медианой и высотой.

Дано: Доказать что треугольник abc акс— биссектриса (рис. 127).

Доказать что треугольник abc акс

Доказать: ВК — медиана и высота.

Доказательство:

Треугольники АВК и СВК равны по двум сторонам и углу между ними (см. предыдущую теорему). Из равенства треугольников следует, что АК=КС и Доказать что треугольник abc акс1 =Доказать что треугольник abc акс2. Так как углы 1 и 2 смежные, то их сумма равна 180°, поэтому Доказать что треугольник abc аксСледовательно, ВК — медиана и высота. Теорема доказана.

Замечание. Поскольку из вершины треугольника можно провести только одну биссектрису, одну высоту и одну медиану, то теорему можно сформулировать так: «Биссектриса, высота и медиана равнобедренного треугольника, проведенные из вершины к основанию, совпадают». То есть если по условию задачи дана высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, то согласно данной теореме она является биссектрисой и медианой. Аналогично, если дана медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, то она является высотой и биссектрисой.

Теорема (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Дано: Доказать что треугольник abc акс

Доказать:Доказать что треугольник abc акс

Доказательство:

Мысленно перевернем треугольник ABC обратной стороной (рис. 128) и наложим перевернутый треугольник на треугольник ABC так, чтобы их стороны АС совпали, угол С совпал с углом А, угол А совпал с углом С.

Доказать что треугольник abc акс

Тогда перевернутый треугольник совместится с данным, и сторона ВС совместится со стороной АВ. Следовательно, АВ = ВС, т. е. Доказать что треугольник abc аксАВС — равнобедренный. Теорема доказана.

Доказанный признак равнобедренного треугольника является теоремой, обратной теореме о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника (рис. 129).

Доказать что треугольник abc акс

Напомним, что любая теорема состоит из условия — того, что дано, и заключения — того, что нужно доказать. У теоремы, обратной данной, условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной.

Пример №5

Доказать, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой.

Доказательство:

Пусть в Доказать что треугольник abc аксАВС АВ =ВС, АК и СМ — биссектрисы (рис. 130). Нужно доказать, что АК = СМ. Рассмотрим Доказать что треугольник abc аксАКВ и Доказать что треугольник abc аксСМВ. У них Доказать что треугольник abc аксB — общий, АВ = ВС по условию, Доказать что треугольник abc аксBAK = Доказать что треугольник abc аксBCM как половины равных углов А и С при основании равнобедренного треугольника. Тогда Доказать что треугольник abc аксАКВ = Доказать что треугольник abc аксСМВ по 2-му признаку равенства треугольников, откуда АК = СМ. Что и требовалось доказать.

Замечание. Вторым способом доказательства будет рассмотрениеДоказать что треугольник abc аксАКС иДоказать что треугольник abc аксСМА и доказательство их равенства.

Пример №6

Доказать, что перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам.

Доказательство:

Пусть О — центр окружности, АВ — хорда, ОН — перпендикуляр к хорде АВ (рис. 131).

Доказать что треугольник abc акс

Отрезки OA и ОВ равны как радиусы. Поэтому треугольник АОВ — равнобедренный, а ОН — его высота, проведенная к основанию. Мы знаем, что высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой. А медиана делит сторону треугольника пополам, то есть АН = НВ. Что и требовалось доказать.

Признаки равнобедренного треугольника

Вы уже знаете один признак равнобедренного треугольника: «Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный». Докажем еще три признака равнобедренного треугольника, связанных с его высотой, медианой и биссектрисой.

Теорема. Если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный.

Дано: ВН — высота и медиана Доказать что треугольник abc аксАВС (рис. 136).

Доказать что треугольник abc акс

Доказательство:

Рассмотрим Доказать что треугольник abc аксАВН и Доказать что треугольник abc аксСВН. У них сторона ВН — общая, Доказать что треугольник abc аксДоказать что треугольник abc акс(так как ВН — высота), АН = СН (так как ВН — медиана). Треугольники АВН и СВН равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон АВ и ВС. Теорема доказана.

Теорема. Если в треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Дано: ВН — высота и биссектриса Доказать что треугольник abc аксАВС.

Доказать: АВ = ВС (рис. 137).

Доказать что треугольник abc акс

Доказательство:

Рассмотрим Доказать что треугольник abc аксАВН и Доказать что треугольник abc аксСВН. У них сторона ВН — общая, Доказать что треугольник abc аксДоказать что треугольник abc акс(так как ВН — высота), Доказать что треугольник abc аксДоказать что треугольник abc акс(так как ВН — биссектриса). Треугольники АВН и СВН равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон АВ и ВС. Теорема доказана.

Теорема. Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Дано: ВМ — медиана и биссектриса Доказать что треугольник abc аксАВС.

Доказать: АВ = ВС (рис. 138).

Доказательство:

Продлим медиану ВМ на ее длину за точку М. Получим МВХ = ВМ. Треугольники АМВ1 и СМВ равны по двум сторонам и углу между ними (МВ1 = ВМ по построению; AM = МС, так как ВМ — медиана; Доказать что треугольник abc аксAMВ1 =Доказать что треугольник abc аксCMB как вертикальные). Из равенства этих треугольников следует, что АВ1=ВС и Доказать что треугольник abc аксAB1M = =Доказать что треугольник abc аксCBM. Но ZCBM = ZABM, так как ВМ — биссектриса по условию. Тогда Доказать что треугольник abc аксAB1B = Доказать что треугольник abc аксABB1 и Доказать что треугольник abc аксАВВ1 — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. Следовательно, АВ=АВ1. А так как АВ1=ВС, то АВ = ВС. Теорема доказана.

Замечание. Прием продления (продолжения) медианы часто используется при решении геометрических задач.

Пример №7

В треугольнике ABC с периметром 54 см медиана АК перпендикулярна стороне ВС, а высота ВМ составляет равные углы со сторонами ВА и ВС. Найти стороны треугольника ABC.

Решение:

Так как медиана АК является и высотой, то Доказать что треугольник abc аксАВС — равнобедренный с основанием ВС и АВ =АС. Так как высота ВМ является и биссектрисой, то Доказать что треугольник abc аксАВС — равнобедренный с основанием АС и АВ = ВС. Тогда Доказать что треугольник abc аксАВС — равносторонний, Доказать что треугольник abc аксДоказать что треугольник abc акс(см).

Пример №8

Биссектриса АК треугольника АБС делит сторону ВС пополам. Периметр треугольника ABC равен 36 см, периметр треугольника АКС равен 30 см. Найти длину биссектрисы АК.

Решение:

Из условия следует, что биссектриса АК является и медианой Доказать что треугольник abc аксАВС (рис. 139).

Доказать что треугольник abc акс

Тогда Доказать что треугольник abc аксАВС — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника и АВ=АС. Так как ВК = СК, то сумма отрезков АС и СК равна полупериметру Доказать что треугольник abc аксАВС, то есть 18 см. По условию периметр Доказать что треугольник abc аксАКС равен 30 см, поэтому АК = 30 — 18 = 12 (см).

Геометрия 3D

У правильной треугольной пирамиды DABC в основании лежит равносторонний треугольник ABC, а боковые грани ADB, ADC, BDC — равные равнобедренные треугольники с общей вершиной D (рис. 142).

Доказать что треугольник abc акс

У правильной четырехугольной пирамиды в основании лежит квадрат MNKE, а боковые грани МРЕ, MPN, NPK, ЕРК — равные равнобедренные треугольники с общей вершиной Р (рис. 143).

Доказать что треугольник abc акс

Третий признак равенства треугольников

Вам уже известны два признака равенства треугольников. Рассмотрим еще один.

Теорема (третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказать что треугольник abc акс

Доказать: Доказать что треугольник abc аксАВС = Доказать что треугольник abc аксА1В1С1.

Доказательство:

Приложим треугольник А1В1С1 к треугольнику ABC так, чтобы у них совместились равные стороны А1С1 и АС, а вершины В1 и В оказались в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольник А1В1С1 займет положение треугольника АВ2С. Проведем отрезок ВВ2. Так как АВ2=АВ и В2С = ВС, то треугольники АВВ2 и СВВ2 — равнобедренные. Откуда Доказать что треугольник abc аксl =Доказать что треугольник abc акс2 и Доказать что треугольник abc акс3 =Доказать что треугольник abc акс4 (как углы при основании равнобедренного треугольника). Тогда Доказать что треугольник abc аксABC =Доказать что треугольник abc аксAB2C, и треугольники ABC и АВ2С равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, Доказать что треугольник abc аксАВС =Доказать что треугольник abc аксА1В1С1. Теорема доказана.

Замечание. Чтобы отрезок ВВ2 проходил внутри треугольника ABC, следует прикладывать треугольники большей стороной.

Говорят, что три стороны задают треугольник однозначно.

Итак, теперь вы знаете три признака равенства треугольников. Можно сформулировать и другие признаки равенства треугольников, в которых неизбежно будет присутствовать соответственное равенство каких-то трех элементов двух треугольников. Однако не любые три элемента задают треугольник. Так, например, если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники не обязательно равны. То же касается треугольников, у которых соответственно равны две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон.

На рисунке 145, а, б вы видите пары таких неравных треугольников.

Доказать что треугольник abc акс

Пример №9

У простой замкнутой ломаной ABCD AB=AD, BC = DC. Доказать, что Доказать что треугольник abc аксB = Доказать что треугольник abc аксD и луч АС — биссектриса угла BAD.

Доказательство:

Проведем отрезок АС (рис. 146).

Доказать что треугольник abc акс

Треугольники ABC и ADC равны по 3-му признаку равенства треугольников (AB=AD и BC = DC по условию, сторона АС — общая). Поэтому Доказать что треугольник abc аксB =Доказать что треугольник abc аксD и Доказать что треугольник abc аксBAC =Доказать что треугольник abc аксDAC как соответствующие в двух равных треугольниках и луч АС — биссектриса угла BAD.

Пример №10

Доказать равенство треугольников по двум сторонам и медиане между ними.

Доказательство:

Доказать что треугольник abc акс

Нужно доказать, что Доказать что треугольник abc аксАВС =Доказать что треугольник abc аксА1В1С1. Продлим в каждом треугольнике данную медиану на ее длину так, что MD = ВМ, M1D1=B1M1. Так как Доказать что треугольник abc аксAMD =Доказать что треугольник abc аксСМВ по 1-му признаку равенства треугольников (AM = МС, Доказать что треугольник abc аксAMD =Доказать что треугольник abc аксCMB как вертикальные, ВМ = MD по построению), то AD = BC. Аналогично Доказать что треугольник abc аксAXMXDX = Доказать что треугольник abc аксС1М1В1, откуда A1D1 = B1C1. По условию ВС = В1С1, следовательно, AD=A1D1 и Доказать что треугольник abc аксABD =Доказать что треугольник abc аксA1B1D1 по трем сторонам. Тогда Доказать что треугольник abc аксABM =Доказать что треугольник abc аксA1B1M1 и Доказать что треугольник abc аксАВМ =Доказать что треугольник abc аксА1В1М1 по 1-му признаку равенства треугольников. Отсюда AM =А1М1, АС =А1С1 (так как ВМ и В1М1 — медианы) и Доказать что треугольник abc аксАВС =Доказать что треугольник abc аксА1В1С1 по трем сторонам.

Пример №11

Два равных отрезка АВ и CD пересекаются в точке О и AD = BC. Доказать, что ВО = DO.

Доказательство:

Соединим точки В и D отрезком (рис. 148).

Доказать что треугольник abc акс

Треугольники ABD и CDB равны по трем сторонам (сторона BD — общая, AB=CD и AD=СВ по условию). Из равенства треугольников следует, что Доказать что треугольник abc аксABD =Доказать что треугольник abc аксCDB. Тогда Доказать что треугольник abc аксBOD — равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), откуда ВО=DO.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Прямая CD — серединный перпендикуляр к отрезку АВ, то есть Доказать что треугольник abc акс(рис. 152).

Доказать что треугольник abc акс
Теорема (о серединном перпендикуляре).

Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

В данной теореме два утверждения: прямое и ему обратное. Докажем каждое из этих утверждений отдельно.

1) Дано: Доказать что треугольник abc акс— серединный перпендикуляр к отрезку Доказать что треугольник abc акс(рис. 153).

Доказать что треугольник abc акс

Доказательство:

По определению серединного перпендикуляра Доказать что треугольник abc аксТогда в треугольнике АКВ высота КМ является медианой. По признаку равнобедренного треугольника Доказать что треугольник abc аксАКВ — равнобедренный, поэтому КА=КВ.

2) Дано: Доказать что треугольник abc акс(рис. 154).

Доказать что треугольник abc акс

Доказать: Доказать что треугольник abc аксгде Доказать что треугольник abc акс— серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Доказательство:

Проведем в равнобедренном Доказать что треугольник abc аксАКВ высоту КМ, которая по свойству равнобедренного треугольника будет и медианой. Получим Доказать что треугольник abc аксПрямая Доказать что треугольник abc акс, проходящая через высоту КМ, — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Геометрическим местом точек плоскости (или пространства) называется множество всех точек плоскости (или пространства), обладающих общим свойством.

Из доказанной теоремы следует, что серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка.

Пример №12

В четырехугольнике (рис. 155) ABCD AB=BC, AD=DC.

Доказать что треугольник abc акс

Доказать, что ACДоказать что треугольник abc аксBD.

Доказательство:

1-й способ. Из равенства треугольников ABD и CBD по трем сторонам следует, что Доказать что треугольник abc аксABD =Доказать что треугольник abc аксCBD. В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса ВМ является и высотой. Поэтому ACДоказать что треугольник abc аксBD.

2-й способ. Точки В и D равноудалены от концов отрезка АС, поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к отрезку АС. Так как через две точки проходит единственная прямая, то BD — серединный перпендикуляр к отрезку АС. Отсюда ACДоказать что треугольник abc аксBD. и AM = МС.

Пример №13 (1-я замечательная точка треугольника).

Доказать, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть два серединных перпендикуляра к сторонам АС и АВ пересекаются в точке О (рис. 156).

Доказать что треугольник abc акс

Точка О лежит на серединном перпендикуляре ОМ, поэтому ОА = ОС. Точка О лежит на серединном перпендикуляре ОК, поэтому ОА = ОВ. Отсюда ОВ = ОС. Поскольку точка О равноудалена от концов отрезка ВС, то она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС. Таким образом, третий серединный перпендикуляр пройдет через точку О, и все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекутся в одной точке.

  • 1. Если ножку циркуля поставить в точку О и построить окружность радиусом OA, то она пройдет через все вершины треугольника в силу того, что OA = OB = ОС. Такая окружность называется описанной около треугольника. В данной задаче мы доказали, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  • 2. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника — это еще одна замечательная точка треугольника помимо уже известных вам точек пересечения биссектрис, медиан, высот.

Напомню:

Три признака равенства треугольников:

  • По двум сторонам и углу между ними.
  • По стороне и двум прилежащим к ней углам.
  • По трем сторонам.
  1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
  2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины к основанию, является его высотой и медианой.
  3. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
  4. Если высота треугольника является его медианой или биссектрисой, или медиана является его биссектрисой, то треугольник равнобедренный (признаки равнобедренного треугольника).
  5. Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
  6. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (1-я замечательная точка треугольника).
Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников
  • Соотношения в прямоугольном треугольнике
  • Сумма углов треугольника
  • Внешний угол треугольника
  • Задачи на построение циркулем и линейкой
  • Задачи на построение по геометрии
  • Угол — определение, виды, как обозначают с примерами
  • Перпендикулярные прямые в геометрии

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.


источники:

🔍 Видео

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

№139. На рисунке 76 АВ = CD, AD = ВС, BE — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC.Скачать

№139. На рисунке 76 АВ = CD, AD = ВС, BE — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC.

№170. Из вершины В треугольника ABC, сторона АС которого лежит в плоскости а, проведен к этойСкачать

№170. Из вершины В треугольника ABC, сторона АС которого лежит в плоскости а, проведен к этой

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найти меньший угол треугольника ABCСкачать

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найти меньший угол треугольника ABC
Поделиться или сохранить к себе: