Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Окружность, описанная около треугольника

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА. Видеоурок | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА. Видеоурок | ГЕОМЕТРИЯ 7 класс

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Теорема о существовании окружности описанной около треугольникаСерединный перпендикуляр к отрезку
Теорема о существовании окружности описанной около треугольникаОкружность описанная около треугольника
Теорема о существовании окружности описанной около треугольникаСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Теорема о существовании окружности описанной около треугольникаДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Видео:8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Теорема о существовании окружности описанной около треугольникаВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаТеорема о существовании окружности описанной около треугольникаОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиТеорема о существовании окружности описанной около треугольникаЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиТеорема о существовании окружности описанной около треугольникаЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовТеорема о существовании окружности описанной около треугольника
Площадь треугольникаТеорема о существовании окружности описанной около треугольника
Радиус описанной окружностиТеорема о существовании окружности описанной около треугольника
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаТеорема о существовании окружности описанной около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиТеорема о существовании окружности описанной около треугольника

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиТеорема о существовании окружности описанной около треугольника

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиТеорема о существовании окружности описанной около треугольника

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовТеорема о существовании окружности описанной около треугольника

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаТеорема о существовании окружности описанной около треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиТеорема о существовании окружности описанной около треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Вписанная и описанная окружности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Теорема о существовании окружности описанной около треугольника

В данном уроке мы вспомним основы, на которых базируется теория вписанных и описанных окружностей, вспомним признаки четырехугольников описанных и вписанных. Кроме того, выведем формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружности в различных случаях.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

📸 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Радиус описанной около треугольника окружностиСкачать

Радиус описанной около треугольника окружности

Задание 26 Нахождение радиуса окружности описанной около треугольникаСкачать

Задание 26 Нахождение радиуса окружности описанной около треугольника

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

Описанная окружностьСкачать

Описанная окружность

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)Скачать

Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts
Поделиться или сохранить к себе: