Задания по треугольнику паскаля

В данной работе рассмотрены примеры решения комбинаторных задач и задач по теории вероятностей с помощью треугольника Паскаля.

Видео:Зачем нужен треугольник Паскаля (спойлер: для формул сокращённого умножения)Скачать

Скачать:

Видео:ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ 😊 ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #задачи #задачаналогику #егэ2022 #огэ2022Скачать

Предварительный просмотр:

Задача 1 .В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

В треугольнике Паскаля число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересечении k-ой диагонали и n-ой строки.

Найду диагональ восьмую сверху и отсчитываю три числа по горизонтали. Получу число 56.

Задача 2. Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

Найду диагональ шестую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 15.

Задача 3. Сколько различных двухзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Найду диагональ четвёртую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 6. Вычислю факториал числа 2, получу 2. Искомое произведение равно 12.

Задача 4 . У ювелира есть пять изумрудов, восемь алмазов, четыре топаза. Сколькими способами он может сделать браслет, включив в него два изумруда, три алмаза и два топаза?

Два изумруда из пяти имеющихся можно выбрать 10 способами, три алмаза из восьми 56 способами, два топаза из четырёх 6 способами. Браслет можно сделать 3360 способами, т.е.

Задача 5 . В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?

Решение. Сначала найдём общее число возможных исходов, т.е. сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради из 12 тетрадей

А сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради в клетку из имеющихся 5 тетрадей?

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р(А)= m/n.

По формуле нахождения вероятности получим

Задача 6 .На плоскости даны 10 прямых, причём среди них нет параллельных и через каждую точку их пересечения проходят ровно две прямые. Сколько у них точек пересечения?

Решение: ответ находится на пересечении —

На плоскости даны 14 прямых, причём четыре из них параллельны и через каждую точку их пересечения проходят ровно две прямые. Сколько у них точек пересечения?

Решение: В предыдущей задаче было 10 непараллельных прямых и они имели 45 точек пересечения. Одна из 10 непараллельных пересекает четыре параллельные в 4 точках, т.е. добавим ещё 40 точек пересечения. В ответе получим 85 точек пересечения.

Сколько нечетных трехзначных чисел (без повторения цифр в числе) можно составить из цифр 1, 2, 3,4, 5?

Всего можно составить 60 чисел. Из них у 12 чисел запись заканчивается цифрой 1, у следующих 12 чисел на 2, ещё у 12 на 3, ещё у 12 на 4, у последних 12 на 5. Исключим 24 чётных числа, запись которых оканчивается на 2 и 4. Наш ответ 36 чисел.

В сумке 10 мячей, пронумерованных от 1 до 10. Наугад вынимают 2 мяча. Какова вероятность того, что это будут мячи с номерами 7 и 3?

Вынуть 2 мяча из 10 имеющихся можно 45 способами. Вероятность нашего события 2 из 45.

На плоскости даны 11 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности. Сколько существует окружностей, каждая из которых проходит через три данные точки?

Сочетаний по три точки из одиннадцати будет 165. Три точки, не лежащие на одной прямой, составляют треугольник. Вокруг любого треугольника можно описать окружность только одну. Вокруг наших треугольников будет 165 окружностей.

Видео:Треугольник ПаскаляСкачать

Двумерный симплекс, или «Треугольник Паскаля» в Pascal

Цели:

• обобщение и систематизация знаний, умений и навыков по теме «Двумерный массив»;
• повторение организации пользовательских функций и процедур;
• развитие логического и алгоритмического мышления учащихся;
• развитие познавательного интереса, творческих способностей.

Задачи:

• повторить задание формулой и вывод элементов двумерного массива, элементов главной и побочной диагоналей квадратной матрицы;
• совершенствование умений применения пользовательских функций и рекурсивных процедур для задания элементов матрицы;
• развивать логическое и алгоритмическое мышление при работе с закономерностями, при создании программ на обработку элементов квадратной матрицы;
• развивать межпредметные связи (программирование и математика);
• повышать уровень математической и информационной культур;
• прививать умение сотрудничать, оказывать помощь.
• развивать интерес к изучению предмета, формировать научное мировоззрение.

Тип урока: обобщение и систематизация.

Оборудование: дидактический, раздаточный материалы, электронное пособие «Увлекательное программирование», ПК с языком программирования Free Pascal, электронная доска.

Формы и методы: фронтальная, групповая, индивидуальная; вербальный, наглядный, иллюстративный, практический, репродуктивный, проблемно-поисковый, исследовательский, закрепление, самостоятельная работа, беседа.

Видео:Треугольник ПаскаляСкачать

Ход урока

I. Орг.момент.

Проверить готовность учащихся к уроку, правильную организацию рабочего места. Отметить отсутствующих в журнале.

II. Формулировка темы урока.

Хочешь научиться плавать, – смело входи в воду!

Хочешь научиться программировать, – пиши программы.

На доске написано слово «SIMPLEX» (Приложение1)

Simplex

«Simplex» – (от английского слова simple [‘simpl], простой, несложный) – простейший n-мерный выпуклый многогранник с количеством вершин n+1).

0-симплекс – 1 вершина (точка);

1-симплекс (одномерный) – 2 вершины (отрезок);

2-симплекс (двумерный) – 3 вершины (треугольник);

3-симплекс (трехмерный) – 4 вершины (тетраэдр).

Какие слова из этих определений мы с вами встречали на уроках программирования? (одномерный, двумерный массив, треугольник, дать определение).

Pascal

Чей портрет Вы видите на экране? (Блез Паскаль)

Подсказка: Фамилия этого человека для нас с вами связана вплотную с информатикой: как с историей развития вычислительной техники, так и с программированием.

Какой вклад он внес в информатику? (он создал арифмометр, в честь его назван один из языков программирования)

Как вы думаете, какая тема нашего сегодняшнего урока? (Двумерный симплекс или «Треугольник Паскаля» в Pascal)

Да, это следующая, заключительная, тема в разделе «УВЛЕКАТЕЛЬНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ»

Оказывается, Блез Паскаль, выдающийся математик, физик, философ и писатель очень интересовался одной таблицей треугольного вида (на экране):

Первое упоминание о таком треугольнике появилось в 10 веке в Древней Индии, им интересовались многие математики, так в Иране его называют треугольником Хайяма. Нам он известен под названием «треугольник Паскаля». В 1563 году, уже после смерти автора, вышел «Трактат об арифметическом треугольнике» Блеза Паскаля.

Сегодня наш урок мы посвятим такому треугольнику.

III. Постановка целей урока

В ходе подготовки к ЕГЭ по информатике из курса программирования наибольшее затруднение вызывают:

1. работа с матрицами;
2. рекурсивные функции и процедуры.

Цели:

• повторить, отработать задание и вывод элементов двумерного массива, заданных формулой;

• применение пользовательских функций и рекурсивных подпрограмм для задания элементов матрицы.

Выполнение заданий, направленных на проверку знаний и умений по темам алгоритмизации и программирования позволит набрать 42,5% (чуть меньше половины) от максимального количества баллов.

IV. Обобщение и систематизация

Треугольник Паскаля

До наших времен треугольник Паскаля дошел в приведенном ранее на экране виде (повторить фото), а сам Паскаль рассматривал его в форме (превратить в таблицу из простого списка):

1) Рассмотрим закономерности в такой матрице:

1. первая строка и первый столбец состоят из 1. Как это задать? (A[1,j]:=1; A[I,1]:=1;)
2. задать все остальные элементы A[i,j]:=A[i,j-1] + A[i-1,j];
3. вывести треугольный вид таблицы
   

2) Вписать в карточку недостающие операторы (такое задание тоже есть в ЕГЭ)

Пользовательская функция

1. Для чего служит пользовательская функция? Ее общий вид.
2. Давайте создадим функцию, задающую сумму 2-х элементов (РАБОТА В ГРУППАХ за ПК, изменение готовой программы) Приложение2

Рекурсивная процедура

1. Что такое рекурсия? Для чего она нужна (объект является рекурсивным, если он содержит сам себя или определен с помощью себя).
2. Для чего служит процедура? Ее общий вид.
3. Отличие процедуры от функции.
4. РАССМОТРЕТЬ И ПРОАНАЛИЗИРОВАТЬ ГОТОВУЮ ПРОГРАММУ С РЕКУРСИВНОЙ ПРОЦЕДУРОЙ (в эл. пособии) Приложение3

Проблема

Треугольник Паскаля симметричен относительно главной диагонали. Как использовать этот факт? (подумать дома)

V. Постановка д.з

Паскаль подробно исследовал свойства и применения своего «треугольника»

Рассмотрим несколько удивительных свойств (см. в пособии):

1. Каждое число x в таблице равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого первого вплоть до стоящего непосредственно над числом x
2. Каждое число x в таблице равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее числа x.
3. Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальными и горизонтальными рядами, на пересечении которых стоит число x (сами эти ряды в рассматриваемый прямоугольник не включаются).

Д/З:

Проверить любое 1 свойство (Как? Например, с помощью метода флажков)

Дополнительное задание:

Оказывается помимо треугольника Паскаля, существует треугольник Лейбница (см. рисунок).

Найти закономерности (числа на границе треугольника обратны последовательным натуральным числам. Каждое число внутри равно сумме двух чисел, стоящих под ним)

Доп. Д/З: Составить программу, выводящую элементы треугольника Лейбница

Творческое задание:

Написать программу вывода элементов треугольника Лейбница, используя рекурсивную функцию или процедуру.

VI. Итоги и рефлексия

Тестирование (тестовая программа в пособии) Приложение3

1. Двумерный симплекс – это:
   1. Двумерный массив (матрица);
   2. Треугольник;
   3. Одномерный массив.
2. Треугольник Паскаля – это:
   1. произвольный треугольник, полученный с помощью языка Pascal
   2. части квадратной матрицы, образованные ее диагоналями;
   3. арифметический треугольник, элементы которого задаются формулой a[i,j]:=a[i,j-1] + a[i-1,j]
3. Элементы побочной диагонали квадратной матрицы можно задать формулой:
   1. A [i ,i ]
   2. A [n + 1 -j , j ]
   3. A [1 , n ]
4. Рекурсивная процедура (функция)
   1. содержит сам себя или определен с помощью себя
   2. любая процедура (функция) является рекурсивной
   3. процедура, задающая элементы двумерного массива

Результаты:

4 правильных ответа – материал урока усвоен;

1-3 правильных ответа – прочитать раздел «Двумерный симплекс» пособия еще раз

Рефлексия

Какие разделы программирования мы сегодня рассмотрели на уроке?

• Двумерный массив
• Квадратная матрица
• Главная, побочная диагональ
• Пользовательская функция
• Процедура
• Рекурсивная процедура

Какие разделы в программировании, на ваш взгляд, нуждаются в дополнительной проработке?

Видео:Числа сочетаний. Треугольник Паскаля | Ботай со мной #059 | Борис Трушин |Скачать

Вариации на тему «Треугольник Паскаля»

Вариации на тему «Треугольник Паскаля»

Треугольник Паскаля является, пожалуй, одной из наиболее известных и изящных числовых схем во всей математике.

Блез Паскаль, французский математик и философ, посвятил ей специальный «Трактат об арифметическом треугольнике».

Впрочем, эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года — даты выхода в свет трактата.

Так, в 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного астрономом Петром Апианом.

Изображен треугольник и на иллюстрации книги «Яшмовое зеркало четырех элементов» китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году.

Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника в 1110 году, в свою очередь заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля — это просто бесконечная числовая таблица «треугольной формы», в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

Свойства треугольника Паскаля

Сумма чисел n-й строки Паскаля равна 2 n (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 20=1) Все строки Паскаля симметричны (потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична) Каждый член строки Паскаля с номером n тогда и только тогда делится на т, когда т — простое число, а n — степень этого простого числа

Треугольные числа
Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные, тетраэдрические и другие числа. Треугольные числа указывают количество шаров или других предметов, уложенных в виде треугольника (эти числа образуют следующую последовательность: 1,3,6,10,15,21. в которой 1- первое треугольное число, 3- второе треугольное число, 6-третье и т. д. до m-ro, которое показывает, сколько членов треугольника Паскаля содержится в первых m его строках — от нулевой до (m-1)-й).

Тетраэдрические числа
Члены последовательности 1,4, 10, 20, 36, 56. называются пирамидальными, или, более точно, тетраэдрическими числами: 1- первое тетраэдрическое число, 4- второе, 10- третье и т. д. до m-ro. Эти числа показывают, сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).

Числа Фибоначчи
В 1228 году выдающийся итальянский математик Леонардо из Пизы, более известный сейчас под именем Фибоначчи, написал свою знаменитую «Книгу об абаке». Одна из задач этой книги — задача о размножении кроликов — приводила к последовательности чисел 1,1,2,3,5,8,13,21. в которой каждый член, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих членов. Эта последовательность носит название ряда Фибоначчи, члены ряда Фибоначчи называют числами Фибоначчи. Обозначая n-е число Фибоначчи через

Между рядом Фибоначчи и треугольником Паскаля существует любопытная связь. Образуем для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел. Получим для первой диагонали 1, для второй 1, для третьей 2, для четвертой 3, для пятой 5. Мы получили не что иное, как пять начальных чисел Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи. Для доказательства интересующего нас предложения достаточно показать, что сумма всех чисел, составляющих n-ю и (n+1) диоганали треугольника Паскаля равна сумме чисел, составляющих его т+2-ю диагональ.

Биномиальные коэффициенты
Числа, стоящие по горизонтальным строкам, являются биномиальными коэффициентами. Строка с номером n состоит из коэффициентов разложения бинома (1+n)n. Покажем это при помощи операции Паскаля. Но сначала представим, как биномиальные коэффициенты определяются.

Возьмем бином 1+х и начнем возводить его в степени 0, 1, 2, 3 и т. д., располагая получающиеся при этом многочлены по возрастающим степеням буквы х. Мы получим

Вообще, для любого целого неотрицательного числа n
(1+x)n=a0+a1x+a2x2+. +apxp,
где a0,a1. ap

Последнее соотношение можно переписать в виде а из соотношений 1-4 получаем

Образовался треугольник Паскаля, каждый элемент которого

Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его не только с комбинаторикой и теорией вероятностей, но и с другими областями математики и ее приложений.

Решение задач с применением треугольника Паскаля

Старинные задачи о случайном
Еще в глубокой древности появились различные азартные игры. В Древней Греции и Риме широкое распространение получили игры в астрагалы, когда игроки бросали кости животных. Также пользовались популярностью игральные кости — кубики с нанесенными на гранях точками. Позднее азартные игры распространились в средневековой Европе.

Эти игры подарили математикам массу интересных задач, которые потом легли в основу теории вероятностей. Очень популярны были задачи о дележе ставки. Ведь, как правило, игра велась на деньги: игроки делали ставки, а победитель забирал всю сумму. Однако игра иногда прерывалась раньше финала, и возникал вопрос: как разделить деньги.

Многие математики занимались решением этой проблемы, но до середины XVII века так и не нашли его. В 1654 году между французскими математиками Блезом Паскалем, уже хорошо известным нам, и Пьером Ферма возникла переписка по поводу ряда комбинаторных задач, в том числе и задач о дележе ставки. Оба ученых, хотя и несколько разными путями, пришли к верному решению, деля ставку пропорционально вероятности выигрыша всей суммы при продолжении игры.

Следует отметить, что до них никто из математиков вероятность событий не вычислял, в их переписке теория вероятностей и комбинаторика впервые были научно обоснованы, и поэтому Паскаль и Ферма считаются основателями теории вероятностей.

Рассмотрим одну из задач Ферма, решенную Паскалем с помощью своей числовой таблицы.

Пусть до выигрыша всей встречи игроку А недостает двух партий, а игроку В — трех партий. Как справедливо разделить ставку, если игра прервана?

Паскаль складывает количество партий, недостающих игрокам, и берет строку таблицы, в которой количество членов равно найденной сумме, т. е. 5. Тогда доля игрока А будет равна сумме трех (по количеству партий, недостающих игроку В) первых членов пятой строки, а доля игрока В — сумме оставшихся двух чисел. Выпишем эту строку: 1,4,6,4, 1. Доля игрока А равна 1+4+6=11, а доля В -1+4=5.

Другие арифметические треугольники

Рассмотрим треугольники, построение которых связано с известными однопараметрическими комбинаторными числами. Создание таких треугольников основано на принципе построения рассматриваемого выше треугольника Паскаля.

Рассмотрим построенный арифметический треугольник. Данный треугольник носит название треугольника Люка, так как суммы чисел, стоящих на восходящих диагоналях, дают последовательность чисел Люка: 1, 3, 4, 7, 11, 18, / которые могут быть определены как

Ln=Ln-1+Ln-2, L0=2, L1=1

Каждый элемент треугольника определяется по правилу Паскаля Ln+1,k=Ln, k-1+Ln, k при начальных условиях L1,0=1, L1,1=2 и L0,k=0

т. е. n-я строка треугольника люка может быть получена сложением n-й и (n-1)-й строк треугольника Паскаля.

Из чисел (fm, n), удовлетворяющих уравнениям
fm, n=fm-1,n+fm-2,n,
fm, n=fm-1,n-1+fm-2,n-2, где с начальными условиями f0,0=f1,0=f1,1=f2,1=1 строится следующий треугольник.

fm, n =fn fn-m, m Є n Є 0, где fn — n — е число Фибоначчи. Построенный треугольник назван треугольником Фибоначчи.

Рассмотрим еще один треугольник, создание которого основано на методе построения треугольника Паскаля. Это треугольник Трибоначчи. Он назван так потому, что суммы элементов, стоящих на восходящих диагоналях, образуют последовательность чисел Трибоначчи: 1,1,2,4,7,13,24,44. которая может быть определена следующим рекуррентным соотношением: tn+3 = tn+2 + tn+1 + tn с начальными условиями t0 = 1, t1 = 1, t2 = 2

Построение «знакового треугольника»

Перед нами треугольник, составленный из одних знаков, плюсов и минусов, по принципу образования треугольника Паскаля. В отличие от последнего, он расположен основанием вверх.

Сначала задается первая строка, состоящая из произвольного количества знаков и их расположения. Каждый знак следующей строки получается путем перемножения двух вышестоящих знаков.

Одной из наших задач является установить, при каком количестве знаков первой строки число минусов и плюсов будет одинаковым. Общее количество знаков в таблице можно определить формулой

где n — число знаков в первой строке.

Образуется последовательность чисел, при которых количество минусов и плюсов может быть равным: 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 16. каждое из которых показывает количество знаков в первой строке. Однако не установлено, при каком расположении знаков число минусов и плюсов будет однозначно одинаковым.

Второй нашей задачей, касающейся треугольника произведения знаков, является установление наименьшего количества плюсов, которое может иметь «знаковый треугольник».

Существует интересная последовательность знаков первой строки: +, -, -, +, -, -, . (или -, -, + ,- ,- ,+ , . ), при которой число плюсов, как до сих пор считается, будет наименьшим и равным 1/3 от общего числа знаков, т. е. равным

Важно заметить, что если постепенно обходить треугольник, то последовательность знаков +, -, -, . сохранится.

Обратим внимание на тот факт, что наименьшее количество плюсов, равное 1/3 от общего числа знаков, можно увидеть и в треугольнике при n = 2.

📽️ Видео

Математические секреты треугольника ПаскаляСкачать

Бином Ньютона и треугольник Паскаля | Учитель года Москвы — 2020Скачать

РАЗБИРАЕМСЯ С ТРЕУГОЛЬНИКОМ ПАСКАЛЯ ЧАСТЬ II 😊 #shorts #математика #егэ #задачи #егэ2022 #огэ2022Скачать

#26. Треугольник Паскаля как пример работы вложенных циклов | Python для начинающихСкачать

Три способа упрощения логической функцииСкачать

Комбинаторика: размещения, перестановки, сочетанияСкачать

Числа Фибоначчи и треугольник ПаскаляСкачать

4.3 Треугольник Паскаля 1. "Поколение Python": курс для продвинутых. Курс StepikСкачать

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ, В УРАВНЕНИЯХСкачать

Треугольник ПаскаляСкачать

БИНОМ Ньютона | треугольник ПаскаляСкачать

Треугольник Паскаля Python. Коэффициенты для Бинома НьютонаСкачать

28 Вложенные циклы PythonСкачать

Применение треугольника Паскаля #shortsСкачать

Несколько красивых свойств треугольника ПаскаляСкачать