Определение 1. Прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
На рисунке 1 прямая l является касательной к окружности с центром O, а точка M является точкой касания прямой и окружности.
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Свойство касательной
Теорема 1 (Теорема о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному из центра окружности к точке касания прямой и окружности.
Доказательство. Пусть l касательная к окружности с центром O и M − точка касания прямой и окружности (Рис.1). Докажем, что ( small l ⊥ OM .)
Предположим, что радиус OM является наклонной к прямой l. Поскольку перпендикуляр, проведенной из точки O к прямой l меньше наклонной OM, от центра окружности до прямой l меньше радиуса окружности. Тогда прямая l и окружность имеют две общие точки (см. статью Взаимное расположение прямой и окружности). Но касательная не может иметь с окружностью две общие точки. Получили противоречие. Следовательно прямая l пенрпендикулярна к радиусу OM.
Рассмотрим две касательные к окружности с центром O, которые проходят через точку A и касаются окружности в точках B и C (Рис.2). Отрезки AB и AC называются отрезками касательных, проведенных из точки A.
Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через данную точку и центр окружности.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 2. По теореме 1 касательные AC и AB перпендикулярны радиусам OC и OB, соответственно. Тогда углы 3 и 4 прямые, а треугольники ACO и ABO, прямоугольные. Эти треугольники равны по катету (OC=OB) и гипотенузе (сторона AO− общая) (подробнее см. в статье Прямоугольный треугольник. Онлайн калькулятор). Тогда AB=AC и ( small angle 1=angle 2 .) Что и требовалось доказать.
Теорема 3. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащей на окружности и перпенжикулярна к этому радиусу, то эта прямая является касательной.
Доказательство. По условию теоремы данный радиус является перпендикуляром от центра окружности к данной прямой. То есть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку (теорема 2 статьи Взаимное расположение прямой и окружности). Но это означает, что данная прямая является касательной к окружности (Определение 1).
Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать
Построение касательной к окружности
Задача 1. Через точку M окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.3).
Решение. Проведем прямую p через точки O и M. На прямой p из точки M отложим отрезок MN равной OM. Построим две окружности с центрами O и N и одинаковыми радиусами ON. Через точки пересечения этих окружностей проведем прямую l. Полученная прямая является касательным к окружности с центром O и радиусом OM.
Задача 2. Через точку A не принадлежащая к окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.5).
Решение. Проведем прямую p через точки O и A (Рис.6). Найдем среднюю точку отрезка OA и обозначим буквой K. Постоим окружность с центром K радиусом KO=KA. Найдем точки пересечения этой окружности с окружностью с центром O. Получим точки B и C. Через точки A и C проведем прямую m. Через точки A и B проведем прямую n. Прямые m и n являются касательными к окружности с центром O.
Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°
Видео:КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА К РАДИУСУ, ПРОВЕДЕННОМУ В ТОЧКУ КАСАНИЯ. Теорема.Скачать
Теорема обратная теореме касательной к окружности
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИЛИНДР.
§ 73. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ.
1. Возможны следующие три случая взаимного положения прямой и окружности:
1) Прямая не имеет с окружностью ни одной общей точки (черт. 317).
2) Прямая с окружностью имеет только одну общую точку (черт. 318).
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.
3) Прямая имеет с окружностью две общие точки (черт. 319). Такая прямая называется секущей.
2. Теоремы о касательной к окружности.
Теорема 1. Прямая, перпендикулярная к радиусу в конечной его точке, лежащей на окружности, является касательной к окружности.
Пусть ОМ— радиус окружности, СD_|_OМ (черт. 318).
Требуется доказать, что СD— касательная к окружности.
Доказательство. Если ОМ _|_СD, то расстояние от центра О до любой другой точки прямой СD больше радиуса ОМ, следовательно, всякая точка прямой СD, кроме точки М, лежит вне круга. Поэтому точка М — единственная общая точка прямой СD и окружности, а это означает, что СD— касательная к окружности.
Теорема 2 (обратная). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу этой окружности, проведённому в точку касания.
Пусть прямая СD — касательная к окружности и М — точка касания.
Требуется доказать, что СD _|_ ОМ (черт. 318).
Доказательство. Если прямая СD касается окружности в точке М, то всякая другая точка прямой СD будет находиться вне круга, ограниченного этой окружностью, следовательно, расстояние от каждой точки прямой СD до центра, кроме точки М, будет больше расстояния ОМ — радиуса окружности. Значит, этот радиус есть наименьший из отрезков, соединяющих точку О с точками прямой СD, поэтому ОМ _|_ СD.
3. Свойство дуг, заключённых между касательной и параллельной ей хордой.
Теорема. Дуги, заключённые между касательной и параллельной ей хордой, равны.
Пусть касательная АВ и хорда СD параллельны. Точка Е — точка касания прямой АВ с окружностью О (черт. 320).
Требуется доказать, что СЕ = ЕD.
Для доказательства соединим точку касания Е с центром круга.
ОЕ _|_АВ, а так как СD || АВ, то ОЕ _|_ СD, а перпендикуляр к хорде, проведённый из центра той же окружности, делит стягиваемую ею дугу пополам. Следовательно, СЕ = ЕD.
4. Построение касательной к окружности.
Задача. Построить прямую, касательную к окружности в данной её точке.
Дана окружность О, требуется провести прямую, касательную к этой окружности в точке М (черт. 321).
Проведём радиус ОМ и через конечную его точку М проведём прямую КМ, перпендикулярную к радиусу. По доказанному ранее прямая КМ будет касательной к окружности.
СЕ = 
