Теоремы о хордах окружности и углах

Углы, связанные с окружностью
Теоремы о хордах окружности и углахВписанные и центральные углы
Теоремы о хордах окружности и углахУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Теоремы о хордах окружности и углахДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Теоремы о хордах окружности и углах

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Теоремы о хордах окружности и углах

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголТеоремы о хордах окружности и углах
Вписанный уголТеоремы о хордах окружности и углахВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголТеоремы о хордах окружности и углахВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголТеоремы о хордах окружности и углахДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголТеоремы о хордах окружности и углахВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаТеоремы о хордах окружности и углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Теоремы о хордах окружности и углах

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Теоремы о хордах окружности и углах

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Теоремы о хордах окружности и углах

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Теоремы о хордах окружности и углах

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Теоремы о хордах окружности и углах

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Теоремы о хордах окружности и углах

Видео:11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиТеоремы о хордах окружности и углахТеоремы о хордах окружности и углах
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаТеоремы о хордах окружности и углахТеоремы о хордах окружности и углах
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияТеоремы о хордах окружности и углахТеоремы о хордах окружности и углах
Угол, образованный касательной и секущейТеоремы о хордах окружности и углахТеоремы о хордах окружности и углах
Угол, образованный двумя касательными к окружностиТеоремы о хордах окружности и углахТеоремы о хордах окружности и углах

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Теоремы о хордах окружности и углах
Формула: Теоремы о хордах окружности и углах
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Теоремы о хордах окружности и углах

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Теоремы о хордах окружности и углах
Формула: Теоремы о хордах окружности и углах
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Теоремы о хордах окружности и углах

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Теоремы о хордах окружности и углах

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Теоремы о хордах окружности и углах

В этом случае справедливы равенства

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Теоремы о хордах окружности и углах

В этом случае справедливы равенства

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Теоремы о хордах окружности и углах

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Урок 22. Геометрия 11 классСкачать

Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Урок 22. Геометрия 11 класс

Окружность. Основные теоремы

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка (B) – вершина вписанного угла (ABC) и (BC) – диаметр окружности:

Теоремы о хордах окружности и углах

Треугольник (AOB) – равнобедренный, (AO = OB) , (angle AOC) – внешний, тогда (angle AOC = angle OAB + angle ABO = 2angle ABC) , откуда (angle ABC = 0,5cdotangle AOC = 0,5cdotbuildrelsmileover) .

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол (ABC) . Проведём диаметр окружности (BD) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла (angle ABD, angle CBD) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла (angle ABD, angle CBD) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Теоремы о хордах окружности и углах

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая (a) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние (d) от центра окружности до прямой меньше радиуса (R) окружности (рис. 3).

2) прямая (b) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка (B) – точкой касания. В этом случае (d=R) (рис. 4).

3) прямая (c) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

Теоремы о хордах окружности и углах

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки (K) две касательные (KA) и (KB) :

Теоремы о хордах окружности и углах

Значит, (OAperp KA, OBperp KB) как радиусы. Прямоугольные треугольники (triangle KAO) и (triangle KBO) равны по катету и гипотенузе, следовательно, (KA=KB) .

Следствие

Центр окружности (O) лежит на биссектрисе угла (AKB) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки (K) .

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть (M) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Теоремы о хордах окружности и углах

Покажем, что (angle DMB = dfrac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) .

(angle DAB) – внешний угол треугольника (MAD) , тогда (angle DAB = angle DMB + angle MDA) , откуда (angle DMB = angle DAB — angle MDA) , но углы (angle DAB) и (angle MDA) – вписанные, тогда (angle DMB = angle DAB — angle MDA = fracbuildrelsmileover — fracbuildrelsmileover = frac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) , что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: [angle CMD=dfrac12left(buildrelsmileover+buildrelsmileoverright)]

Доказательство

(angle BMA = angle CMD) как вертикальные.

Теоремы о хордах окружности и углах

Из треугольника (AMD) : (angle AMD = 180^circ — angle BDA — angle CAD = 180^circ — frac12buildrelsmileover — frac12buildrelsmileover) .

Но (angle AMD = 180^circ — angle CMD) , откуда заключаем, что [angle CMD = frac12cdotbuildrelsmileover + frac12cdotbuildrelsmileover = frac12(buildrelsmileover + buildrelsmileover).]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая (a) касается окружности в точке (A) , (AB) – хорда этой окружности, (O) – её центр. Пусть прямая, содержащая (OB) , пересекает (a) в точке (M) . Докажем, что (angle BAM = frac12cdot buildrelsmileover) .

Теоремы о хордах окружности и углах

Обозначим (angle OAB = alpha) . Так как (OA) и (OB) – радиусы, то (OA = OB) и (angle OBA = angle OAB = alpha) . Таким образом, (buildrelsmileover = angle AOB = 180^circ — 2alpha = 2(90^circ — alpha)) .

Так как (OA) – радиус, проведённый в точку касания, то (OAperp a) , то есть (angle OAM = 90^circ) , следовательно, (angle BAM = 90^circ — angle OAB = 90^circ — alpha = frac12cdotbuildrelsmileover) .

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть (AB=CD) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .

Теоремы о хордах окружности и углах

(triangle AOB=triangle COD) по трем сторонам, следовательно, (angle AOB=angle COD) . Но т.к. (angle AOB, angle COD) — центральные углы, опирающиеся на дуги (buildrelsmileover, buildrelsmileover) соответственно, то (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .

2) Если (buildrelsmileover=buildrelsmileover) , то (triangle AOB=triangle COD) по двум сторонам (AO=BO=CO=DO) и углу между ними (angle AOB=angle COD) . Следовательно, и (AB=CD) .

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Теоремы о хордах окружности и углах

Доказательство

1) Пусть (AN=NB) . Докажем, что (OQperp AB) .

Рассмотрим (triangle AOB) : он равнобедренный, т.к. (OA=OB) – радиусы окружности. Т.к. (ON) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, (ONperp AB) .

2) Пусть (OQperp AB) . Докажем, что (AN=NB) .

Аналогично (triangle AOB) – равнобедренный, (ON) – высота, следовательно, (ON) – медиана. Следовательно, (AN=NB) .

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды (AB) и (CD) пересекаются в точке (E) .

Теоремы о хордах окружности и углах

Рассмотрим треугольники (ADE) и (CBE) . В этих треугольниках углы (1) и (2) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу (BD) , а углы (3) и (4) равны как вертикальные. Треугольники (ADE) и (CBE) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда (dfrac = dfrac) , откуда (AEcdot BE = CEcdot DE) .

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку (M) и касается окружности в точке (A) . Пусть секущая проходит через точку (M) и пересекает окружность в точках (B) и (C) так что (MB . Покажем, что (MBcdot MC = MA^2) .

Теоремы о хордах окружности и углах

Рассмотрим треугольники (MBA) и (MCA) : (angle M) – общий, (angle BCA = 0,5cdotbuildrelsmileover) . По теореме об угле между касательной и секущей, (angle BAM = 0,5cdotbuildrelsmileover = angle BCA) . Таким образом, треугольники (MBA) и (MCA) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников (MBA) и (MCA) имеем: (dfrac = dfrac) , что равносильно (MBcdot MC = MA^2) .

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки (O) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки (O) :

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Справочник репетитора по математике. Свойства окружности и ее элементов

Теоретические справочные материалы по геометрии для выполнения заданий от репетитора по математике. В помощь ученикам при решении задач.

1) Терема о вписанном угле в окружность.

Теоремы о хордах окружности и углахТеорема: вписанный в окружность угол равен половие градусной меры дуги, на которую он опирается (или половине центрального угла, соответствующего данной дуге), то есть Теоремы о хордах окружности и углах.

2) Следствия из теоремы о вписанном угле в окружность.

2.1) Свойство углов, опирающихся на одну дугу.
Теоремы о хордах окружности и углах
Теорема:
если вписанные углы опираются на одну дугу, то они равны (если они опираются на дополнителные дуги, их сумма равна Теоремы о хордах окружности и углах

Теоремы о хордах окружности и углах

2.2) Свойство угла, опирающегося на диаметр.
Теоремы о хордах окружности и углах
Теорема:
вписанный угол в окружность опирается на диаметр тогда и только тогда, когда он прямой.

AC-диаметр Теоремы о хордах окружности и углах

3) Cвойство отрезков касательных. Окружность, вписанная в угол.
Теоремы о хордах окружности и углах
Теорема 1: если из одной точки, не лежащей на окружности, проведены к ней две касательные, то их отрезки равны, то есть PB=PC.

Теорема 2: Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть PO-биссектриса.

4) Свойство отрезков хорд при внутреннем пересечении секущих.
Теоремы о хордах окружности и углахТеорема 1: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть

Теоремы о хордах окружности и углах= Теоремы о хордах окружности и углах.

Теорема 2:
угол между хордами равен полусумме дуг, которые этими хордами образуются на окружности, то есть
Теоремы о хордах окружности и углах

5) Свойство отрезков хорд при внешнем пересечении секущих.
Теоремы о хордах окружности и углах
Теорема 1: произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой, то есть

Теоремы о хордах окружности и углах= Теоремы о хордах окружности и углах.

Теорема 2:
угол между секущими равен полуразности соответствующих им дуг, то есть
Теоремы о хордах окружности и углах

Комментарий репетитора по математике: Обратитте внимание на общую закономерность 4-го и 5-го свойства: хорды в произведениях не участвуют, а сами равенства (с частями и продолжениями хорд) при сохранении обозначений являются точной копией друг друга. Также можно подметить общую структуру равенств с дугами. Репетитору по математике стоит обратить на этих особенностях внимание ученика.

6) Свойства квадрата отрезка касательной
Теоремы о хордах окружности и углах
Теорема 1:
Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, то есть

Теоремы о хордах окружности и углах

Теорема 2:
угол между касательной и секущей равен полуразности соответствующих им дуг, то есть

Теоремы о хордах окружности и углах

7) Угол между касательной и секущей
Теоремы о хордах окружности и углах
Теорема:угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки окружности, равен поливине дуги, которую отсекает сукущая (половине центрального угла, соответствующего данной дуге).

Теоремы о хордах окружности и углах.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

Уважаемый коллега, ваш материал на сайте является для меня хорошим методическим подспорьем. Спасибо.

Александр Николаевич, спасибо за методики, я восхищена Вашим трудолюбием и профессионализмом.

Уважаемый Александр Николаевич! Полезность вашего материала безгранична! Огромнейшее спасибо за справочные материалы, их оформление. Я еще не со всеми ознакомилась. Спасибо за помощь репетиторам по математике, школьным преподавателям и ученикам! Вы Учитель с большой буквы!

Спасибо за хороший материал, готовимся к олимпиаде по математике.

Александр Николаевич, большое спасибо за материал! У меня завтра экзамен, и ваш труд поможет сдать мне его на хорошую оценку. Так, как я поняла все по ваши справочникам, мне не объяснит ни один учитель — репетитор. Спасибо вам большое!

📺 Видео

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Угол между хордой и касательнойСкачать

Угол между хордой и касательной

Угол между хордой и касательной. 9 класс.Скачать

Угол между хордой и касательной. 9 класс.

Угол между касательной и хордойСкачать

Угол между касательной и хордой

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордойСкачать

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордой

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Теоремы о хордах, касательной и секущей окружностиСкачать

Теоремы о хордах, касательной и секущей окружности

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

8 класс. Геометрия. Углы, образованные хордами, секущими и касательнымиСкачать

8 класс. Геометрия. Углы, образованные хордами, секущими и касательными

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: