Одномерный вектор что это

Знакомимся с вектором

Основы линейной алгебры для тех, кого это миновало в универе.

Вы наверняка слышали много историй о программистах, которые учились в технических вузах, изучали высшую математику и теперь пользуются этими знаниями в программировании. И если кого-то это не коснулось, может быть ощущение, что он пропустил в жизни что-то важное.

Будем это исправлять. Попробуем разобрать некоторые базовые понятия из математики за пределами школьной программы. И заодно покажем, как оно связано с программированием и для каких задач полезно.

⚠️ Математики, помогайте. Мы тут многое упростили, поэтому будем рады увидеть ваши уточнения и замечания в комментариях.

Видео:Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1Скачать

Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1

Линейная алгебра

Есть математика: она изучает абстрактные объекты и их взаимосвязи. Благодаря математике мы знаем, что если сложить два объекта с ещё двумя такими же объектами, то получится четыре объекта. И неважно, что это были за объекты: яблоки, козы или ракеты. Математика берёт наш вещественный мир и изучает его более абстрактные свойства.

Внутри математики есть алгебра: если совсем примитивно, то в алгебре мы вместо чисел начинаем подставлять буквы и изучать ещё более абстрактные свойства объектов.

Например, мы знаем, что если a + b = c , то a = c − b . Мы не знаем, что стоит на местах a, b или c, но для нас это такой абстрактный закон, который подтверждается практикой.

Внутри алгебры есть линейная алгебра — она изучает векторы, векторные пространства и другие абстрактные понятия, которые в целом относятся к некой упорядоченной информации. Например, координаты ракеты в космосе, биржевые котировки, расположение пикселей в изображении — всё это примеры упорядоченной информации, которую можно описывать векторами. И вот их изучает линейная алгебра.

В программировании линейная алгебра нужна в дата-сайенс, где из упорядоченной информации создаются алгоритмы машинного обучения.

Если представить линейную алгебру в виде дома, то вектор — это кирпич, из которого всё состоит. Сегодня разберёмся, что такое вектор и как его понимать.

Видео:Что такое массив. Примеры. Теория. Array. Одномерный массив. Синтаксис. C++. Урок #25.Скачать

Что такое массив. Примеры. Теория. Array. Одномерный массив. Синтаксис.  C++. Урок #25.

Что такое вектор

Вы наверняка помните вектор из школьной программы — это такая стрелочка. Она направлена в пространство и измеряется двумя параметрами: длиной и направлением. Пока длина и направление не меняются, вектор может перемещаться в пространстве.

Одномерный вектор что этоФизическое представление вектора: есть длина, направление и нет начальной точки отсчёта. Такой вектор можно как угодно двигать в пространстве

У аналитиков вектор представляется в виде упорядоченного списка чисел: это может быть любая информация, которую можно измерить и последовательно записать. Для примера возьмём рынок недвижимости, который нужно проанализировать по площади и цене домов — получаем вектор, где первая цифра отвечает за площадь, а вторая — за цену. Аналогично можно сортировать любые данные.

Одномерный вектор что этоАналитическое представление вектора: данные можно перевести в числа

Математики обобщают оба подхода и считают вектор одновременно стрелкой и числом — это связанные понятия, перетекающие друг в друга в зависимости от задачи. В одних случаях удобней считать, а в других — показать всё графически. В обоих случаях перед нами вектор.

Одномерный вектор что этоМатематическое представление вектора: данные можно перевести в числа или график

В дата-сайенс используется математическое представление вектора — программист может обработать данные и визуализировать результат. В отличие от физического представления, стрелки векторов в математике привязаны к системе координат Х и У — они не блуждают в пространстве, а исходят из нулевой точки.

Одномерный вектор что этоВекторная система координат с базовыми осями Х и Y. Место их пересечения — начало координат и корень любого вектора. Засечки на осях — это отрезки одной длины, которые мы будем использовать для определения векторных координат

👉 Получается, вектор – это такой способ записывать, хранить и обрабатывать не одно число, а какое-то организованное множество чисел. Благодаря векторам мы можем представить это множество как единый объект и изучать его взаимодействие с другими объектами.

Например, можно взять много векторов с ценами на недвижимость, как-то их проанализировать, усреднить и обучить на них алгоритм. Без векторов это были бы просто «рассыпанные» данные, а с векторами — порядок.

Видео:Зачем нужен ВЕКТОР. Объяснение смыслаСкачать

Зачем нужен ВЕКТОР. Объяснение смысла

Как записывать

Вектор можно записать в строку или в столбец. Для строчной записи вектор обозначают одной буквой, ставят над ней черту, открывают круглые скобки и через запятую записывают координаты вектора. Для записи в столбец координаты вектора нужно взять в круглые или квадратные скобки — допустим любой вариант.

Строгий порядок записи делает так, что каждый набор чисел создаёт только один вектор, а каждый вектор ассоциируется только с одним набором чисел. Это значит, что если у нас есть координаты вектора, то мы их не сможем перепутать.

Одномерный вектор что этоСпособы записи вектора

Скаляр

Помимо понятия вектора есть понятие скаляра. Скаляр — это просто одно число. Можно сказать, что скаляр — это вектор, который состоит из одной координаты.

Помните физику? Есть скалярные величины и есть векторные. Скалярные как бы описывают просто состояние, например, температуру. Векторные величины ещё и описывают направление.

Видео:vector | Библиотека стандартных шаблонов (stl) | Уроки | C++ | #1Скачать

vector | Библиотека стандартных шаблонов (stl) | Уроки | C++ | #1

Как изображать

Вектор из одного числа (скаляр) отображается в виде точки на числовой прямой.

Одномерный вектор что этоГрафическое представление скаляра. Записывается в круглых скобках

Вектор из двух чисел отображается в виде точки на плоскости осей Х и Y. Числа задают координаты вектора в пространстве — это такая инструкция, по которой нужно перемещаться от хвоста к стрелке вектора. Первое число показывает расстояние, которое нужно пройти вдоль оси Х; второе — расстояние по оси Y. Положительные числа на оси Х обозначают движение вправо; отрицательные — влево. Положительные числа на оси Y — идём вверх; отрицательные — вниз.

Представим вектор с числами −5 и 4. Для поиска нужной точки нам необходимо пройти влево пять шагов по оси Х, а затем подняться на четыре этажа по оси Y.

Одномерный вектор что этоГрафическое представление числового вектора в двух измерениях

Вектор из трёх чисел отображается в виде точки на плоскости осей Х, Y и Z. Ось Z проводится перпендикулярно осям Х и У — это трёхмерное измерение, где вектор с упорядоченным триплетом чисел: первые два числа указывают на движение по осям Х и У, третье — куда нужно двигаться вдоль оси Z. Каждый триплет создаёт уникальный вектор в пространстве, а у каждого вектора есть только один триплет.

Если вектор состоит из четырёх и более чисел, то в теории он строится по похожему принципу: вы берёте координаты, строите N-мерное пространство и находите нужную точку. Это сложно представить и для обучения не понадобится.

Одномерный вектор что этоГрафическое представление числового вектора в трёх измерениях. Для примера мы взяли координаты −5, 2, 4

Помните, что все эти записи и изображения с точки зрения алгебры не имеют отношения к нашему реальному трёхмерному пространству. Вектор — это просто какое-то количество абстрактных чисел, собранных в строгом порядке. Вектору неважно, сколько там чисел и как их изображают люди. Мы же их изображаем просто для наглядности и удобства.

Например, в векторе спокойно может быть 99 координат. Для его изображения нам понадобилось бы 99 измерений, что очень проблематично на бумаге. Но с точки зрения вектора это не проблема: перемножать и складывать векторы из двух координат можно так же, как и векторы из 9999999 координат, принципы те же.

Видео:Геометрия - 9 класс (Урок№1 - Понятие вектора. Равенство векторов)Скачать

Геометрия - 9 класс (Урок№1 - Понятие вектора. Равенство векторов)

И зачем нам это всё

Вектор — это «кирпичик», из которого строится дата-сайенс и машинное обучение. Например:

  • На основании векторов получаются матрицы. Если вектор — это как бы линия, то матрица — это как бы плоскость или таблица.
  • Машинное обучение в своей основе — это перемножение матриц. У тебя есть матрица с данными, которые машина знает сейчас; и тебе нужно эту матрицу «дообучить». Ты умножаешь существующую матрицу на какую-то другую матрицу и получаешь новую матрицу. Делаешь так много раз по определённым законам, и у тебя обученная модель, которую на бытовом языке называют искусственным интеллектом.

Кроме того, векторы используются в компьютерной графике, работе со звуком, инженерном и просто любом вычислительном софте.

И давайте помнить, что вектор — это не какая-то сложная абстрактная штука, а просто сумка, в которой лежат числа в определённом порядке. То, что мы называем это вектором, — просто нюанс терминологии.

Видео:Двумерный массив что это. Многомерные массивы. Пример. Теория. Что такое массив. Array. C++ #30Скачать

Двумерный массив что это. Многомерные массивы. Пример. Теория. Что такое массив. Array. C++ #30

Что дальше

В следующий раз разберём операции с векторами. Пока мы готовим материал — рекомендуем почитать интервью с Анастасией Никулиной. Анастасия ведёт ютуб-канал по дата-сайнс и работает сеньором дата-сайентистом в Росбанке.

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

n-мерные векторы, операции над ними.

В разделе векторы — основные определения мы ввели понятие вектора в двумерном пространстве (на плоскости) и в трехмерном пространстве. В этой статье мы отойдем от геометрического толкования вектора и посмотрим на него не как на направленный отрезок, а как на упорядоченный набор чисел с присущими ему свойствами. То есть, мы рассматрим векторы с позиций алгебры, что позволит расширить понятие вектора на случай n -мерного пространства. Итак, мы дадим понятие n -мерного вектора, зададим операции над n -мерными векторами, перечислим свойства этих операций и покажем их применение при решении задач.

Упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел Одномерный вектор что этоназывается n-мерным вектором.

Числа Одномерный вектор что этоназываются координатами вектора.

Векторы обозначаются строчными латинскими буквами, например, a, b, c и т.п., координаты вектора указываются в скобках.

Если записать вектор a как Одномерный вектор что это, то имеем вектор-строку; если записать Одномерный вектор что это, то имеем вектор-столбец. Это две формы записи одного и того же объекта — n -мерного вектора.

Обратите внимание: при обозначении n -мерных векторов стрелочка сверху над буквой (которая ставится при обозначении вектора на плоскости и в трехмерном пространстве) отсутствует.

Вектор Одномерный вектор что это, все координаты которого равны нулю, называют нулевым вектором.

Вектор Одномерный вектор что этоназывается противоположным вектору Одномерный вектор что это.

Для n -мерных векторов задаются две операции: сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов Одномерный вектор что этои Одномерный вектор что этоназывается вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат, то есть, Одномерный вектор что это.

Следует отметить, что складывать можно только векторы количество координат которых совпадает. Операция сложения для векторов, имеющих различное число координат, не определена.

Произведением действительного или комплексного числа Одномерный вектор что этои вектора Одномерный вектор что этоназывается вектор, координаты которого равны соответствующим координатам вектора а , умноженным на Одномерный вектор что это, то есть, Одномерный вектор что это.

Введенные таким образом операции над n -мерными векторами при n=2 и n=3 полностью согласуются с операциями сложения и умножения вектора на число на плоскости и в трехмерном пространстве в геометрическом смысле. Под координатами двумерного или трехмерного вектора в этом случае понимаем координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве соответственно.

Перечислим свойства операций над n -мерными векторами.

Для любых векторов Одномерный вектор что этои произвольных действительных или комплексных чисел Одномерный вектор что этосправедливо:

  1. свойство коммутативности сложения векторов a+b=b+a ;
  2. свойство ассоциативности векторов (a+b)+c=a+(b+c) ;
  3. существует нейтральный вектор по операции сложения, им является нулевой вектор, a+0=a ;
  4. для любого вектора существует противоположный вектор, которые в сумме дают нулевой вектор a+(-a)=0 ;
  5. Сочетательное свойство умножения Одномерный вектор что это.
  6. Первое распределительное свойство Одномерный вектор что это.
  7. Второе распределительное свойство Одномерный вектор что это.
  8. существует нейтральное число по операции умножения, им является единица Одномерный вектор что это.

Эти свойства справедливы в силу свойств операций сложения и умножения действительных или комплексных чисел.

Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов a и b есть сумма векторов a и -b .

Перечисленные свойства операций позволяют выполнять преобразования в выражениях содержащих векторы по тем же принципам, что и в числовых выражениях.

Рассмотрим несколько примеров.

Даны векторы Одномерный вектор что это. Найдите сумму и разность векторов a и b .

Суммой двух векторов является вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат:

Одномерный вектор что это

Разность векторов a и b есть сумма вектора а и вектора b , предварительного умноженного на минус единицу: Одномерный вектор что это. Сначала выполняется умножение вектора на число:

Одномерный вектор что это

Осталось выполнить сложение:

Одномерный вектор что это

Одномерный вектор что это

Даны векторы Одномерный вектор что это. Найдите вектор Одномерный вектор что это.

Сначала упростим выражение, используя свойства операций над векторами:

Одномерный вектор что это

Теперь найдем координаты полученного вектора:

Одномерный вектор что это

Одномерный вектор что это

Даны векторы Одномерный вектор что это. Найдите координаты вектора Одномерный вектор что это, выполнив необходимые операции.

При нахождении координат вектора Одномерный вектор что этосначала выполним умножение вектора e на число 2 , далее просуммируем соответствующие координаты:

Одномерный вектор что это

Одномерный вектор что это

Даны векторы Одномерный вектор что это. Выполните указанные действия Одномерный вектор что это.

Вектор Одномерный вектор что этоимеет четыре координаты, а вектор Одномерный вектор что это— три, поэтому мы не можем их сложить и, следовательно, не можем выполнить действия над векторами Одномерный вектор что это.

Мы не можем выполнить указанные действия с заданными векторами.

Множество всех n -мерных векторов с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число порождают линейное пространство.

Линейное пространство, элементами которого являются векторы, называется векторным или арифметическим.

Мы дали понятие n -мерного вектора, рассмотрели операции над n -мерными векторами, их свойства и увидели, что множество всех n -мерных векторов с определенными на нем операциями сложения и умножения на число порождают векторное пространство.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Векторы в C++: для начинающих

Всем привет! До этого дня мы использовали чистые массивы. Чистые — это значит простые массивы, не имеющие у себя в багаже различных функций. В этом уроке мы пройдем нечистые массивы — векторы.

Быстрый переход по статье:

Видео:Что такое векторный базис? Душкин объяснитСкачать

Что такое векторный базис? Душкин объяснит

Одномерный вектор что этоЧто такое вектор (vector)

Вектор — это структура данных, которая уже является моделью динамического массива.

Давайте вспомним о том, что для создания динамического массива (вручную) нам нужно пользоваться конструктором new и вдобавок указателями. Но в случае с векторами всего этого делать не нужно.
Вообще, по стандарту пользоваться динамическим массивом через конструктор new — не есть правильно. Так как в компьютере могут происходить различные утечки памяти.

Видео:✓ Что такое вектор? Чем отличается понятие "вектор" от понятия "направленный отрезок" | Борис ТрушинСкачать

✓ Что такое вектор? Чем отличается понятие "вектор" от понятия "направленный отрезок" | Борис Трушин

Как создать вектор (vector) в C++

Сначала для создания вектора нам понадобится подключить библиотеку — , в ней хранится шаблон вектора.

Кстати, сейчас и в будущем мы будем использовать именно шаблон вектора. Например, очередь или стек, не созданные с помощью массива или вектора, тоже являются шаблонными.

Далее, чтобы объявить вектор, нужно пользоваться конструкцией ниже:

  • Вначале пишем слово vector .
  • Далее в угольных скобках указываем тип, которым будем заполнять ячейки.
  • И в самом конце указываем имя вектора.

В примере выше мы создали вектор строк.

Кстати, заполнить вектор можно еще при инициализации (другие способы мы пройдем позже — в методах вектора). Делается это также просто, как и в массивах. Вот так:

После имени вектора ставим знак равенства и скобки, в которых через пробел указываем значение элементов.

Такой способ инициализации можно использовать только в C++!

Так, чтобы заполнить вектор строками, нам нужно использовать кавычки — «строка» .

Второй способ обратиться к ячейке

Мы знаем, что в векторе для обращения к ячейке используются индексы. Обычно мы их используем совместно с квадратными скобками [] .

Но в C++ есть еще один способ это сделать благодаря функции — at(). В скобках мы должны указать индекс той ячейки, к которой нужно обратиться.

Вот как она работает на практике:

Давайте запустим эту программу:

Как указать количество ячеек для вектора

Указывать размер вектора можно по-разному. Можно это сделать еще при его инициализации, а можно хоть в самом конце программы. Вот, например, способ указать длину вектора на старте:

Так в круглых скобках () после имени вектора указываем первоначальную длину. А вот второй способ:

Первая строчка нам уже знакома. А вот во второй присутствует незнакомое слово — reserve , это функция, с помощью которой мы говорим компилятору, какое количество ячеек нам нужно использовать.

Вы можете задать логичный вопрос:»А в чем разница?». Давайте создадим два вектора и по-разному укажем их количество ячеек.

Как видим, в первом случае мы вывели три нуля, а во втором: 17, 0, 0.

Все потому, что при использовании первого способа все ячейки автоматически заполнились нулями.

При объявлении чего-либо (массива, вектора, переменной и т.д) мы выделяем определенное количество ячеек памяти, в которых уже хранится ненужный для ПК мусор. В нашем случае этим мусором являются числа.

Поэтому, когда мы вывели второй вектор, в нем уже находились какие-то рандомные числа — 17, 0, 0. Обычно они намного больше. Можете кстати попробовать создать переменную и вывести ее значение.

Нужно помнить! При использовании второго способа есть некоторый плюс — по времени. Так как для первого способа компилятор тратит время, чтобы заполнить все ячейки нулями.

Видео:Радиус векторСкачать

Радиус вектор

Одномерный вектор что это Как сравнить два вектора

Если в середине программы нам понадобиться сравнить два массива, мы, конечно, используем цикл for и поочередно проверим все элементы.

Вектор снова на шаг впереди! Чтобы нам сравнить два вектора, потребуется применить всего лишь оператор ветвления if.

📹 Видео

8 класс, 40 урок, Понятие вектораСкачать

8 класс, 40 урок, Понятие вектора

Массив объектов класса. Динамический. Статический. Создание Особенности. ООП C++ Для начинающих #96Скачать

Массив объектов класса. Динамический. Статический. Создание Особенности. ООП C++  Для начинающих #96

Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Программирование на С++. Урок 70. ВекторСкачать

Программирование на С++. Урок 70. Вектор

7.2 Одномерные массивы с vector в С++Скачать

7.2 Одномерные массивы с vector в С++

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Динамический массив с++ пример. Создание, заполнение, удаление, размер динамического массива. #55Скачать

Динамический массив с++ пример. Создание, заполнение, удаление, размер динамического массива. #55
Поделиться или сохранить к себе: