Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Углы, связанные с окружностью
Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомВписанные и центральные углы
Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Геометрия. Теорема о вписанном углеСкачать

Геометрия. Теорема о вписанном угле

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголТеорема о вписанном в окружность угле с доказательством
Вписанный уголТеорема о вписанном в окружность угле с доказательствомВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголТеорема о вписанном в окружность угле с доказательствомВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголТеорема о вписанном в окружность угле с доказательствомДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголТеорема о вписанном в окружность угле с доказательствомВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаТеорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиТеорема о вписанном в окружность угле с доказательствомТеорема о вписанном в окружность угле с доказательством
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаТеорема о вписанном в окружность угле с доказательствомТеорема о вписанном в окружность угле с доказательством
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияТеорема о вписанном в окружность угле с доказательствомТеорема о вписанном в окружность угле с доказательством
Угол, образованный касательной и секущейТеорема о вписанном в окружность угле с доказательствомТеорема о вписанном в окружность угле с доказательством
Угол, образованный двумя касательными к окружностиТеорема о вписанном в окружность угле с доказательствомТеорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством
Формула: Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством
Формула: Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:73. Теорема о вписанном углеСкачать

73. Теорема о вписанном угле

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

В этом случае справедливы равенства

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

В этом случае справедливы равенства

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:70 Теорема о вписанном углеСкачать

70 Теорема о вписанном угле

Вписанный угол окружности

Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами.

Видео:Теорема о вписанном угле | Геометрия 7-9 класс #71 | ИнфоурокСкачать

Теорема о вписанном угле | Геометрия 7-9 класс #71 | Инфоурок

Теорема о вписанном угле

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

∠ABC =1Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомAC.
2

При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.

Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то:

а так как углы A и B равны, то

∠B =1∠AOC.
2

Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомAC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:

∠ABC = ∠B =1Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомAC.
2

Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: 1 и 2.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Точка D разделяет дугу AC на две дуги: Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомAD и Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомDC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:

1 =1Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомAD и 2 =1Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомDC.
22

Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:

1 + 2 =1Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомAD +1Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомDC
22
∠ABC =1Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомAC.
2

Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Проведём диаметр BD.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Но ∠ABD измеряется половиной дуги AD , а ∠CBD измеряется половиной дуги CD. Следовательно,

∠ABC =1(Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомADТеорема о вписанном в окружность угле с доказательствомCD),
2
∠ABC =1Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомAC.
2

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Следствия из теоремы

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.

Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Чему равен вписанный угол

Выясним, чему равен вписанный угол окружности и как его величина связана с величиной центрального угла.

(О вписанном угле)

Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомДано : окружность (O; R),

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

1) Рассмотрим частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомВ треугольнике AOB OA=OB (как радиусы). Значит, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB. Следовательно, у него углы при основании равны:∠ABO=∠BAO.

∠AOC — внешний угол треугольника AOB. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

2) Если центр окружности лежит между сторонами угла.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомПроведем из вершины вписанного угла ABC диаметр BF.

Аналогично, ∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

∠FOC — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

3) Если центр окружности лежит вне угла.

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательствомПроведем диаметр BF.

∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

∠СOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Что и требовалось доказать.

Дугу окружности можно измерять в градусах. Если центральный угол AOC меньше либо равен 180º, то градусная мера дуги AC равна градусной мере центрального угла AOC:

Теорема о вписанном в окружность угле с доказательством

Если центральный угол AOC больше 180º, то градусная мера дуги AC равна 360º-∠AOC.

Таким образом, сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º.

Другая формулировка теоремы о вписанном угле:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

🎬 Видео

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Теорема о вписанном углеСкачать

Теорема о вписанном угле

Теорема о вписанном углеСкачать

Теорема о вписанном угле

Теорема о вписанном углеСкачать

Теорема о вписанном угле

Теорема о вписанном углеСкачать

Теорема о вписанном угле

Теорема о вписанных и центральных углахСкачать

Теорема о вписанных и центральных углах

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Вписанный угол равен половине центрального углаСкачать

Вписанный угол равен половине центрального угла

Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян
Поделиться или сохранить к себе: