Вычислить третью сторону равнобедренного треугольника

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Как посчитать стороны равнобедренного треугольника

Видео:Найдите третью сторону треугольникаСкачать

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• длину основания (b) и угол α
• длину основания (b) и угол β
• длину основания (b) и высоту (h)

• длину двух равных сторон (a) и угол α
• длину двух равных сторон (a) и угол β
• длину двух равных сторон (a) и высоту (h)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Как посчитать сторону a равнобедренного треугольника

Если известна сторона b и угол α

Чему равна сторона a равнобедренного треугольника если длина основания , а угол

Чему равна сторона a у равнобедренного треугольника если известны длина основания (сторона b) и угол α?

Формула

Пример

Если сторона b = 10 см, а ∠α = 30°, то:

Если известна сторона b и угол β

Чему равна сторона a равнобедренного треугольника если длина основания , а угол

Чему равна сторона a у равнобедренного треугольника если известны длина основания (сторона b) и угол β?

Формула

Пример

Если сторона b = 10 см, а ∠β = 30°, то:

a = 10 /_{2⋅sin 15} = 10/(2⋅0.2588) = 19.31см

Если известна сторона b и высота h

Чему равна сторона a равнобедренного треугольника если длина основания , а высота

Чему равна сторона a у равнобедренного треугольника если известны длина основания (сторона b) и высота h?

Формула

Пример

Если сторона b = 10 см, а высота h = 20 см, то:

a = √ 1 /_{10 2} + 20 2 = √ 0.01+400 = 20.61см

Как посчитать сторону b (основание) равнобедренного треугольника

Если известна сторона a и угол α

Чему равна сторона b равнобедренного треугольника если длина стороны , а угол

Чему равна сторона b у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол α?

Формула

Пример

Если сторона a = 10 см, а ∠α = 30°, то:

b = 2⋅10⋅cos 30° = 2⋅10⋅0.8660 = 17.32см

Если известна сторона a и угол β

Чему равна сторона b равнобедренного треугольника если длина стороны , а угол

Чему равна сторона b у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол β?

Формула

Пример

Если сторона a = 10 см, а ∠β = 40°, то:

Если известна сторона a и высота h

Чему равна сторона b равнобедренного треугольника если длина стороны , а высота

Чему равна сторона b у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и высота h?

Формула

b = 2⋅ √ a 2 — h 2 , h

Пример

Если сторона a = 10 см, а высота h = 5 см, то:

Видео:№250. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 смСкачать

Все формулы для треугольника

Видео:Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

Видео:Нахождение сторон равнобедренного треугольникаСкачать

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Видео:Сможешь найти основание? Задача про медиану равнобедренного треугольникаСкачать

Равнобедренный треугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти неизвестные элементы (стороны, углы) а также периметр, площадь, высоты равнобедренного треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Видео:№107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметрСкачать

Определение равнобедренного треугольника

Определение 1 (Евклид). Треугольник, в котором длины двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.

Равные стороны равнобедренного трекугольника называются боковыми сторонами. Третья сторона равнобедренного треугольника называется основанием треугольника (Рис.1).

Угол между боковыми сторонами равнобедненного треугольника (( small angle A ) ) называется вершинным углом. Углы между основанием и боковыми сторонами (( small angle B, angle C ) ) называются углами при основании.

Существует более общее определение равнобедненого треугольника:

Определение 2 (Современная трактовка). Треугольник, в котором длины хотя бы двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.

Из определения 2 следует, что равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Действительно, в качестве равных сторон можно взять любые две стороны равностороннего треугольника, а третья сторона будет основанием.

Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать

Теорема о равнобедренном треугольнике

Теорема 1. Углы, прилежащие к основанию равнобедренного треугольника равны.

Доказательство (доказательство Прокла). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.2). Докажем, что ( small angle B= angle C. ) Возьмем любую точку D на стороне AC и точку E на стороне AB так, чтобы AD=AE. Проведем отрезки DE, CE, BD. Треугольники ABD и ACE равны по двум сторонам и углу между ними: AE=AD, AC=AB, угол ( small angle A ) общий (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников). Отсюда следует:

Из ( small AB=AC) и ( small AD=AE ) следует:

Рассмотрим треугольники CBE и BCD. Они равны по трем сторонам: ( small CE=BD,) ( small CD=BE ,) сторона ( small BC ) общая. Отсюда следует, что

Из (2) и (4) следует, что ( small angle B= angle C. )

Доказательство (Вариант 2). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.3). Проведем биссектрису ( small AH ) треугольника. Тогда ( small angle CAH=angle BAH. ) Докажем, что ( small angle B= angle C. ) Треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=AB, сторона ( small AH ) общая, ( small angle CAH=angle BAH. ) Отсюда следует: ( small angle B= angle C. )

Видео:Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса проведенная к основанию является медианой и высотой.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC, а AH− биссектриса треугольника (Рис.3). Треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=AB, сторона ( small AH ) общая, ( small angle 1=angle 2. ) Тогда ( small CH=HB, ) ( small angle 3=angle 4. ) Равенство ( small CH=HB ) означает, что ( small AH ) является также медианой треугольника ABC. Углы ( small angle 3) и ( angle 4 ) смежные. Следовательно их сумма равна 180° и, поскольку эти углы равны, то каждый из этих углов равен 90°. Тогда ( small AH ) является также высотой треугольника ( small ABC. ) Поскольку высота ( small AH ) перпендикулярна к ( small BC ) и ( small CH=HB, ) то ( small AH ) является также серединным перпендикуляром к основанию равнобедренного треугольника.

Мы доказали, что биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр равнобедренного треугольника, проведенные к основанию совпадают.

Исходя из теоремы 2 можно сформулировать следующие теоремы, доказательство которых аналогично доказательству теоремы 2:

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана проведенная к основанию является биссектрисой и высотой.

Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является биссектрисой и медианой.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Признаки равнобедренного треугольника

Признак 1. Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник является равнобедренным.

Признак 1 следует из определения 1.

Признак 2. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство признака 2 смотрите в статье Соотношения между сторонами и углами треугольника (Следствие 2. Признак равнобедренного треугольника).

Признак 3. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство. Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является высотой и медианой (Рис.4). Тогда ( small angle 3=angle4=90°, ) ( small CH=HB. ) Треугольники ( small AHC ) и ( small AHB ) равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников): ( small AH ) − общая сторона, ( small CH=HB, ) ( small angle 3=angle4. ) Следовательно ( small AB=AC. )

Признак 4. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с биссектрисой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство. Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является высотой и биссектрисой (Рис.4). Тогда ( small angle 3=angle4=90°, ) ( small angle 1=angle2. ) Треугольники ( small AHC ) и ( small AHB ) равны по стороне и прилежащим двум углам (второй признак равенства треугольников): ( small AH ) − общая сторона, ( small angle 1=angle 2, ) ( small angle 3=angle4. ) Следовательно ( small AB=AC. )

Признак 5. Если в треугольнике биссектриса проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство (Вариант 1). Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является биссектрисой и медианой (Рис.5). Тогда

Применим теорему синусов для треугольника ( small AHC ):

Применим теорему синусов для треугольника ( small AHB ):

тогда, из (5), (6), (7) получим:

Следовательно ( small sin angle C= sin angle B. ) Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то нам интересует синус углов от 0 до 180°. Учитывая это получим, что синусы углов равны в двух случаях: 1) ( small angle C= angle B, ) 2) ( small angle C= 180° — angle B. ) Поскольку сумма двух углов треугольника меньше 180°: ( small angle C + angle B Доказательство (Вариант 2). Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является биссектрисой и медианой, т.е. ( small angle 1=angle 2, ) ( small CH=HB ) (Рис.6). На луче ( small AH ) отложим отрезок ( small HD ) так, чтобы ( small AH=HD. ) Соединим точки ( small C ) и ( small D. )

Треугольники ( small AHB ) и ( small DHC ) равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Действительно: ( small AH=HD, ) ( small CH=HB, ) ( small angle 4=angle 5 ) (углы 4 и 5 вертикальные). Тогда ( small AB=CD, ) ( small angle 6=angle 2. ) Отсюда ( small angle 6=angle 1. ) Получили, что треугольник ( small CAD ) равнобедренный (признак 2). Тогда ( small AC=CD. ) Но ( small AB=CD ) и, следовательно ( small AB=AC. ) Получили, что треугольник ( small ABC ) равнобедренный.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

1. Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и боковой стороне

Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и боковой стороне другого равнобедненного треугольника, то эти треугольники равны.

Действительно. Поскольку треугольник равнобедренный, то боковые стороны равны. То есть три стороны одного равнобедренного треугольника соответственно равны трем сторонам другого равнобедненного треугольника. А по третьему признаку равенства треугольников, эти треугольники равны.

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

2. Признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при вершине

Если боковая сторона и угол при вершине одного равнобедренного треугольники соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Действительно. Так как боковые стороны равнобедненного треугольника равны, то имеем: две стороны и угол между ними одного треугольника соотвественно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Тогда по первому признаку равенства треугольников, эти реугольники равны.

Видео:Найдите площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 12 см, а боковая сторона 10.Скачать

3. Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и углу при основании

Если основание и угол при основании равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. тогда имеем: основание и две углы одного равнобедненного треугольника равны основанию и двум углам другого равнобедненного треугольника. Тогда эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.

Видео:Нахождение стороны равнобедренного треугольникаСкачать

Задачи и решения

Задача 1. Известны основание ( small a=5 ) и высота ( small h=6 ) равнобедренного треугольника. Найти углы, боковые стороны, периметр, площадь.

Решение. Найдем боковые стороны ( small b ) и ( small c ) равнобедренного треугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора:

(9)

Подставляя значения ( small a ) и ( small h ) в (9), получим:

Боковая сторона ( small c ) равнобедренного треугольника равна:

Найдем периметр треугольника. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

(10)

Подставляя значения ( small a=5, ) ( small b=6.5 ) и ( small c=6.5 ) в (10), получим:

Найдем угол ( small B ) равнобедренного треугольника:

(11)

Подставляя значения ( small a=5, ) ( small h=6 ) в (11), получим:

Тогда угол ( small C ) равнобедренного треугольника равен:

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то имеем:

,

Площадь треугольника можно вычислить из формулы:

(12)

Подставляя значения ( small a=5, ) ( small h=6 ) в (12), получим:

🌟 Видео

Задача найти сторону равностороннего треугольника по медианеСкачать

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

Периметр равнобедренного треугольникаСкачать

Равнобедренный треугольникСкачать