Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Теорема вписанной окружности в правильный треугольникСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Теорема вписанной окружности в правильный треугольникФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Теорема вписанной окружности в правильный треугольникВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник.

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникТеорема вписанной окружности в правильный треугольник
Равнобедренный треугольникТеорема вписанной окружности в правильный треугольник
Равносторонний треугольникТеорема вписанной окружности в правильный треугольник
Прямоугольный треугольникТеорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теорема вписанной окружности в правильный треугольник.

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теорема вписанной окружности в правильный треугольник.

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Произвольный треугольник
Теорема вписанной окружности в правильный треугольник
Равнобедренный треугольник
Теорема вписанной окружности в правильный треугольник
Равносторонний треугольник
Теорема вписанной окружности в правильный треугольник
Прямоугольный треугольник
Теорема вписанной окружности в правильный треугольник
Произвольный треугольник
Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теорема вписанной окружности в правильный треугольник.

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теорема вписанной окружности в правильный треугольник.

Равнобедренный треугольникТеорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Равносторонний треугольникТеорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникТеорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Теорема вписанной окружности в правильный треугольник– полупериметр (рис. 6).

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

с помощью формулы Герона получаем:

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность, вписанная в правильный треугольник

Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.

1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.

Теорема вписанной окружности в правильный треугольникНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр вписанной окружности.

AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

3) Так как формула для нахождения площади равностороннего треугольника через сторону

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

можем найти площадь через r:

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Таким образом, формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности —

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

3) Все отрезки, на которые стороны равностороннего треугольника делятся точками касания вписанной окружности, равны половине его стороны:

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

4) Центр вписанной в правильный треугольник окружности является также центром описанной около него окружности.

5) Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Теорема вписанной окружности в правильный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .

💡 Видео

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Радиус вписанной окружности правильного треугольникаСкачать

Радиус вписанной окружности правильного треугольника

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

111. Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

111. Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 классСкачать

КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 класс
Поделиться или сохранить к себе: