Теорема отношение площадей треугольников (2 видео)

Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. 8-й класс

Класс: 8

Содержание

Презентация к уроку
Основные сведения об отношении площадей подобных треугольников
Понятие подобия треугольников
Теорема об отношении площадей подобных треугольников
Доказательство теоремы
Примеры решения задач
Задача для самостоятельной работы
Отношение площадей подобных треугольников
💥 Видео

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (988 кБ)

Девиз урока: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий»

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

обучающие:

а) повторение основного теоритического материала;

б) рассмотрение основных задач на вычисление площадей треугольников;

в) доказательство теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу;

г) закрепление навыков решения в процессе самостоятельного разбора задач.

развивающие:

а) развитие умения планировать полный или частичный ход решения;

б) развитие умения осуществлять целенаправленные поисковые действия умственного плана;

в) развитие интереса к предмету;

г) развитие умения осуществлять самоконтроль.

воспитательные

б) воспитание умения слушать и слышать товарища.

Ход урока

I. Мотивация к учебной деятельности и постановка целей урока.

Учитель приветствует учащихся, поверяет их готовность к уроку, сообщает тему урока, формулирует цели урока. Слайды 1, 2

II. Повторение и актуализация необходимых знаний.

Один ученик готовит теоретический вопрос: сформулировать и доказать теорему о площади треугольника. Один ученик решает задачу у доски.

Задача: Точка E – середина стороны AB треугольника ABC, точки M и H делят сторону BC на три равные части BM = MH = HC. Найдите площадь ∆EMH, если S_ABC = 72 см 2 .

Рис. 1. Чертеж к условиям задачи

Дано: S_ABC = 72 см 2 , BM = MH = HC

4 ученика получают задание на карточке (Карточки 2, 3). Остальные учащиеся решают устно по готовым чертежам.

Устно. Слайд 3. 1. Найдите площадь треугольника ABC.

Рис. 2. Чертеж к задаче 1

Слайд 4. 2. Дано: ABCD – квадрат, AB = 5 см, KD = 4 см.

Рис. 3. Чертеж к задаче 2

Слайд 5. 3. Найдите площадь треугольника ABC.

Рис. 4. Чертеж к задаче 3

Слайд 6. 4. BC = 6см, AC = 8см, AB = 10см.

Рис. 5. Чертеж к задаче 4

5. S_ABC = 72 см 2 , BM = MH = HC

Рис. 6. Чертеж к условию задачи 5

Рис. 7. Теорема о площади треугольника

Слайд 7. Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне.

Учитель и учащиеся слушают теорему и её доказательство, проверяют решение задачи.

Учитель собирает у 4 учащихся листы с решением задач.

III. Создание проблемной ситуации и формулирование проблемы

Рис. 8. Свойство площадей треугольников, имеющих общую высоту

Слайд 8. Если высоты треугольников равны, то площади относятся как основания.

Рис. 9. Свойство медиан треугольника

Слайд 9. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Слайд 10. 1. Решите задачу:

Рис. 10. Чертеж к условию задачи 1

Дано: CM – медиана ∆ABC, CK – медиана ∆ACM. S_ABC = 40 см 2 .

Найти:

Какую часть площадь одного треугольника составляет от площади другого?

Или. Во сколько раз площадь одного треугольника больше (меньше) площади другого?

Слайд 11. 2. Решите задачу:

Рис. 11. Чертеж к условию задачи 2

Дано: ABCD – выпуклый четырёхугольник.

Вопрос: Как относятся площади треугольников, имеющих по равному углу?

IV. Изучение новой темы

Слайд 12. Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы.

Рис. 12. Теорема о соотношении площадей треугольников, имеющих равный угол

V. Первичное закрепление

Учитель на экране показывает задачи, учащиеся предлагают свои решения задач

Слайд 14. Запишите отношение площадей

Рис. 14. Чертеж к пункту а) Рис. 15. Чертеж к пункту б)

Рис. 16. Чертеж к условию задачи

Ответ: 30/15 или 2.

Рис. 17. Чертеж к условию задачи

Дано: S_AOB = 20 см 2 .

VI. Самостоятельная работа

Учитель раздаёт карточки с заданиями двух уровней сложности. (Приложение 2)

Карточка. Уровень А

1) Две стороны треугольника равны 12 см и 9 см, угол между ними 30°. Найдите площадь треугольника. (Ответ: 27 см 2 )

2) AO = 4, BO = 9, CO = 5, DO = 8, S_AOC = 15, S_DOB = ?

Рис. 18. Чертеж к условию задачи

Уровень Б (для более подготовленных учащихся)

1) В треугольнике ABC ∠A = 45°, BC = 10 см, высота BD делит сторону AC на отрезки: AD = 6 см, DC = 8 см. Найдите площадь треугольника ABC и высоту, проведённую к стороне BC.

Рис. 19. Чертеж к условию задачи

Ответ: 42 см 2 ; 8,4 см.

Рис. 20. Чертеж к условию задачи

OB = OA, OC = 2 • OD, S_AOC = 12 см 2 , S_BOD = ?

VII. Подведение итогов

Учитель оценивает работу учащихся.

VIII. Домашнее задание (Приложение 3)

Учебник. Учить теорему п. 52. № 479 (а).

Рис. 21. Чертеж к условию задачи

Дано: AO = AB, прямая AC параллельна прямой BD.

Рис. 22. Чертеж к условию задачи

Дано: AO = 3 см, BO = 6 см, CO = 5 см, DO = 4 см.

Литература:

Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ВАКО, 2006. – 368 с.
Геометрия 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.

Видео:Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать

Основные сведения об отношении площадей подобных треугольников

Видео:Площади треугольников с равным углом.Скачать

Понятие подобия треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы попарно равны, а стороны, лежащие напротив соответственных углов пропорциональны.

A B / K L = B C / L M = A C / K M = k , ∠ A = ∠ K , ∠ B = ∠ L , ∠ C = ∠ M ⇒ Δ A B C

Отношение длин подобных треугольников называют коэффициентом подобия (k).

Также пропорциональные стороны подобных треугольников могут быть названы сходственными сторонами.

В подобных треугольниках, кроме сторон, подобны и другие величины: биссектрисы, медианы, высоты и т.д.

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Теорема об отношении площадей подобных треугольников

Формулировка теоремы: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

В геометрии существует три признака подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Отношение длин соответствующих элементов подобных элементов равно коэффициенту подобия.

Видео:Задача по геометрии № 25 ОГЭ на отношение площадейСкачать

Доказательство теоремы

Докажем теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Теорема: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство: изобразим подобные треугольники Δ A B C

Из подобия треугольников по определению следует: A B / K L = B C / L M = A C / K M = k .

Воспользуемся следующей теоремой: если у двух треугольников равны углы (∠A=∠K), то их площади относятся, как произведение сторон, заключающих данные углы. Запишем в виде формулы:

Что и требовалось доказать.

Видео:Отношение площадей треугольниковСкачать

Примеры решения задач

Площади подобных треугольников ΔABC и ΔA1B1C1 равны соответственно 200 см² и 50 см². Сторона A1B1=5 см. Найдите сходственную ей сторону AB треугольника ABC.

По теореме об отношении площадей подобных треугольников: S a b c / S a 1 b 1 c 1 = k ² ⇒ 200 / 50 = k ² ⇒ k = 2 .

A B / A 1 B 1 = 2 , A B = A 1 B 1 * 2 , A B = 5 * 2 = 10 с м .

ΔABC и ΔA1B1C1 — подобны. Сходственные стороны AC и A1C1 соответственно равны 13 см и 0,1 м.

Найдите отношение периметров ΔABC и ΔA1B1C1.

A 1 C 1 = 0 , 1 м = 10 с м

A C / A 1 C 1 = 13 / 10 = 1 , 3 ⇒ P a b c / P a 1 b 1 c 1 = 1 , 3

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Задача для самостоятельной работы

Треугольники Δ A B C

Δ K L M подобны. Площадь ΔABC равна 500 см², площадь ΔKLM равна 125 см². Сторона AC равна 18 см, найти сходственную ей сторону KM.

Проверьте, насколько верный или неверный ваш ответ.

Советуем составить краткий конспект для подготовки к уроку.

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Отношение площадей подобных треугольников

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы введем понятие подобных треугольников и рассмотрим теорему об отношении их площадей. Затем будет рассмотрен ряд примеров на применение этой теоремы.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Измерение»