Точка пересечения медиан треугольника это центр окружности (7 видео)

Точка пересечения медиан треугольника это центр окружности

Ключевые слова: основные линии треугольника, медиана, биссектриса, высота, средния линия, серединные перпендикуляры

Рассмотрим произвольный треугольник ABC:

a, b, c — стороны треугольника

$$m_a$$ — медиана к стороне a угла A

$$h_a$$ — высота к стороне a угла A

$$l_a$$ — биссектриса к стороне a угла A

Точка пересечения медиан треугольника это центр окружности

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам.
Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон
Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Содержание

Центр описанной окружности
2 Comments
Please wait.
We are checking your browser. mathvox.ru
Why do I have to complete a CAPTCHA?
What can I do to prevent this in the future?
📺 Видео

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Центр описанной окружности

Где находится центр описанной около треугольника окружности? Что можно сказать о центре окружности, описанной около многоугольника?

Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

окружность (O;R) — описанная около ∆ ABC.

O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ∆ ABC.

Соединим отрезками точки O и A, O и C.

OA=OC (как радиусы), следовательно, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению).

По свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана, проведенные к основанию AC, совпадают):

Следовательно, центр описанной окружности — точка O — лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину, то есть на серединном перпендикуляре к AC.

Аналогично доказывается, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB.

Так как серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то точка O — центр описанной около треугольника ABC окружности.

Что и требовалось доказать.

Аналогичные рассуждения можно применить и для многоугольника, около которого можно описать окружность.

Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

Видео:Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой ЭйлераСкачать

2 Comments

на мой взгляд у вас опечатка — «Соединим отрезками точки O и A, O и C.

OA=OB( написано ОВ вместо ОС) (как радиусы), следовательно, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AC (по определению).»

Видео:Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Please wait.

Видео:Почему точка пересечения медиан называется центром масс?Скачать

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Точка пересечения медиан.Скачать

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точкаСкачать

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d24ed3f4c287a6d • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare