Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Углы, связанные с окружностью
Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиВписанные и центральные углы
Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Углы с вершиной внутри и вне окружности.Скачать

Углы с вершиной внутри и вне окружности.

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Угол с вершиной вне кругаСкачать

Угол с вершиной вне круга

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности
Вписанный уголТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Видео:11 класс, 42 урок, Углы с вершинами внутри и вне кругаСкачать

11 класс, 42 урок, Углы с вершинами внутри и вне круга

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности
Угол, образованный касательной и секущейТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности
Угол, образованный двумя касательными к окружностиТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиТеорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности
Формула: Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности
Формула: Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Углы с вершинами внутри и вне кругаСкачать

Углы с вершинами внутри и вне круга

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

В этом случае справедливы равенства

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

В этом случае справедливы равенства

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теорема с доказательством Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, одна из которых заключена между сто­ронами данного угла, а другая — между сторонами угла,вертикального данному.

Теорема 2. Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, одна из которых заключена между сто­ронами данного угла, а другая — между сторонами угла,вертикального данному.

Доказательство. Пусть вершина М угла АМВ находится внутри круга, его стороны пересекают окружность в точках А и В, a продолжения этих сторон — в точках А1 и В1.

Угол АМВ — внешний угол треугольника AMB1 Поэто­му В соответствии с теоремой 1

Видео:Теорема об измерении угла с вершиной вне круга ДоказательствоСкачать

Теорема об измерении угла с вершиной вне круга Доказательство

Углы в окружности

Рассмотрим углы в окружности и углы, связанные с окружностью.

  • Угол с вершиной в центре окружности.
  • Угол с вершиной на окружности (его стороны пересекают окружность).
  • Угол с вершиной внутри окружности (не в центре).
  • Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность.

I. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Стороны центрального угла разбивают окружность на две части. Дугой, соответствующей данному центральному углу, называется та часть, которая содержится внутри угла.

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиНапример, центральному углу AOC соответствует дуга AC (или дуга AFC. Обычно дугу называют двумя буквами. Но, поскольку любую из двух, на которые точки A и C делят окружность, можно назвать AC, то третью, дополнительную букву, иногда используют для уточнения выбранной дуги).

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла:

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиII. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Стороны вписанного угла также разбивают окружность на две дуги. Говорят, что вписанный угол опирается на лугу, которая лежит внутри него.

Например, вписанный угол ABC опирается на дугу AC (или дугу AFC).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Есть другой вариант формулировки свойства вписанного угла.

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиВписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла:

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружностиВписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

И наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Другая формулировка этого утверждения:

(обратно: Если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр).

III. Угол, вершина которого лежит в окружности — это угол между пересекающимися хордами.

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

Теорема об измерении углов с вершиной вне и внутри окружности

IV. Угол с вершиной вне окружности, обе стороны которого пересекают окружность — это угол между секущими, которые пересекаются вне окружности.

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

💥 Видео

Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

Теорема об измерении угла с вершиной внутри круга ДоказательствоСкачать

Теорема об измерении угла с вершиной внутри круга Доказательство

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

❓ Угол между двумя секущими (внутри окружности)Скачать

❓ Угол между двумя секущими (внутри окружности)

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

Угол между касательной и хордойСкачать

Угол между касательной и хордой

Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Урок 22. Геометрия 11 классСкачать

Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Урок 22. Геометрия 11 класс

Угол между секущимиСкачать

Угол между секущими

❓ Угол между секущими (вне окружности)Скачать

❓ Угол между секущими (вне окружности)

Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности
Поделиться или сохранить к себе: