45 градусов в тригонометрической окружности

Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.

Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Sin, Cos, tg, ctg.

Раздел: Таблицы численных значений + Таблицы Брадиса:

Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Синус, косинус, тангенс угла 45 градусов (sin 45, cos 45, tg 45)

Табличные значения синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов указаны ниже. Далее по тексту следует пояснение метода и правильности вычисления этих значений для произвольного прямоугольного треугольника.

45 градусов — это π/4 радиан. Формулы для значений косинуса, синуса и тангенса пи/4 радиан указаны ниже (хотя они и тождественны).
То есть, например, tg π/4 = tg 45 градусов

Видео:🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПРИ α=45°

Как самостоятельно вычислить значения sin cos tg 45 градусов?

Построим и рассмотрим прямоугольный треугольник АВС у которого угол ∠В = 45°. На основании соотношения его сторон, вычислим значения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике для угла 45 градусов. Поскольку треугольник прямоугольный, то значения функций синуса, косинуса и тангенса будут равны соотношению его соответствующих сторон.

Поскольку значение функций синуса, косинуса и тангенса зависят исключительно от градусной меры угла (или значения, выраженного в радианах), то найденные нами соотношения и будут значениями функции синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов.

Согласно свойствам прямоугольного треугольника, угол С — прямой и равен 90 градусам. Угол B мы изначально построили с градусной мерой 45 градусов. Найдем значение угла А. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то

∠А + ∠В + ∠С = 180°
Угол C прямой и равен 90 градусам, угол B мы изначально определили как 45 градусов, таким образом:
∠А = 180° —∠С — ∠В = 180° — 90° — 45° = 45°

Поскольку у данного треугольника два угла равны между собой, то треугольник АВС – прямоугольный, и, одновременно, равнобедренный, в котором оба катета равны между собой: AC = BC.

Допустим, что длина сторон равна некому числу АС = ВС = а. Зная длины катетов, вычислим длину гипотенузы.

По теореме Пифагора: АВ 2 =АС 2 +ВС 2
Заменим длины AC и BC на переменную а, тогда получим:

АВ 2 = а 2 + а 2 = 2а 2 ,

В результате мы выразили длины всех сторон прямоугольного треугольника с углом 45 градусов через переменную а.

Согласно свойств тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике соотношение соответствующих сторон треугольника будет равным значению соответствующих функций. Таким образом для угла α = 45 градусов:

sin α = BC / AB (согласно определению синуса для прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, BC — катет, AB — гипотенуза)

cos α = AC / AB (согласно определению косинуса — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, AC — катет, AB — гипотенуза)

tg α = BC / AC (аналогично, тангенс для угла α будет равен отношению противолежащего катета к прилежащему)

Вместо обозначений сторон подставим значения их длин через переменную а.

Исходя из этого (см. таблицу значений sin 45, cos 45, tg 45) получаем:

Табличные значения sin 45, cos 45, tg 45 (то есть значение синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов можно вычислить как соотношение соответствующих сторон данного треугольника), подставим вычисленные выше значения длин сторон в формулы и получим результат на картинке ниже.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Табличные значения: синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градусов

Таким образом:

• тангенс 45 градусов равен единице
• синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов и равен корню из двух пополам (то же самое, что и единица, деленная на корень из двух)

Видео:Таблица значений тригонометрических функций - как её запомнить!!!Скачать

Синус, косинус и тангенс угла π/4 радиан

• тангенс π/4 ( пи на четыре) равен единице
• синус π/4 ( пи на четыре) градусов равен косинусу π/4 градусов и равен корню из двух пополам

Примечание. В поисковых запросах часто встречается нечто типа «тангенс р/4 или p/4». Это неграмотно. Используйте запрос, например «тангенс пи/4».

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

📽️ Видео

Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬСкачать

Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?Скачать

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Тригонометрическая окружность для непонимающихСкачать

Спидран: Как запомнить таблицу синусов и косинусов за 1 минуту? Евгений ДолжкевичСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать

Как быстро находить синусы, косинусы 30, 45, 60 градусов #shorts #математикаСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

9 класс. Геометрия. Тригонометрические функции угла от 0° до 180°. Единичная окружность. Урок #1Скачать

Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать