Кроме уравнений Максвелла, большое значение в теории электромагнитного поля имеет теорема Умова—Пойнтинга, которая описывает энергетические соотношения в поле. Теорема Умова—Пойнтинга имеет две формы записи: первая — для мгновенных значений, вторая (комплексная форма) — для синусоидально изменяющихся величин.
Из § 19.46 известно, что энергия электрического поля в единице объема равна 8, Е 2 12. Энергия магнитного поля в единице объема — Н 2 12. Энергия в объеме dV равна
Для того чтобы получить выражение, в которое вошла бы полная энергия в объеме dV, умножим (22.1) на EdVy а (22.4) на И dV. Будем иметь
Так как div(? Я] = Н roiE-EiolH* то левая часть (22.10) есть -А[ЕH]dV. Следовательно,
Для_сокращения записи обозначим векторное произведение Ё на Н через П, т. е. примем, что П =[? Я]; П— это вектор, называемый вектором Пойнтинга его единица измерения равна произведению единиц измерения Е и Я, т. е. произведению вольт на метр на ампер на метр: вольт- ампер на метр в квадрате (В/мА/м = ВА/м 2 ).
Таким образом, вектор Пойнтинга имеет размерность мощности (или энергии в единицу времени), отнесенной к единице поверхности, и направление его (рис. 22.1) совпадает с направлением движения острия правого винта, если головку последнего вращать по кратчайшему направлению от Ё к Я.
Распространим (22.11) на некоторый объем конечных размеров. С этой целью проинтегрируем (22.11) по объему V:
Подобно тому, как поверхностный интеграл по теореме Стокса преобразовывается в линейный (см. § 21.14): JrotAdS = $AdT, объемный
интеграл в свою очередь может быть преобразован в поверхностный. Это преобразование осуществляют с помощью теоремы Остроградского— Гаусса: 
Качественно поясним это преобразование. Разобьем объем V (рис. 22.2, а) на
отдельные объемы АУ, заменим div Г7 на ?—77
(строго говоря, надо было бы запи- П AS
сать lim У-), где AS— элемент поверхности объема ДИ, а знак Z означает сум-
мирование по всем поверхностям объема АУ. В этом случае
Первый знак суммы означает суммирование по поверхностям малого объема, а второй — по отдельным объемам.
Сумма ? ? П AS может быть разбита на две суммы: сумму произведений П AS по всем поверхностям, отделяющим один объем от соседнего (по «внутренним» поверхностям), и сумму произведений П AS по всем «периферийным» поверхностям. Первая сумма равна нулю, так как для двух смежных объемов внешние нормали к общей поверхности направлены встречно. Рис. 22.2, 6 поясняет это; тп— общая грань двух объемов. Для верхнего объема нормаль к грани направлена вниз (ASj), для нижнего— вверх (AS2); вектор П будучи умноженным на (Д5,+ Д52), даст нуль. Сумма произведений П AS по всем периферийным поверхностям и представляет собой $TldS.
Теорему Умова—Пойнтинга* 0 для мгновенных значений записывают следующим образом.
Левая часть (22.12) представляет собой поток вектора Пойнтинга (направленный внутрь объема) сквозь любую замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый объем V.
_ Поясним смысл знака «минус» в левой части формуй! (22.12). Элемент поверхности dS в любой ее точке направлен в сторону внешней по отношению к рассматриваемому объему нормали. Вектор Пойнтинга направлен внутрь этого объема. Поскольку угол между П и dS больше 90‘, то скалярное произведение П^5 0. Таким образом, за счет знака «минус» левая часть формулы (22.12) — величина положительная.
В соответствии с уравнением Джоуля—Ленца в дифференциальной форме у Е 2 — энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единице объема в единицу времени. Поэтому Jy Е 2 dV есть энергия, выделяющаяся в
виде теплоты в единицу времени в объеме К;
есть скорость изменения запаса электромагнитной энергии в единице объема.
Но скорость изменения электромагнитной энергии есть мощность. Следовательно, поток вектора Пойнтинга сквозь любую замкнутую поверхность, ограничивающую объем У, равен мощности, выделяющейся в объеме V в виде теплоты, и мощности, идущей на приращение энергии электромагнитного поля.
Теорему Умова—Пойнтинга следует трактовать как уравнение энергетического баланса; левая часть формулы (22.12) — это мощность или энергия в единицу времени, доставляемая в виде потока вектора Пойнтинга внутрь некоторого объема; а правая часть — энергия, расходуемая в единицу времени внутри объема.
Соотношение (22.12) было получено в предположении, что среда внутри объема У однородна и изотропна, а также в предположении, что отсутствует отраженная волна и внутри объема нет источников электродвижущей силы, создающих стороннюю напряженность поля Ё^0р.
Если поле не изменяется во времени, то
Обратим внимание также на то, что формула (22.12) учитывает возможность прохождения потока вектора П транзитом через объем V.
Электромагнитная энергия от места ее генерирования передается к месту потребления по диэлектрику (провода в линиях передачи выполняют двоякую роль: они являются каналами, по которым проходит ток, и организаторами структуры поля в диэлектрике).
Покажем справедливость этого утверждения на простейшем примере. Пусть энергия постоянного тока передается по коаксиальному кабелю (рис. 22.3, а). Радиус жилы г,, внутренний радиус оболочки г2. Примем проводимость материала жилы и оболочки настолько большой
(теоретически бесконечной большой), что напряженности поля Е = б/у в жиле и оболочке стремятся к нулю. Пространство между жилой и оболочкой заполнено диэлектриком. Убедимся, что энергия U /, передаваемая приемнику в единицу времени, действительно канализируется по диэлектрику. С этой целью подсчитаем поток вектора Пойнтинга через поперечное сечение диэлектрика, в рассматриваемом примере представляющее собой кольцо с внутренним радиусом г, и наружным г2. Напряженность магнитного поля в диэлектрике по закону полного тока Н -11(2 п г).
Напряженность электрического поля в диэлектрике при постоянном токе определяется так же, как и в условиях электростатики:
где Q — полный заряд жилы на длине /; U — напряжение между жилой и оболочкой. Следовательно, в некоторой точке диэлектрика, расположенной на расстоянии г от оси (г,
Пренебрегая слагаемыми j /?, и L3 — по сравнению с i Ry и , обозначив I Ry-Urt найдем показание вольтметра в схеме рис. 22.4, о: 0у
(о Ф„/^2. В схеме рис. 22.5, б вольтметр покажет нуль. Это можно пояснить двояко.
- 1. Провода, идущие от точек а и 6 витка к вольтметру на рис. 22.4, 6 образуют второй виток, в котором изменяющимся магнитным потоком наводится такая же ЭДС. что и в основном витке (см. рис. 22.4, в). При обходе контура, состоящего из двух витков, убеждаемся, что суммарная ЭДС в контуре равна нулю.
- 2. Такой же вывод сделаем, если учтем, что суммарный поток, пронизывающий заштрихованную площадь контура рис. 22.4, в, равен нулю (поток вне сердечника по условию отсутствует).
Рассмотренный пример свидетельствует о том, что при измерениях в переменном электромагнитном поле показание вольтметра зависит от того, как расположены провода от вольтметра до объекта измерения.
Видео:Билет №38 "Поток энергии"Скачать
Вектор Пойнтинга (вектор Умова — Пойнтинга)
Перенос энергии бегущей упругой и электромагнитной волной определяют при помощи вектора, который называют вектором потока энергии. Этот вектор обозначим как $overline $(встречается обозначение $overline
$) Он показывает количество энергии, протекающее в волне за единицу времени через единицу площади поперечного сечения волны. Для электромагнитных волн данный вектор был введен Пойнтингом в 1884 г. Скорость переноса энергии при помощи вектора Пойнтинга не изменяется и равна характеристической скорости распространения электромагнитной волны в пространстве. Сейчас данный вектор ($overline$) называют вектором Умова — Пойнтинга.
Видео:Вектор Умова-Пойнтинга ● 1Скачать
Определение
Вектором Умова — Пойнтинга ($overline$) называют физическую величину, определяющую поток энергии электромагнитного поля, который равен:
где $overline$ — напряженность электрического поля; $overline$ — напряженность магнитного поля. Направлен $overline$ перпендикулярно $overline$ и $overline$ и совпадает с направлением распространения электромагнитной волны.
Видео:Энергия течёт в пространстве а не в проводе Вектор Умова ПойтингаСкачать
Величина вектора Умова — Пойнтинга
Правая часть формулы (1) представляет собой векторное произведение векторов, значит, величина вектора Умова — Пойнтинга для электромагнитной волны равна:
где $alpha $ — угол между векторами $overline$ и $overline$, но $overlinebot $ $overline$, следовательно, получаем для электромагнитной волны:
Вектор $overline $удовлетворяет в свободном пространстве уравнению непрерывности:
где $w$ — объемная плотность энергии электромагнитного поля.
Видео:3.4 Уравнения баланса мощностей в монохроматическом полеСкачать
Вектор Умова — Пойнтинга плоской электромагнитной волны
В случае плоской электромагнитной волны величина вектора $overline$ равна:
где $u$ $=frac<sqrt<_0mu varepsilon _0>>$- фазовая скорость распространения электромагнитного возмущения в веществе с диэлектрической проницаемостью $varepsilon $ и магнитной проницаемостью $mu .$
где $c$ — скорость света в вакууме.
Мгновенные величины напряженности магнитного и электрического полей в рассматриваемой волне связаны соотношением:
выразим напряженность $H$:
Учитывая формулу (8) величину вектора $overline$ запишем как:
В изотропном веществе объемную плотность энергии электромагнитного поля найдем как:
Учитывая формулы (6) и (10) запишем еще одно выражение для величины вектора $overline$:
На практике переходят от мгновенных величин к их средним значениям. Для плоской электромагнитной волны средняя величина по времени вектора Умова — Пойнтинга равна:
Модуль величины $left|_tright|$ называют интенсивностью ($I$) электромагнитной волны:
Направление вектора Умова — Пойнтинга показывает направление движения энергии в электромагнитном поле. Если изобразить линии, касательные к которым в любой точке совпадут с направлениями вектора $overline$, то такие линии будут являться путями распространения энергии электромагнитного поля. В оптике это лучи.
Видео:Вектор Умова-Пойнтинга ● 2Скачать
Примеры задач с решением
Задание. На рис.1 изображен вектор фазовой скорости плоской электромагнитной волны. В какой плоскости расположены векторы $overline$ и $overline$ полей этой волны?
Решение. Основой решения нашей задачи будем считать определение вектора $overline$:
Вектор $overline$ является результатом векторного произведения векторов$overline$ и $overline$, он направлен в сторону распространения электромагнитной волны, следовательно, $overlineuparrow uparrow overline$, для рис.1 вектор Умова — Пойнтинга направлен по оси Z. Значит, векторы $overlineи overline$ лежат в плоскости XOY.
Ответ. XOY
Задание. Запишите модуль среднего вектора Умова — Пойнтинга электромагнитной волны: $overline=E_0 $Считайте, что волна распространяется в вакууме по оси X.
Решение. Модуль вектора Умова — Пойнтинга для электромагнитной волны:
где $E$ и $H$ — мгновенные значения электрического и магнитного полей. Мгновенное значение вектора Умова — Пойнтинга будет равно:
[S=EH=E_0H_0<^2 left(omega t-kxright)(2.2), >]
где $H_0$ — амплитуда колебаний напряженности магнитного поля.
Средняя величина $_t$ может быть найдена:
принимая во внимание, что $<leftlangle <^2 left(omega t-kxright) >rightrangle >_t=frac$, для вакуума имеем:
Видео:Вектор Умова-Пойнтинга ● 5Скачать
Вектор Умова-Пойнтинга
Вы будете перенаправлены на Автор24
Вектор потока электромагнитной энергии, определяемый как:
называют вектором Умова — Пойнтинга (вектором Пойнтинга). Понятие вектора как потока энергии в разных веществах было введено Н.А. Умовым, а математическое выражение (1) получено Пойнтингом.
В электромагнитной волне векторы $overrightarrow и overrightarrow$ перпендикулярны, следовательно, модуль вектора $overrightarrow
$ имеет выражение:
Направление вектора Умова — Пойнтинга перпендикулярно к векторам $overrightarrowи overrightarrow$, и со направленно с направлением распространения волны ($overrightarrow$).
Для плоской электромагнитной волны выражение для модуля вектора Умова — Пойнтинга имеет вид:
и между мгновенными значениями напряженности магнитного и электрического полей в электромагнитной волне существует соотношение:
Модуль вектора Умова — Пойнтинга можно выразить как:
В диэлектрике объемная плотность электромагнитного поля равна:
Следовательно, сравнивая равенства (6) и (7), имеем:
В уравнения (2) -(8) входят мгновенные значения величин. Векторы в световой волне совершают колебания с частотами около $^Гц$, следовательно, весьма затруднительно следить за изменением величин во времени. Поэтому обращаются к средним значениям, переходя от мгновенных величин. Если электромагнитная волна является плоской, то среднее значение по времени вектора Умова — Пойнтинга равно:
Вектор Умова — Пойнтинга связан с энергией, которую несет электромагнитная волна соотношением:
где $frac$ — энергия, проходящая через площадку $S$ в единицу времени, $P_n=Pcosalpha $ — проекция вектора $overrightarrow
$ на нормаль $overrightarrow$ к площадке $S$. Направление вектора Умова — Пойнтинга дает характеристику движения энергии в электромагнитном поле.
Готовые работы на аналогичную тему
Если представить линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлениями вектора $overrightarrow
$, то такие линии есть пути распространения энергии электромагнитного поля. В оптике подобные линии называют лучами.
Видео:Вектор Умова-Пойнтинга ● 3Скачать
Теорема Пойнтинга
Для теории электромагнитных полей формулировки законов сохранения энергии и импульса имеет весьма важное значение. Теорема Пойнтинга — один из видов формулировок закона сохранения энергии: Скорость возрастания электромагнитной энергии внутри некоторого объема в сумме с энергией, которая вытекает за единицу времени через поверхность, ограничивающую тот же объем, равна полной работе, которую совершает поле над источниками внутри заданного объема, если взять ее со знаком минус.
Поясним данную формулировку. Выделим внутри некоторой среды объем $V$, который ограничивает поверхность $S$ (рис.1). Допустим, что полная энергия, которая заключена внутри объема, равна $W$. Тогда можно записать:
где $P_n$ — нормальная составляющая вектора Умова — Пойнтинга. Интегрирование в (4) производят по всей замкнутой поверхности $S$. Положительным считают направление внешней нормали $overrightarrow$, что означает поток вектора $overrightarrow
$ (выражение, которое стоит в формуле (4) в правой части) считают большим нуля, если линии потока энергии $overrightarrow
$ выводят наружу из объема.
При этом $-frac$- величина, на которую уменьшатся, полная энергия внутри объема $V$ за единицу времени. По закону сохранения энергии она должна быть равна энергии, которая выходит через поверхность $S$ за единицу времени наружу. Следовательно, энергия, покидающая объем $V$ через поверхность $S$, выражена потоком вектора Умова — Пойнтинга.
Задание: Напишите выражение для вектора Умова — Пойнтинга, если энергию переносит волна, уравнение изменения вектора напряженности электрического поля которой задано как: $overrightarrow=10cosleft(omega t-kx+alpha right)overrightarrow(frac).$ Учесть, что амплитуда вектора напряженности магнитного поля имеет вид: $H_moverrightarrow$, частота волны $omega при ней varepsilon =2, mu approx 1 .$
Решение:
За основу решения задачи, примем определение вектора Умова — Пойнтинга:
Из условий видим, что колебания вектора напряженности электрического поля происходят по $оси Z$, колебания вектора напряженности магнитного поля по $оси X$, следовательно, вектор Умова — Пойнтинга колеблется по $оси Y$.
Модуль искомого вектора можно найти как:
Найдем амплитуду вектора $overrightarrow$, если знаем, что амплитудные значения в нашем случае связаны соотношением:
Выразим из (1.3) искомую амплитуду $H_m$, имеем:
При этом уравнение колебаний вектора напряженности запишем в виде:
Используя уравнения (1.1), (1.5) и уравнение колебаний вектора напряжённости электрического поля из условий задачи, запишем выражение для вектора Умова — Пойнтинга:
Ответ: $overrightarrow
=sqrt<frac<varepsilon _0><mu _0>>^2c^2left(omega t-kx+alpha right)overrightarrow.$
Задание: Плоский конденсатор, имеющий круглые обкладки заряжен постоянным током за время $t_0$ до напряжения $U$. Расстояние между пластинами конденсатора равно $d$. Запишите выражение для вектора Умова — Пойнтинга для точек воображаемой цилиндрической поверхности радиуса $r$, которая находится между обкладками конденсатора. Считайте, что радиус пластин конденсатора много больше, чем радиус воображаемого цилиндра.
Решение:
За основу решения задачи, примем определение вектора Умова — Пойнтинга:
Переменное электрическое поле, возникающее в результате разрядки конденсатора, вызывает переменное магнитное поле. Запишем уравнение из системы Максвелла, учитывая, что между обкладками конденсатора токов проводимости нет:
и материальное уравнение:
Возьмем производную от $overrightarrow$ по времени:
Возьмём интеграл от $rotoverrightarrow$ по поверхности цилиндра радиуса $r$, применим теорему Стокса:
Приравняем правые части выражений (2.6), (2.7), согласно тому, что выполняется (2.5):
Найдем модуль вектора Умова — Пойнтинга согласно выражениям (2.1) и (2.8):
Задание: Плоская электромагнитная волна распространяется в вакууме по $оси X$. Чему равна средняя энергия, которая проходит через единицу поверхности в единицу времени?
Решение:
сли мы имеем плоскую электромагнитную волну, то модули напряженности полей $overrightarrow $и $overrightarrow$ в произвольной точке $x$ могут быть выражены как:
где $k=frac$. Следовательно, мгновенное значение вектора $overrightarrow
$ можно записать в виде:
[P=E_0<H_0^2 left(omega t-kxright) >left(1.3right).]
По условию задачи волна распространяется в вакууме, следовательно, $varepsilon =1, mu =1 $, имеем следующее соотношение между амплитудами полей:
Кроме того, известно, что среднее значение $leftlangle ^2alpha rightrangle =frac,$ тогда используем (1.3), (1.4) получаем среднее значение вектора Умова — Пойнтинга ($leftlangle Prightrangle $) равно:
Ответ: Средняя энергия, которая проходит через единицу поверхности за единицу времени (интенсивность волны), равна $leftlangle Prightrangle =sqrt<frac<_0><_0>>frac.$
Задание: Вычислите среднее значение вектора Умова — Пойнтинга в стоячей волне.
Решение:
Колебания электрического и магнитного полей можно представить в стоячей волне с использованием следующих гармонических законов:
где $_E, varphi_H$- запаздывание по фазе отраженной волны соответствующего поля, то есть:
здесь $theta ,vartheta $ — изменение фазы при отражении, они равны или $pi , $или 0. $l-$длина линии (если рассматривается свободная волна, то это расстояние от излучателя до поверхности отражения). Обозначим:
тогда колебания, исходя из (2.1) и (2.2) в точке $x$ можно записать как:
при этом очевидно, что $E_1$ и $H_1$ не зависят от времени. Допустим, что $theta =pi $, тогда:
Исходя из (2.9) и (2.10), для вектора Умова — Пойнтинга получим:
Из формулы (2.11) следует, что колебания модуля вектора $overrightarrow
$ происходят с частотой $2omega $, при этом периодически изменяется знак. Следовательно, среднее значение вектора по времени равно $0$ ($leftlangle Prightrangle =0$).
Ответ: В стоячей волне течения энергии нет, $leftlangle Prightrangle =0$.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 26 02 2022
🎦 Видео
5 Вектор ПойтингаСкачать
Основные физические понятия технической электродинамики, 1978Скачать
2.4 Уравнения баланса мощностей в электромагнитном полеСкачать
Реактивная мощность за 5 минут простыми словами. Четкий #энерголикбезСкачать
Вектор Умова Пойтинга или откуда берётся энергия в электромагнетизмеСкачать
Семинар 12. Уравнения Максвелла. Вектор ПойнтингаСкачать
4.2 Решение волновых уравнений Гельмгольца в виде плоских бегущих волнСкачать
Билет №34 "Электромагнитные волны"Скачать
Определение параметров движения по заданному радиус-вектору. Векторный способ задания движения.Скачать
Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать
Урок 358. Активное сопротивление в цепи переменного тока. Действующее значение тока и напряженияСкачать
Зачем нужны векторные диаграммы?Скачать
