Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Окружность, вписанная в треугольник

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Определение окружности, вписанной в треугольник

Определение 1. Окружностью, вписанной в треугольник называется окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех его сторон (Рис.1).

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Можно дать и другое определение окружности, вписанной в треугольник.

Определение 2. Окружностью, вписанной в треугольник называется наибольшая окружность, которая может находится внутри треугольника.

При этом треугольник называется треугольником описанным около окружности . Центр вписанной в треугольник окружности явлется точка пересечения биссектрис треугольника. Центр окружности вписанной в треугольник называется инцентром треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Теорема об окружности, вписанной в треугольник

Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность.

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения биссектрис треугольника. Проведем из точки O перпендикуляры OK, OL и OM к сторонам AB, AC, BC, соответственно. Поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK=OL=OM. Тогда окружность с центром O и радиусом OK проходит через три точки K, L, M. Стороны AB, AC, BC треугольника ABC касаются этой окружности в точках K, L, M, поскольку они перпендикулярны к радиусам OK, OL, OM, соответственно. Следовательно, окружность с центром O и радиусом OK является вписанной в треугольник ABC.Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Замечание 1. В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от сторон треугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Видео:Теорема об окружности вписанной в треугольникСкачать

Теорема об окружности вписанной в треугольник

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировкаСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировкаФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировкаВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка.

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникТеорема об окружности вписанной в треугольник формулировка
Равнобедренный треугольникТеорема об окружности вписанной в треугольник формулировка
Равносторонний треугольникТеорема об окружности вписанной в треугольник формулировка
Прямоугольный треугольникТеорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка.

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка.

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Произвольный треугольник
Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка
Равнобедренный треугольник
Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка
Равносторонний треугольник
Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка
Прямоугольный треугольник
Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка
Произвольный треугольник
Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка.

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка.

Равнобедренный треугольникТеорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Равносторонний треугольникТеорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникТеорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка– полупериметр (рис. 6).

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

с помощью формулы Герона получаем:

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение

Еще в Древнем Египте появилась наука, с помощью которой можно было измерять объемы, площади и другие величины. Толчком к этому послужило строительство пирамид. Оно предполагало значительное число сложных расчетов. И кроме строительства, было важно правильно измерить землю. Отсюда и появилась наука «геометрия» от греческих слов «геос» — земля и «метрио» — измеряю.

Исследованию геометрических форм способствовало наблюдение астрономических явлений. И уже в 17-м веке до н. э. были найдены начальные способы расчета площади круга, объема шара и главнейшее открытие — теорема Пифагора.

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка Вам будет интересно: Казахская академия спорта и туризма. Факультеты, структура вуза

Формулировка теоремы об окружности, вписанной в треугольник выглядит следующим способом:

В треугольник можно вписать только одну окружность.

При таком расположении окружность — вписанная, а треугольник — описанный около окружности.

Формулировка теоремы о центре окружности, вписанной в треугольник, выглядит следующим образом:

Центральная точка окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Окружность считается вписанной в треугольник, если она хотя бы одной точкой касается всех его сторон.

На фото ниже показана окружность, находящаяся внутри равнобедренного треугольника. Условие теоремы об окружности, вписанной в треугольник, соблюдено — она касается всех сторон треугольника AB, ВС И СА в точках R, S, Q соответственно.

Одним из свойств равнобедренного треугольника является то, что вписанная окружность точкой касания делит основание пополам (BS = SC), а радиус вписанной окружности составляет треть высоты данного треугольника(SP=AS/3).

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Свойства теоремы об окружности, вписанной в треугольник:

  • Отрезки, выходящие из одной вершины треугольника к точкам касания с окружностью, равны. На рисунке AR = AQ, BR = BS, CS = CQ.
  • Радиус окружности (вписанной) — это площадь, деленная на полупериметр треугольника. Как пример, нужно начертить равнобедренный треугольник с теми же буквенными обозначениями, что на картинке, следующих размеров: основание ВС = 3 см, высота AS = 2 см, стороны АВ=ВС, соответственно, получаются по 2,5 см каждая. Проведем из каждого угла биссектрису и место их пересечения обозначим как Р. Впишем окружность с радиусом PS, длину которого нужно найти. Узнать площадь треугольника можно, умножив 1/2 основания на высоту: S = 1/2 * DC * AS = 1/2 * 3 * 2 = 3 см2. Полупериметр треугольника равен 1/2 суммы всех сторон: Р = (АВ + ВС + СА) / 2 = (2,5 + 3 + 2,5) / 2 = 4 см; PS = S/P = 3/4 = 0,75 см2, что полностью соответствует действительности, если измерить линейкой. Соответственно, верно свойство теоремы об окружности, вписанной в треугольник.

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Для треугольника с прямым углом действуют свойства теоремы об вписанной окружности в треугольник. И, кроме того, добавляется возможность решать задачи с постулатами теоремы Пифагора.

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно определить следующим образом: сложить длины катетов, вычесть значение гипотенузы и получившееся значение разделить на 2.

Есть хорошая формула, которая поможет высчитать площадь треугольника — периметр умножить на радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Формулировка теоремы о вписанной окружности

В планиметрии важны теоремы о вписанных и описанных фигурах. Одна из них звучит так:

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

Теорема об окружности вписанной в треугольник формулировка

На представленном рисунке показано доказательство данной теоремы. Показано равенство углов, и, соответственно, равенство прилегающих треугольников.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник

Радиусы окружности, вписанной в треугольник, проведенные в точки касания перпендикулярны сторонам треугольника.

Задание «сформулируйте теорему об окружности вписанной в треугольник» не должно застать врасплох, потому что это одни из фундаментальных и простейших знаний в геометрии, которыми необходимо владеть в полной мере для решения многих практических задач в реальной жизни.

🌟 Видео

Окружность, вписанная в треугольникСкачать

Окружность, вписанная в треугольник

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #ShortsСкачать

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #Shorts

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
Поделиться или сохранить к себе: