Геометрия как найти угол треугольника

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Содержание
  1. Решение треугольника по трем сторонам
  2. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
  3. Решение треугольника по стороне и любым двум углам
  4. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  5. Типы треугольников
  6. По величине углов
  7. По числу равных сторон
  8. Вершины углы и стороны треугольника
  9. Свойства углов и сторон треугольника
  10. Теорема синусов
  11. Теорема косинусов
  12. Теорема о проекциях
  13. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  14. Медианы треугольника
  15. Свойства медиан треугольника:
  16. Формулы медиан треугольника
  17. Биссектрисы треугольника
  18. Свойства биссектрис треугольника:
  19. Формулы биссектрис треугольника
  20. Высоты треугольника
  21. Свойства высот треугольника
  22. Формулы высот треугольника
  23. Окружность вписанная в треугольник
  24. Свойства окружности вписанной в треугольник
  25. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  26. Окружность описанная вокруг треугольника
  27. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  28. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  29. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  30. Средняя линия треугольника
  31. Свойства средней линии треугольника
  32. Периметр треугольника
  33. Формулы площади треугольника
  34. Формула Герона
  35. Равенство треугольников
  36. Признаки равенства треугольников
  37. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  38. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  39. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  40. Подобие треугольников
  41. Признаки подобия треугольников
  42. Первый признак подобия треугольников
  43. Второй признак подобия треугольников
  44. Третий признак подобия треугольников
  45. Углы прямоугольного треугольника
  46. Калькулятор расчёта углов прямоугольного треугольника
  47. Формула тангенса
  48. Углы треугольника

Видео:Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬ

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Геометрия как найти угол треугольника.

Геометрия как найти угол треугольника
Геометрия как найти угол треугольника
Геометрия как найти угол треугольника
Геометрия как найти угол треугольника(1)
Геометрия как найти угол треугольника(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Геометрия как найти угол треугольника.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Геометрия как найти угол треугольникаНайти Геометрия как найти угол треугольника(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Геометрия как найти угол треугольникаГеометрия как найти угол треугольника.
Геометрия как найти угол треугольникаГеометрия как найти угол треугольника.
Геометрия как найти угол треугольника, Геометрия как найти угол треугольника.

И, наконец, находим угол C:

Геометрия как найти угол треугольникаГеометрия как найти угол треугольника

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Геометрия как найти угол треугольника

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Геометрия как найти угол треугольника.
Геометрия как найти угол треугольника.

Далее, из формулы

Геометрия как найти угол треугольника.
Геометрия как найти угол треугольника.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Геометрия как найти угол треугольника.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Геометрия как найти угол треугольникаи Геометрия как найти угол треугольника(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Геометрия как найти угол треугольника,
Геометрия как найти угол треугольникаГеометрия как найти угол треугольникаГеометрия как найти угол треугольника.

Из формулы (3) найдем cosA:

Геометрия как найти угол треугольникаГеометрия как найти угол треугольника
Геометрия как найти угол треугольника.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Геометрия как найти угол треугольникаГеометрия как найти угол треугольника.

Видео:Найдите угол: задача по геометрииСкачать

Найдите угол: задача по геометрии

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Геометрия как найти угол треугольника

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Геометрия как найти угол треугольника.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Геометрия как найти угол треугольника, Геометрия как найти угол треугольника.
Геометрия как найти угол треугольника, Геометрия как найти угол треугольника.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Геометрия как найти угол треугольникаи углы Геометрия как найти угол треугольника(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Геометрия как найти угол треугольникаГеометрия как найти угол треугольника

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Геометрия как найти угол треугольника
Геометрия как найти угол треугольника

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Типы треугольников

По величине углов

Геометрия как найти угол треугольника

Геометрия как найти угол треугольника

Геометрия как найти угол треугольника

По числу равных сторон

Геометрия как найти угол треугольника

Геометрия как найти угол треугольника

Геометрия как найти угол треугольника

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Геометрия как найти угол треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:№224. Найдите углы треугольника ABC, если ∠A:∠B:∠C= 2:3:4.Скачать

№224. Найдите углы треугольника ABC, если ∠A:∠B:∠C= 2:3:4.

Медианы треугольника

Геометрия как найти угол треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Внешний угол треугольникаСкачать

Внешний угол треугольника

Биссектрисы треугольника

Геометрия как найти угол треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний Угол

Высоты треугольника

Геометрия как найти угол треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Окружность вписанная в треугольник

Геометрия как найти угол треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.Скачать

№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

Окружность описанная вокруг треугольника

Геометрия как найти угол треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Найдите третью сторону треугольникаСкачать

Найдите третью сторону треугольника

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Как найти величины углов всех треугольников. Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Как найти величины углов всех треугольников. Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс.

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Геометрия как найти угол треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Периметр треугольника

Геометрия как найти угол треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрия

Формулы площади треугольника

Геометрия как найти угол треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Подобие треугольников

Геометрия как найти угол треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Решение прямоугольных треугольниковСкачать

Решение прямоугольных треугольников

Углы прямоугольного треугольника

Видео:Супер ЖЕСТЬ ➜ Найдите сторону треугольника ➜ Решить без тригонометрииСкачать

Супер ЖЕСТЬ ➜ Найдите сторону треугольника ➜ Решить без тригонометрии

Калькулятор расчёта углов прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние, при этом один из углов прямой (равен 90°).

Тангенс угла tg(α) — это тригонометрическая функция выражающая отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b.

Формула тангенса

  • tg α — тангенс угла α
  • a — противолежащий катет
  • b — прилежащий катет

Арктангенс — это обратная тригонометрическая функция. Арктангенсом числа x называется такое значение угла α, выраженное в радианах, для которого tg α = x . Вычислить арктангенс, означает найти угол α, тангенс которого равен числу x.

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Углы треугольника

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов:

Так как у прямоугольного треугольника один из углов равен 90°, то сумма двух других углов равна 90°.

Поэтому, если известен один из острых углов треугольника, второй угол можно посчитать по формуле:

Острый угол — угол, значение которого меньше 90°.

У прямоугольного треугольника один угол прямой, а два других угла — острые.

Поделиться или сохранить к себе: