Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИЛИНДР.

§ 71. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ХОРДАМИ И ДУГАМИ.

Докажем ряд теорем, устанавливающих зависимость между хордами и их дугами в одной и той же окружности или в равных окружностях.

При этом будем иметь в виду дуги, меньшие полуокружности.

Теорема 1. Равные дуги стя гиваются равными хордами.

Пусть дуга АВ равна дуге СК. Требуется доказать, что и хорда АВ равна хорде СК (черт. 314).

Теорема о равных хордах одной окружности

Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны, так как имеют по две соответственно равные стороны (радиусы одной окружности) и по равному углу, заключённому между этими сторонами (эти углы равны, как центральные, соответствующие равным дугам). Следовательно, АВ = СК.

Теорема 2 (обратная). Равные хорды стягивают равные дуги.

Пусть хорда АВ равна хорде СК. Требуется доказать, что дуга АВ равна дуге СК (черт. 314).

Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности— точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны по трём соответственно равным сторонам. Следовательно, равны углы АОВ и СОК; но углы эти центральные, соответствующие дугам АВ и СК; из равенства этих углов следует равенство дуг: Теорема о равных хордах одной окружностиАВ = Теорема о равных хордах одной окружностиСК.

Теорема 3. Большая дуга стягивается и большей хордой.

Пусть дуга АВ больше дуги СК (черт. 315).

Теорема о равных хордах одной окружности

Требуется доказать, что хорда АВ больше хорды СК.

Доказательство. Передвинем по окружности дугу СК так, чтобы точка К совместилась с точкой А, тогда точка С займёт положение С’ на дуге АВ между точками A и В, дуга СК примет положение дуги АС’, а хорда СК примет положение хорды АС’. Проведём радиусы в точки A, В и С’. Опустим из центра О перпендикуляры ОЕ и ОD на хорды АВ и АС’. В треугольнике ОFE отрезок ОЕ — катет , а отрезок ОF — гипотенуза, поэтому OF > ОЕ, а потому и OD > OE.

Рассмотрим теперь треугольники ОАD и ОАЕ. В этих треугольниках гипотенуза ОА общая, а катет ОЕ меньше катета ОD, тогда по следствию из теоремы Пифагора (§ 58) катет АЕ больше катета АD. Но эти катеты составляют половины хорд АВ и АС’, значит, и хорда АВ больше хорды АС’. Вследствие равенства хорд АС’ и СК получаем
АВ > СК.

Теорема 4 (обратная). Большая хорда стягивает и большую дугу.

Пусть хорда А В больше хорды СК.

Требуется доказать, что дуга АВ больше дуги СК (черт. 315). Между дугами АВ и СК может существовать только одно из трёх следующих соотношений:

Теорема о равных хордах одной окружностиАВ Теорема о равных хордах одной окружностиСК.

Но дуга AВ не может быть меньше дуги СК, так как тогда по прямой теореме хорда АВ была бы меньше хорды СК, а это противоречит условию теоремы.

Дуга АВ не может быть равна дуге СК, так как тогда хорда АВ равнялась бы хорде СК, а это тоже противоречит условию. Следовательно, Теорема о равных хордах одной окружностиАВ > Теорема о равных хордах одной окружностиСК.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Теорема о равных хордах одной окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Теорема о равных хордах одной окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Теорема о равных хордах одной окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема о равных хордах одной окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема о равных хордах одной окружностиТеорема о бабочке

Теорема о равных хордах одной окружности

Видео:Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьТеорема о равных хордах одной окружности
КругТеорема о равных хордах одной окружности
РадиусТеорема о равных хордах одной окружности
ХордаТеорема о равных хордах одной окружности
ДиаметрТеорема о равных хордах одной окружности
КасательнаяТеорема о равных хордах одной окружности
СекущаяТеорема о равных хордах одной окружности
Окружность
Теорема о равных хордах одной окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругТеорема о равных хордах одной окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусТеорема о равных хордах одной окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаТеорема о равных хордах одной окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрТеорема о равных хордах одной окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяТеорема о равных хордах одной окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяТеорема о равных хордах одной окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеТеорема о равных хордах одной окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыТеорема о равных хордах одной окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныТеорема о равных хордах одной окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиТеорема о равных хордах одной окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыТеорема о равных хордах одной окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Теорема о равных хордах одной окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыТеорема о равных хордах одной окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыТеорема о равных хордах одной окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиТеорема о равных хордах одной окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныТеорема о равных хордах одной окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиТеорема о равных хордах одной окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыТеорема о равных хордах одной окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Теорема о равных хордах одной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыТеорема о равных хордах одной окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиТеорема о равных хордах одной окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиТеорема о равных хордах одной окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаТеорема о равных хордах одной окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Теорема о равных хордах одной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Пересекающиеся хорды
Теорема о равных хордах одной окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Теорема о равных хордах одной окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Теорема о равных хордах одной окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Теорема о равных хордах одной окружности
Пересекающиеся хорды
Теорема о равных хордах одной окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Теорема о равных хордах одной окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Видео:Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Тогда справедливо равенство

Теорема о равных хордах одной окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Теорема о равных хордах одной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Теорема о равных хордах одной окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Теорема о равных хордах одной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Теорема о равных хордах одной окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Теорема о равных хордах одной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Теорема о равных хордах одной окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Теорема о равных хордах одной окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Равные хорды

Выясним, какими свойствами обладают равные хорды и равные дуги.

Равные хорды равноудалены от центра окружности.

Теорема о равных хордах одной окружностиДано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Теорема о равных хордах одной окружностиСоединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.

II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.

2) ∠A=∠C (по доказанному).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.

Что и требовалось доказать .

Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

Теорема о равных хордах одной окружностиДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.

1)OF=OK (по условию)

2)OD=OB (как радиусы).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.

По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.

Что и требовалось доказать.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Теорема о равных хордах одной окружности

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,

Теорема о равных хордах одной окружностиСоединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.

Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD

Что и требовалось доказать .

Хорды, стягивающие равны дуги, равны.

Теорема о равных хордах одной окружностиДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.

Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

🎬 Видео

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

9 класс. Геометрия. Теорема о пропорциональности отрезков хорд и в секущих окружности. 22.05.2020.Скачать

9 класс. Геометрия. Теорема о пропорциональности отрезков хорд и в секущих окружности. 22.05.2020.

ТЕСТ НА ЭРУДИЦИЮ и кругозор: МНОГО УМНЫХ ВОПРОСОВ, ответы знает не каждый. #насколькотыумный #тестСкачать

ТЕСТ НА ЭРУДИЦИЮ и кругозор: МНОГО УМНЫХ ВОПРОСОВ, ответы знает не каждый. #насколькотыумный #тест

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Окружность и подобные треугольники.Теоремы о секущих, касательных,хордах. Геометрические конструкцииСкачать

Окружность и подобные треугольники.Теоремы о секущих, касательных,хордах. Геометрические конструкции

Свойства хорд окружностиСкачать

Свойства хорд окружности

Окружность..Угол между произвольными хордами.Скачать

Окружность..Угол между произвольными хордами.
Поделиться или сохранить к себе: