Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теорема косинусов и синусов

Теорема косинусов радиус описанной окружности

О чем эта статья:

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

Теорема косинусов радиус описанной окружности

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

Теорема косинусов радиус описанной окружности

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2

cos 2 α + sin 2 α = 1основное тригонометрическое тождество.

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:


Теорема косинусов радиус описанной окружности

  • Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
  • Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
  • Когда b 2 + c 2 — a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

  • AD = b × cos α,
  • DB = c – b × cos α.

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

  • h 2 = b 2 — (b × cos α) 2
  • h 2 = a 2 — (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

  • b 2 — (b × cos α) 2 = a 2 — (c — b × cos α) 2
  • a 2 = b 2 + c 2 — 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

  • b 2 = a 2 + c 2 — 2ac × cos β;
  • c 2 = a 2 + b 2 — 2ab × cos γ.

Видео:#233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностейСкачать

#233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностей

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Видео:Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)Скачать

Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Видео:Теорема синусов и косинусов. Связь площади треугольника с радиусами вписанной и описанной окружностиСкачать

Теорема синусов и косинусов. Связь площади треугольника с радиусами вписанной и описанной окружности

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Видео:Теорема синусов и радиус описанной окружности.Скачать

Теорема синусов и радиус описанной окружности.

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Теорема косинусов радиус описанной окружности

    Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
    Из треугольника АВС найдем cos B:

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.

Теорема косинусов радиус описанной окружности

  • Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Видео:Теорема синусов – просто и красиво // Vital MathСкачать

Теорема синусов – просто и красиво // Vital Math

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Видео:Теорема синусов и теорема косинусовСкачать

Теорема синусов и теорема косинусов

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теорема косинусов радиус описанной окружности

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теорема косинусов радиус описанной окружности

где a – сторона треугольника.

Видео:Теорема синусов, теорема косинусов, радиус описанной вокруг треугольника окружностиСкачать

Теорема синусов, теорема косинусов, радиус описанной вокруг треугольника окружности

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

Видео:ОГЭ по математике. Задание 24. Теорема синусов. Радиус описанной окружности.Скачать

ОГЭ по математике. Задание 24. Теорема синусов. Радиус описанной окружности.

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Теорема косинусов радиус описанной окружностиСерединный перпендикуляр к отрезку
Теорема косинусов радиус описанной окружностиОкружность описанная около треугольника
Теорема косинусов радиус описанной окружностиСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Теорема косинусов радиус описанной окружностиДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Видео:9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

9 класс, 13 урок, Теорема синусов

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис ТрушинСкачать

Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис Трушин

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Видео:Теорема косинусов для треугольникаСкачать

Теорема косинусов для треугольника

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Теорема косинусов радиус описанной окружности,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Теорема косинусов радиус описанной окружности

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Теорема косинусов радиус описанной окружностиВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаТеорема косинусов радиус описанной окружностиОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиТеорема косинусов радиус описанной окружностиЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиТеорема косинусов радиус описанной окружностиЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовТеорема косинусов радиус описанной окружности
Площадь треугольникаТеорема косинусов радиус описанной окружности
Радиус описанной окружностиТеорема косинусов радиус описанной окружности
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Теорема косинусов радиус описанной окружности

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаТеорема косинусов радиус описанной окружности

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиТеорема косинусов радиус описанной окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиТеорема косинусов радиус описанной окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиТеорема косинусов радиус описанной окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовТеорема косинусов радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Теорема косинусов радиус описанной окружности,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаТеорема косинусов радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиТеорема косинусов радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

Теорема косинусов радиус описанной окружности

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Теорема косинусов радиус описанной окружности.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Теорема косинусов радиус описанной окружности

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

💡 Видео

Теорема синусов. Радиус описанной окружности. #shortsСкачать

Теорема синусов. Радиус описанной окружности.  #shorts

Теорема синусов - радиус описанной окружности #Математика #ЕГЭ #ОГЭ #Геометрия #ТреугольникСкачать

Теорема синусов - радиус описанной окружности #Математика #ЕГЭ #ОГЭ #Геометрия #Треугольник

Подготовка к ОГЭ. Теорема синусов. Доказательство.Скачать

Подготовка к ОГЭ. Теорема синусов.  Доказательство.

Теорема синусов на ОГЭ по математикеСкачать

Теорема синусов на ОГЭ по математике

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Занятие 8. Теорема синусов и косинусов. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭСкачать

Занятие 8. Теорема синусов и косинусов. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭ
Поделиться или сохранить к себе: