Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных к окружности, проведённых из одной точки (доказательство).

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Ваш ответ

Видео:Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

решение вопроса

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,280
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,971
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Теорема о свойстве касательнойСкачать

Теорема о свойстве касательной

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

  • Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

§3. Свойства касательных, хорд, секущих. Вписанные и описанные четырёхугольники

Теорема о свойстве двух касательных и окружности
Рис. 17

Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам (рис. 17).

Используя это свойство, легко решить следующую задачу.

На основании $$ AC$$ равнобедренного треугольника $$ ABC$$ расположена точка $$ D$$ так, что $$ AD=a,CD=b$$. Окружности, вписанные в треугольники $$ ABD$$ и $$ DBC$$, касаются прямой $$ BD$$ в точках $$ M$$ и $$ N$$ соответственно. Найти отрезок $$ MN$$.

Теорема о свойстве двух касательных и окружностиТеорема о свойстве двух касательных и окружности
Рис. 18Рис. 18a

$$ DE=y$$, $$ QD=x+y$$, $$ AQ=AP=a-(x+y)$$, $$ EC=CF=b-y$$, $$ PB=BM=z, BF=BN=z+x$$ (рис. 18а). Выразим боковые стороны:

$$ AB=z+a-x-y$$, $$ BC=z+x+b-y$$. По условию $$ AB=BC$$; получим

Четырёхугольник называется описанным около окружности, если окружность касается всех его сторон.

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противолежащих сторон равны.

Теорема о свойстве двух касательных и окружности
Рис. 19

Пусть четырёхугольник $$ ABCD$$ описан около окружности (рис. 19).

По свойству касательных: $$ AM=AN$$, $$ NB=BP$$, $$ PC=CQ$$ и $$ QD=DM$$, поэтому

$$ AM+MD+BP+PC=AN+NB+CQ+QD$$, что означает

Докажем обратное утверждение. Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ ABCD$$ стороны удовлетворяют условию $$ AB+CD=BC+AD.$$ Положим $$ AD=a, AB=b, BC=c, CD=d.$$

По условию $$ a+c=b+d,$$ что равносильно $$ c-b=d-a.$$

Пусть $$ d>a.$$ Отложим на большей стороне $$ CD$$ меньшую сторону `DM=a` (рис. 20). Так как в этом случае $$ c>b$$, то также отложим $$ BN=b$$, получим три равнобедренных треугольника `ABN`, `ADM` и `MCN`.

Теорема о свойстве двух касательных и окружности
Рис. 20

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, отсюда следует, что если провести биссектрисы углов `B`, `C` и `D`, то они разделят пополам соответственно отрезки `AN`, `MN` и `AM` и будут им перпендикулярны. Это означает, что биссектрисы будут серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника $$ ANM$$, а они по теореме пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку $$ O$$. Эта точка одинаково удалена от отрезков `AB` и `BC` (лежит на $$ OB$$), `BC` и `CD` (лежит на $$ OC$$) и `CD` и `AD` (лежит на $$ OD$$), следовательно, точка $$ O$$ одинакова удалена от всех четырёх сторон четырёхугольника $$ ABCD$$ и является центром вписанной окружности. Случай $$ d=a$$, как более простой, рассмотрите самостоятельно.

Равнобокая трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если длины оснований равны $$ a$$ и $$ b$$.

Теорема о свойстве двух касательных и окружности
Рис. 21

Пусть в равнобокой трапеции $$ ABCD$$ `BC=b`, `AD=a` (рис. 21). Эта трапеция равнобокая $$ (AB=CD)$$, она описана около окружности, следовательно, $$ AB+CD=AD+BC$$ Отсюда получаем:

Проведём $$ BM$$ и $$ CN$$ перпендикулярно $$ AD$$. Трапеция равнобокая, углы при основании равны, следовательно, равны и треугольники $$ ABM$$ и $$ DCN$$ и $$ AM=ND$$. По построению $$ MBCN$$ — прямоугольник, $$ MN=BC=b$$ поэтому $$ AM=<displaystyle frac>(AD-BC)-<displaystyle frac>(a-b)$$. Из прямоугольного треугольника $$ ABM$$ находим высоту трапеции $$ ABCD$$:

Очевидно, что высота трапеции равна диаметру окружности, поэтому

радиус вписанной окружности равен $$ overline<)r=<displaystyle frac>sqrt>$$.

Очень полезная задача. Заметим, что из решения также следует, что в равнобокой описанной трапеции $$ overline<)mathrmalpha =<displaystyle frac>>$$.

Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами (рис. 22).

Теорема о свойстве двух касательных и окружности
Рис. 22

Рассматриваем угол $$ NAB$$ между касательной $$ NA$$ и хордой $$ AB$$. Если $$ O$$ — центр окружности, то $$ OAperp AN$$, `/_OAB=/_OBA=90^@alpha`. Сумма углов треугольника равна `180^@`, следовательно, $$ angle AOB=2alpha $$. Итак, $$ alpha =angle NAB=<displaystyle frac>angle AOB.$$

Обратим внимание, что угол $$ NAB$$ равен любому вписанному углу $$ AKB$$, опирающемуся на ту же дугу $$ AB$$.

Случай `/_alpha>=90^@` рассматривается аналогично.

Из этого свойства следует важная теорема «о касательной и секущей», которая часто используется при решении задач.

Пусть к окружности проведены из одной точки касательная $$ MA$$ и секущая $$ MB$$, пересекающая окружность в точке $$ C$$ (рис. 23). Тогда справедливо равенство

т. е. если из точки `M` к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки `M` до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки `M` до точек её пересечения с окружностью.

Угол $$ MAC$$ образован хордой и касательной, $$ angle MAC=angle ABC$$. Так как в треугольниках $$ MAC$$ и $$ MBA$$ угол $$ M$$ общий, то по двум углам они подобны. Из подобия следует:

Теорема о свойстве двух касательных и окружности
Рис. 23

Если из точки $$ M$$ к окружности проведены две секущие: $$ MB$$, пересекающая окружность в точке $$ C$$ и $$ MK$$, пересекающая окружность в точке $$ L$$ (рис. 23), то справедливо равенство $$ MB·MC=MK·ML$$.

Теорема о свойстве двух касательных и окружности
Рис. 24

Окружность проходит через вершины $$ C u D$$ трапеции $$ ABCD,$$ касается боковой стороны $$ AB$$ в точке $$ B$$ и пересекает большее основание $$ AD$$ в точке $$ K$$ (рис. 24). Известно, что $$ AB=5sqrt$$, $$ BC=5$$ и $$ KD=10$$.

Найти радиус окружности.

1. Пусть $$ AK=x$$ тогда $$ AD=10+x$$ю

По теореме о касательной и секущей:

$$ A^=AK·KD$$ т. е. $$ 75=x(x+10)$$, откуда $$ x=5$$. Итак $$ AD=15$$.

2. Заметим теперь, что угол $$ ABD$$ между касательной $$ AB$$ и хордой $$ BD$$ равен вписанному углу $$ BCD$$, а из параллельности прямых $$ AD$$ и $$ BC$$ следует равенство углов `1` и `2`. По первому признаку подобия $$ △ABDsim △DCB$$. Из подобия имеем $$ <displaystyle frac>=<displaystyle frac><displaystyle frac>$$. Из последнего равенства находим, что $$ B^=AD·BC$$, т. е. $$ BD=sqrt=5sqrt$$, а из первого равенства находим $$ CD=<displaystyle frac>=5$$.

3. Так как $$ KB=CD$$ ($$ KBCD$$ — вписанная трапеция, она равнобокая), и $$ K^+B^=K^,$$ то `/_ KBD=90^@` и $$ KD$$ — диаметр окружности.

Значит, её радиус равен `5`.

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна `180^@`.

Из этой теоремы следует:

a) из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

б) около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобокая.

Теорема о свойстве двух касательных и окружности
Рис. 25

В треугольнике $$ ABC$$ биссектрисы $$ AD$$ и $$ BF$$ пересекаются в точке $$ O$$ (рис. 25). Известно, что точки $$ F, O, D$$, и `C` лежат на одной окружности и что $$ DF=sqrt.$$ Найти площадь треугольника $$ ODF$$.

Четырёхугольник $$ DOFC$$ вписан в окружность, по теореме 9:

$$ angle DOF=pi -angle C$$, т. е. $$ pi -<displaystyle frac>(angle A+angle B)=pi -angle C$$, откуда, учитывая, что $$ angle A+angle B+angle C=pi $$, находим $$ angle С=<displaystyle frac>$$.

Теперь заметим, что $$ O$$ — точка точка пересечения биссектрис, $$ CO$$ — биссектриса угла $$ C,$$ следовательно, углы $$ OCD$$ и $$ OCF$$ равны друг другу. Это вписанные углы, поэтому вписанные углы $$ ODF$$ и $$ OFD$$ равны им и равны друг другу. Таким образом,

Треугольник $$ DOF$$ равнобедренный с основанием $$ DF=sqrt$$ и углом при основании `30^@`. Находим его высоту, опущенную из вершины $$ O$$ и площадь треугольника $$ ODF: S=<displaystyle frac>h·DF=<displaystyle frac<sqrt>>$$.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Теорема о свойстве двух касательных и окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Теорема о свойстве двух касательных и окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Теорема о свойстве двух касательных и окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема о свойстве двух касательных и окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема о свойстве двух касательных и окружностиТеорема о бабочке

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьТеорема о свойстве двух касательных и окружности
КругТеорема о свойстве двух касательных и окружности
РадиусТеорема о свойстве двух касательных и окружности
ХордаТеорема о свойстве двух касательных и окружности
ДиаметрТеорема о свойстве двух касательных и окружности
КасательнаяТеорема о свойстве двух касательных и окружности
СекущаяТеорема о свойстве двух касательных и окружности
Окружность
Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругТеорема о свойстве двух касательных и окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусТеорема о свойстве двух касательных и окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаТеорема о свойстве двух касательных и окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрТеорема о свойстве двух касательных и окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяТеорема о свойстве двух касательных и окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяТеорема о свойстве двух касательных и окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Касательные к окружностиСкачать

Касательные к окружности

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеТеорема о свойстве двух касательных и окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыТеорема о свойстве двух касательных и окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныТеорема о свойстве двух касательных и окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиТеорема о свойстве двух касательных и окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыТеорема о свойстве двух касательных и окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыТеорема о свойстве двух касательных и окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыТеорема о свойстве двух касательных и окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиТеорема о свойстве двух касательных и окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныТеорема о свойстве двух касательных и окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиТеорема о свойстве двух касательных и окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыТеорема о свойстве двух касательных и окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыТеорема о свойстве двух касательных и окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиТеорема о свойстве двух касательных и окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиТеорема о свойстве двух касательных и окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаТеорема о свойстве двух касательных и окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Пересекающиеся хорды
Теорема о свойстве двух касательных и окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Теорема о свойстве двух касательных и окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Теорема о свойстве двух касательных и окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Теорема о свойстве двух касательных и окружности
Пересекающиеся хорды
Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Тогда справедливо равенство

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Свойства касательныхСкачать

Свойства касательных

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Теорема о свойстве двух касательных и окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

🎬 Видео

Касательная к окружности и её свойстваСкачать

Касательная к окружности и её свойства

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать

Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность |  Геометрия

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Касательные к окружности пересекаются в точке. Теорема и решение задач. Геометрия 7-8 классСкачать

Касательные к окружности пересекаются в точке. Теорема и решение задач. Геометрия 7-8 класс

Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

Теорема о двух секущих. 9 класс.Скачать

Теорема о двух секущих. 9 класс.

Вариант 77, № 7. Свойство касательной. Теорема о касательных, проведенных из одной точки. Задача 1Скачать

Вариант 77, № 7. Свойство касательной. Теорема о касательных, проведенных из одной точки. Задача 1
Поделиться или сохранить к себе: