Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностигде Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностигде R — радиус описанной окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Найдем радиус Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностивневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиПо свойству касательной Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(по острому углу) следуетКак относятся радиусы вписанной и описанной окружностиТак как Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностито Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиоткуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностивписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии по свойству касательной к окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностито центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностигде Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— полупериметр треугольника, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиРадиусы Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностипроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиоткуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(см. рис. 95) Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностииз Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиоткуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностикак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиоткуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
Ответ: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностисм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиа высоту, проведенную к основанию, — Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностито получится пропорция Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностипо теореме Пифагора Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(см), откуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— общий) следует:Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Тогда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиКак относятся радиусы вписанной и описанной окружности(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(см. рис. 97) Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, из Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиоткуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности‘ откуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности= 3 (см).

Способ 4 (формула Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности). Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиИз формулы площади треугольника Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиследует: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиего вписанной окружности.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиПоскольку ВК — высота и медиана, то Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиИз Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, откуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности.
В Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностикатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Откуда

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Ответ: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностито Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностираз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиразделить на Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностигде с — гипотенуза.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностигде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, где Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— искомый радиус, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— катеты, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— гипотенуза треугольника.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии гипотенузой Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностикасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Тогда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиНо Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, т. е. Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, откуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Следствие: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Формула Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностив сочетании с формулами Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностидает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиНайти Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности.

Решение:

Так как Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностито Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
Из формулы Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиследует Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. По теореме Виета (обратной) Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— посторонний корень.
Ответ: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— квадрат, то Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
По свойству касательных Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
Тогда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиПо теореме Пифагора

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Следовательно, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
Радиус описанной окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностизначения Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиполучим Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиПо теореме Пифагора Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, т. е. Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиТогда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностирадиус вписанной в него окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностигипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностивписанной окружности, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— высота Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностипо катету и гипотенузе.
Площадь Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиравна сумме удвоенной площади Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии площади квадрата CMON, т. е.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиследует Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиКак относятся радиусы вписанной и описанной окружностиВозведем части равенства в квадрат: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиТак как Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиКак относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиследует, что Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиИз формулы Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиследует, что Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиАналогично доказывается, что Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностито около него можно описать окружность.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиили внутри нее в положении Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностито в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностине была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностикоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностичто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Для описанного многоугольника справедлива формула Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, где S — его площадь, р — полупериметр, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиТак как у ромба все стороны равны , то Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиоткуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиИскомый радиус вписанной окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностинайдем площадь данного ромба: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиПоскольку Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(см), то Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиОтсюда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(см).

Ответ: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностисм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Как относятся радиусы вписанной и описанной окружноститрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиТогда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиПо свойству описанного четырехугольника Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиОтсюда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиТак как Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностикак внутренние односторонние углы при Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии секущей CD, то Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(рис. 131). Тогда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— прямоугольный, радиус Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиили Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиВысота Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиТак как по свой­ству описанного четырехугольника Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностито Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиКак относятся радиусы вписанной и описанной окружности
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностикак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиВ прямоугольном треугольнике ABM Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиоткуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностито Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиТак как АВ = AM + МВ, то Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиоткуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностит. е. Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. После преобразований получим: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиАналогично: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиКак относятся радиусы вписанной и описанной окружностиКак относятся радиусы вписанной и описанной окружности
Ответ: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиКак относятся радиусы вписанной и описанной окружностиКак относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Замечание. Если Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(рис. 141), то Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиПусть в трапеции ABCD основания Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— боковые стороны, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Известно, что в равнобедренной трапеции Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиКак относятся радиусы вписанной и описанной окружностиОтсюда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиОтвет: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностибоковой стороной с, высотой h, средней линией Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии радиусом Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностивписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностикак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностито около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностипроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Как относятся радиусы вписанной и описанной окружноститреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— соответствующие линейные элемен­ты Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностито можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Действительно, из подобия указанных треугольников Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиоткуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Пример:

Пусть Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(см. рис. 148). Найдем Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиПо обобщенной теореме Пифагора Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиотсюда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
Ответ: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, и Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаКак относятся радиусы вписанной и описанной окружности— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностигде b — боковая сторона, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиРадиус вписанной окружности Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиТак как Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностито Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиИскомое расстояние Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиоткуда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностигде Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— полупериметр, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— центр окружности, описанной около треугольника Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, поэтому Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностисуществует точка Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностибудет центром описанной окружности, а отрезки Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— ее радиусами.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Проведем серединные перпендикуляры Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностисторон Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностисоответственно. Пусть точка Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностипринадлежит серединному перпендикуляру Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, то Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Так как точка Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностипринадлежит серединному перпендикуляру Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, то Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Значит, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиКак относятся радиусы вписанной и описанной окружности, т. е. точка Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, отрезки Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— радиусы, проведенные в точки касания, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностисуществует точка Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностибудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Проведем биссектрисы углов Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— точка их пересечения. Так как точка Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностипринадлежит биссектрисе угла Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, то она равноудалена от сторон Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностипринадлежит биссектрисе угла Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, то она равноудалена от сторон Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Следовательно, точка Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностиравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, где Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— радиус вписанной окружности, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— катеты, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— гипотенуза.

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Решение:

В треугольнике Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности(рис. 302) Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, точка Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— центр вписанной окружности, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— точки касания вписанной окружности со сторонами Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностисоответственно.

Отрезок Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности.

Так как точка Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— центр вписанной окружности, то Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— биссектриса угла Как относятся радиусы вписанной и описанной окружностии Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Тогда Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности— равнобедренный прямоугольный, Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Как относятся радиусы вписанной и описанной окружности

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треуголь ника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
  • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = frac

    $$ , где S — площадь треугольника, а $$p =frac$$ — полупериметр треугольника.

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Четырехугольник, вписанный в окружность

Окружность, вписанная в ромб

Геометрия

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Понятие правильного многоугольника

У выпуклого многоугольника могут быть одинаковы одновременно и все стороны, и все углы. В таком случае он именуется правильным многоугольником.

Нам уже известны некоторые правильные многоуг-ки. Например, правильным является равносторонний треугольник. У него все стороны одинаковы по его определению, а все углы составляют по 60°. Поэтому иногда его так и называют – правильный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является квадрат, у которого также по определению одинаковы стороны, а углы составляют уже по 90°.

Заметим, что бывают фигуры, у которых одинаковы все стороны, а углы различны. Примером такой фигуры является ромб. Возможна и обратная ситуация – все углы у фигуры одинаковы, но стороны отличаются своей длиной. Таковым является прямоугольник. Важно понимать, такие фигуры (в частности, ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными.

Для любого заданного числа n, начиная от n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:

Существует зависимость, которая позволяет определить величину угла правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна величине 180°(n– 2). Обозначим угол правильного многоуг-ка буквой α. Так как у n-угольника ровно n углов, и все они одинаковы, мы можем записать равенство:

Легко проверить, что эта формула верна для равностороннего треуг-ка и квадрата и позволяет правильно определить углы в этих фигурах. Для треугольника n = 3, поэтому мы получаем 60°:

Задание. Какова величина углов в правильном пятиугольнике, шестиугольнике, восьмиугольнике, пятидесятиугольнике?

Решение. Надо просто подставить в формулу число сторон правильного многоугольник. Сначала считаем для пятиугольника:

Задание. Сколько сторон должно быть у правильного многоуг-ка, чтобы каждый угол в нем был равен 179°?

Решение. В формулу

Задание. Может ли существовать правильный многоуг-к, угол которого равен 145°?

Решение. Предположим, что он существует. Тогда по аналогии с предыдущей задачей найдем количество его сторон:

Получили не целое, а дробное количество сторон. Естественно, что это невозможно, а потому такой многоуг-к существовать не может.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Докажем важную теорему о правильном многоуг-ке.

Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами А1, А2, А3…Аn. Далее проведем биссектрисы углов ∠А1 и ∠А2. Они пересекутся в некоторой точке О. Соединим О с другими вершинами многоуг-ка отрезками ОА3, ОА4 и т. д.

∠А1 и ∠А2 одинаковы по определению правильного многоуг-ка:

Из этого факта вытекает два равенства:

Получается, что ОА3 – это также биссектриса ∠А3. Тогда, повторив все предыдущие рассуждения, мы можем доказать равенство, аналогичное (1):

Это равенство означает, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка. Значит, можно построить окружность с центром в О, на которой будут лежать все вершины многоуг-ка:

Естественно, существует только одна такая описанная окружность, ведь через любые три точки, в частности, через А1, А2 и А3, можно провести только одну окружность, ч. т. д.

Продолжим рассматривать выполненное нами построение с описанной окружностью. Ясно, что ∆ОА1А2, ∆ОА2А3, ∆ОА3А4, …, равны, ведь у них одинаковы по 3 стороны. Опустим из О высоты ОН1, ОН2, ОН3… на стороны многоуг-ка.

Так как высоты проведены в равных треуг-ках, то и сами они равны:

Теперь проведем окружность, центр которой находится в О, а радиус – это отрезок ОН1. Он должен будет пройти и через точки Н2, Н3, … Нn. Причем отрезки ОН1, ОН2, ОН3 окажутся радиусами. Так как они перпендикулярны сторонам многоуг-ка, то эти самые стороны будут касательными к окружности (по признаку касательной). Стало быть, эта окружность является вписанной:

Ясно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоуг-ка, а потому лежал бы в точке пересечения биссектрис углов ∠А1, ∠А2, ∠А3, то есть в точке О. Так как расстояние от О до А1А2 – это отрезок ОН1, то именно такой радиус был бы у второй окружности. Получается, что вторая окружность полностью совпала бы с первой, так как их центр находился бы в одной точке, и радиусы были одинаковы.

Примечание. Точка, которая центром и вписанной, и описанной окружности, именуется центром правильного многоуг-ка.

Ещё раз вернемся к приведенному доказательству и заметим, что высоты ОН1, ОН2, ОН3,… проведены в равнобедренных треуг-ках∆ОА1А2, ∆ОА2А3, ∆ОА3А4,… Следовательно, эти высоты являются ещё и медианами, то есть точки Н1, Н2, Н3,… – это середины сторон многоуг-ка.

Задание. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоуг-ке, быть параллельными друг другу?

Решение. Центр правильного многоуг-ка находится в точке пересечения всех его биссектрис. То есть любые две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные же прямые общих точек не имеют. Получается, что биссектрисы не могут быть параллельными.

Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать и для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоуг-ка.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Формулы для правильного многоугольника

Правильный многоуг-к, как и любая другая плоская фигура, имеет площадь (она обозначается буквой S) и периметр (обозначается как Р). Длина стороны многоуг-ка традиционно обозначается буквой an, где n– число сторон у многоуг-ка. Например a4– это сторона квадрата, a6– сторона шестиугольника. Наконец, мы выяснили, что для каждого правильного многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность. Радиус описанной окружности обозначается большой буквой R, а вписанной – маленькой буквой r.

Оказывается, все эти величины взаимосвязаны друг с другом. Ранее мы уже получили формулу

для многоуг-ка, в который вписана окружность. Подходит она и для правильного многоуг-ка.

Для вывода остальных формул правильного многоугольника построим n-угольники соединим две его вершины с центром:

Теперь у нас есть формула, связывающая друг с другом Rи r. Наконец, прямо из определения периметра следует ещё одна формула:

С их помощью, зная только один из параметров правильного n-угольника, легко найти и все остальные параметры (если известно и число n).

Задание. Докажите, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности.

Решение. Запишем следующую формулу:

Это равенство как раз и надо было доказать в этом задании.

Задание. Около окружности описан квадрат. В свою очередь и около квадрата описана окружность радиусом 4. Найдите длину стороны квадрата и радиус вписанной окружности.

Решение. Запишем формулу:

Задание. Вычислите площадь правильного многоугольника с шестью углами, длина стороны которого составляет единицу.

Найдем периметр шестиугольника:

Задание. Около правильного треугольника описана окружность. В ту же окружность вписан и квадрат. Какова длина стороны этого квадрата, если периметр треугольника составляет 18 см?

Решение. Зная периметр треуг-ка, легко найдем и его сторону:

Далее вычисляется радиус описанной около треугольника окружности:

Задание. Необходимо изготовить болт с шестигранной головкой, причем размер под ключ (так называется расстояние между двумя параллельными гранями головки болта) должен составлять 17 мм. Из прутка какого диаметра может быть изготовлен такой болт, если диаметр прутков измеряется целым числом?

Решение. Здесь надо найти диаметр окружности, описанной около шестиугольника. Ранее мы уже доказывали, что у шестиугольника длина этого радиуса совпадает с длиной его стороны:

Осталось найти сторону шестиугольника. Для этого соединим две его вершины (обозначим их А и С) так, как это показано на рисунке:

Отрезок АС как раз и будет расстоянием между двумя параллельными гранями, что легко доказать. Каждый угол шестиугольника будет составлять 120°:

В частности ∠АВС = 120°. Так как АВ = ВС, то ∆АВС – равнобедренный, и углы при его основании одинаковы:

Аналогично можно показать, что и ∠ACD – прямой. Таким образом, АС перпендикулярен сторонам AF и CD, а значит является расстоянием между ними, и по условию равно 17 мм:

∆АВС – равнобедренный. Опустим в нем высоту НВ, которая одновременно будет и медианой. Тогда АН окажется вдвое короче АС:

AH = AC/2 = 17/2 = 8,5 мм

Теперь сторону АВ можно найти из ∆АВН, являющегося прямоугольным:

Здесь мы округлили ответ до ближайшего большего целого числа, так как по условию можно использовать лишь пруток с целым диаметром.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Построение правильных многоугольников

При использовании транспортира или иного прибора, позволяющего откладывать заранее заданные углы, построение правильного многоуг-ка проблем не вызывает. Например, пусть надо построить пятиугольник со стороной, равной 5 см. Сначала по известной формуле вычисляем величину его угла:

Однако напомним, что в геометрии большой интерес вызывают задачи, связанные с построением с помощью всего двух инструментов – циркуля и линейки, то есть без использования транспортира. В таком случае построение многоугольников правильной формы становится значительно более сложной задачей. Если речь идет не о таких простых фигурах, как квадрат и равносторонний треугольник, то при построении обычно приходится использовать описанную окружность.

Сначала рассмотрим построение правильного шестиугольника по заранее заданной стороне. Ранее мы уже узнали, что его сторона имеет такую же длину, как и радиус описанной окружности:

На основе этого факта предложен следующий метод построения шестиугольника. Сначала строится описанная окружность, причем в качестве ее радиуса берется заданная сторона а6. Далее на окружности отмечается произвольная точка А, которая будет первой вершиной шестиугольника. Из нее проводится ещё одна окружность радиусом а6. Точки, где она пересечет описанную окружность (В и F), будут двумя другими вершинами шестиугольника. Наконец, и из точек B и F проводим ещё две окружности, которые пересекутся с исходной окружностью в точках С и F. Наконец, из С (можно и из F)провести последнюю окружность и получить точку D. Осталось лишь соединить все точки на окружности (А, В, С, D, Еи F):

Данное построение довольно просто. Однако для пятиугольника построение несколько более сложное, а для семиугольника и девятиугольника вообще невозможно осуществить точное построение. Этот факт был доказан только в 1836 г. Пьером Ванцелем.

Если удалось возможно построить правильный n-угольник, вписанный в окружность, то несложно на его основе построить многоуг-к, у которого будет в два раза больше сторон (его можно назвать 2n-угольником) и который будет вписан в ту же окружность. Рассмотрим это построение на примере квадрата и восьмиугольника.

Изначально дан квадрат, вписанный в окружность. Надо построить восьмиугольник, вписанный в ту же окружность. Обозначим любые две вершины квадрата буквами А и В. Для начала нам надо разбить дугу ⋃АВ на две равные дуги. Для этого мы проводим из А и В окружности радиусом АВ. Они пересекутся в некоторых точках С и D. Соединяем их отрезком, который в свою очередь пересечется с исходной окружностью в точке Е.

Е – это середина дуги ⋃АВ. Точки А, В и Е как раз являются тремя первыми точками восьмиугольника. Для получения остальных точек необходимо из вершин квадрата строить окружности радиусом АЕ. Точки, где эти окружности пересекутся с исходной окружностью, и будут вершинами восьмиугольника. Также его вершинами являются вершины самого квадрата:

Аналогичным образом можно из шестиугольника получить 12-угольник, из восьмиугольника – 16-угольник, из 16-угольника – 32-угольник. То есть можно удвоить число сторон многоуг-ка.

Древние греки умели строить правильные многоуг-ки с 3, 4, 5, 6 и 15 сторонами, а также умели на их основе строить многоуг-ки с вдвое большим числом сторон. Лишь в 1796 г. Карл Гаусс смог построить 17-угольник. Также удалось найти способ построения 257-угольника и 65537-угольника, причем описание построения 65537-угольника занимает более 200 страниц.

В этом уроке мы узнали о правильных многоуг-ках и их свойствах. Особенно важно то, что для каждого такого многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность, причем их центры совпадают. Это позволяет использовать правильные многоуг-ки для более глубокого исследования свойств окружности.

💥 Видео

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностейСкачать

СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностей

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Геометрия 6. Радиусы вписанной и описанной окружностей.Скачать

Геометрия 6. Радиусы вписанной и описанной окружностей.

Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника Геометрия 9классСкачать

Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника Геометрия 9класс

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Радиусы вписанной и описанной окружности правильного 6-угольникаСкачать

Радиусы вписанной и описанной окружности правильного 6-угольника

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Геометрия Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственноСкачать

Геометрия Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно

Геометрия для чайников 59 Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильных многоугоСкачать

Геометрия для чайников 59 Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильных многоуго
Поделиться или сохранить к себе: