Связанные понятия
Отношение инцидентности — это бинарное отношение между двумя различными типами объектов. Это включает понятия, которые можно выразить такими фразами как «точка лежит на прямой» или «прямая принадлежит плоскости». Наиболее существенное отношение инцидентности — между точкой P и прямой l, которое записывается как P I l. Если P I l, пара (P, l) называется флагом. В разговорном языке существует много выражений, описывающих отношение инцидентности (например, прямая проходит через точку, точка лежит на.
Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных.
В компле́ксном анализе вы́четом заданного объекта (функции, формы) называется объект (число, форма или когомологический класс формы), характеризующий локальные свойства заданного.
Алгебра Декарта (Примеры)
ЧТО ТАКОЕ АЛГЕБРА ДЕКАРТА
В основе всеобщей математики Декарта лежало вычисление отрезков. Именно исчисление строилось с помощью усовершенствованной Декартом символики. Он обозначал данные отрезки начальными буквами алфавита а, b , с,…, а неизвестные или «неопределенные» (Лейбниц первый стал говорить о «переменные» величины) — последними буквами х, у, z. обозначения степеней было упрощено и приняло знакомый нам вид а 2 , а 3 ,…, x 2 , x 3 ,… и т.п. а впрочем, когда речь шла о квадрат, еще долго писали аа, хх.
Поэтому алгебраические записи Декарта мало чем отличаются от современных. Однако он еще не распространил свое обозначение степеней на любые дробные и отрицательные показатели,— это сделал Ньютон (1676). Для обозначения корней с целым положительным показателем, большим двух, Декарт ставил показатель или первую букву его названия перед под радикальным выражением, объединенным нередко горизонтальной чертой сверху и обособленным скобкой или точкой, вроде √(са 3 – а 3 + а bb).
Нововведение Декарта
Это нововведение, именно применение черточки, вскоре было подхвачено. Современная удобная форма 3 √ , 4 √ и т. д., которую предложил еще Жирар (1629) и которая применялась, правда, непоследовательно, Ньютоном и Лейбницем, окончательно закрепилась в первой половине XVIII века.
Следует отметить, что буквенные знаки данных величин сами по себе у Декарта означали только положительные величины, и для выражения отрицательных величин он присоединил знак «минус», а когда это был коэффициент неизвестного знака, то ставил перед ним точки.
Употребление букв со знаком «плюс» впереди для выражения как положительных, так и отрицательных чисел впервые встречается в труде Гудде, помещенной во втором латинском издании «Геометрии» 1659-1661 pp. Знак равенства, предложенный Декартом, имел вид ». До начала XVIII века. он был распространен во Франции и Голландии, но потом его везде вытеснил символ Рекорд.
Преимущества декартовой символики обеспечили ее безусловную победу, но на первых порах применялись и различные другие системы обозначений.
Основные теоремы алгебры Декарта
Основные теоремы алгебры Декарт изложил в третьей книге «Геометрии». Многие из них встречались у его предшественников, особенно Так, Жирара и Гарриота, но большая их часть является его собственностью, и именно изложение Декарта, который применял новую замечательную символику и терминологию и предоставил всем формулировкой максимальной простоты, стал отправным пунктом дальнейшего развития алгебры.
Теорию алгебраических уравнений Декарт начинает с принципиально важного предостережения, что их целесообразно рассматривать с правой частью, равной нулю. Затем он переходит к составлению многочленов перемножением линейных двочленів вида х ± а и формулирует основную теорему такими словами: «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней или же значений неизвестной величины, сколько она имеет измерений», а чуть дальше он добавляет, что «хотя всегда можно представить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням».
Отдельно указано, что левая часть уравнения делится на двочлен х ± а, где ± а есть корень; это позволяет снизить степень уравнения, если известен корень,— прием, которым пользовался еще в 1567 г. П. Нуньес (1492-1577).
Вслед за этим следует «правило знаков» Декарта для определения числа положительных и отрицательных корней по знакам коэффициентов уравнения. Ньютон несколько уточнил формулировку этого правила, и мы приведем это правило так, как он его высказал: если среди корней уравнения нет «невозможных» (мнимых — отв. ред.), то положительных корней столько, сколько в последовательности коэффициентов перемен знаков от «плюса» к «минусу» — или от «минуса» к «плюсу»; остальные — корни отрицательные.
Правило Декарта
Правило Декарта положило начало целой серии исследований о распределении корней алгебраических уравнений, имеющих важные применения (например, в теории устойчивости). Доведение правила, приведенного в «Геометрии» без заключения, предложил в 1728 г. профессору Геттингене и Галле Йогам
Андреас Зегнер (1704-1777), изобретатель так называемого зегнерового колеса — простейшего типа гидротурбины, а затем и другие математики.Доказательства эти основываются на рассмотрении изменений в чередовании знаков коэффициентов во время умножения левой части на двочлен х ± а (этим же руководствовался, видимо, сам Декарт). К тому же кругу вопросов относятся и замечания Декарта об определении границ действительных корней, спричинилось в многочисленных дальнейших исследований.
Наряду с проблемой распределения корней в «Геометрии» поставлено вторую фундаментальную проблему сводности, то есть розкладності целого многочлена с рациональными (в частности, целыми) коэффициентами на аналогичные сомножители более низких степеней.
Так Декарт рассмотрел вопрос, когда корни кубического уравнения с целыми коэффициентами и старшим из них, который равен 1, строятся с помощью циркуля и линейки (то есть разрешимое уравнение в квадратных радикалов),— вопрос, который интересовал еще Хайяма. Декарт пришел к выводу, что это возможно в том и только в том случае, когда уравнение имеет целый корень, то есть сводное.
Для разрешимости теми же средствами уравнений четвертой степени должна решаться в квадратных радикалов его кубическая резольвента (срок Эйлера). (Определенными преобразованиями решения уравнения 4-ой степени можно свести к решению некоторого кубического уравнения. Последнее и называется кубічною резольвентою уравнения 4-ой степени).
Доказательство неразрешимости циркулем и линейкой неприводимых уравнений третьей степени опубликовал ровно через 200 лет преподаватель Политехнической школы в Париже П. Л. Венцель (1814-1848). Проблему сводности глубоко исследовали Ньютон, Эйлер, Лагранж, Гаусе и много других ученых.
Геометрическая построение корней
Общим методом решения алгебраических уравнений у Декарта была все-таки геометрическая построение их корней, которую все его предшественники применяли лишь в отдельных случаях, а он оригинально распространил на исследование действительных корней уравнений любой степени. В математике Декарт геометрическое построение корней стала своего рода эквивалентом основной теоремы алгебры в ее тогдашнем формулировке; вместе с тем она могла сыграть роль универсального метода приближенного графического решения уравнений.
Взаимодействие алгебры и геометрии здесь выступает особенно отчетливо. Прежде всего действительные корни квадратных уравнений можно построить с помощью пересечения окружности и прямой. Это дает возможность построить по какой-нибудь данной координатой любую точку кривой второго порядка: когда задают одну координату, вторая оказывается корнем квадратного уравнения. А поскольку можно построить множество сколь угодно близких точек кривых второго порядка, то эти линии, с точки зрения Декарта, оказываются допустимым средством дальнейшего анализа.
Затем корни уравнения третьей и четвертой степеней строят с помощью пересечения окружности и параболы, а это в силу тех же соображений позволяет найти бесконечное количество точек кривых третьего и четвертого порядков, которые, в свою очередь, становятся допустимыми в дальнейших конструкциях. Далее Декарт строит корни уравнений пятого и шестого степеней с помощью круга и кривой третьего порядка, которая теперь носит название парабола Декарта или трезубца Ньютона. Именно уравнения вида
развязывается с помощью круга
Далее, говорит Декарт, нужно лишь идти тем же путем. Иначе говоря, корни уравнений степени n > 3 каждый раз строятся с помощью двух кривых порядка ниже n. Возможность нахождения бесчисленного количества произвольных точек кривой Декарт считал достаточной, чтобы использовать эту линию для построений; он также считал, и вполне правильно, что все точки любой дуги «геометрической» кривой могут быть описаны движением шарнирных механизмов (теорема Кемпе), а это обеспечивало непрерывность линий.
Однако основная линия развития алгебры шла в направлении ее автономной, независимой от геометрии построения.
Статья на тему Алгебра Декарта
Похожие страницы:
Понравилась статья поделись ей
VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Вспомогательная страница к разделу ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Правило знаков Декарта
Сокращение $ operatorname $ — число вещественных корней 1) .
Теорема [Декарт]. Число положительных корней полинома
$$f(x)=a_0x^n+a_1x^+dots+a_x+a_n in mathbb R[x], quad (a_0> 0,a_n ne 0)$$ с учетом их кратностей равно или меньше на четное число числа знакоперемен в ряду его коэффициентов: $$ operatorname 0 > = (a_0,a_1,dots,a_n)-2 k , quad kin . $$
Доказательство. 1. Докажем сначала, что $$ (a_0,a_1,dots,a_n)= left< begin mbox & iff a_n>0; \ mbox & iff a_n 0 $, то $ (a_0,a_1)=0 $ при $ a_1>0 $ и $ (a_0,a_1)=1 $ при $ a_1 0 $ то по индукционному предположению $ (a_0,a_1,dots,a_k) $ — четно. Тогда $ (a_k,a_)= 0 $ тогда и только тогда, когда $ a_>0 $, и при этом условии число $ (a_0,a_1,dots,a_k,a_) $ остается четным. При $ a_ 2. Покажем, что числа $ operatorname 0 > $ и $ (a_0,a_1,dots,a_n) $ имеют одинаковую четность: $$ operatorname 0 >= (a_0,a_1,dots,a_n)pm 2, k , quad kin , . $$ Если число $ (a_0,a_1,dots,a_n) $ — четное (нечетное), то по доказанному в пункте 1 следует, что $ a_n>0 $ (соответственно, $ a_n 0 > $ — четное (соответственно, нечетное). Разность двух чисел одинаковой четности — четное число, и доказываемая формула справедлива.
3. Покажем, что в формуле $$ operatorname 0 >= (a_0,a_1,dots,a_n)pm 2, k , quad kin , . $$ знака $ + $ быть не может: $$ operatorname 0 > le (a_0,a_1,dots,a_n) , . $$ Используем индукцию по степени полинома. Для $ n=1 $ $$f(x)=a_0x+a_1 Rightarrow lambda=-a_1/a_0 left< begin >0 & iff a_0a_1 0 Rightarrow =0. end right. $$ Пусть утверждение верно для любого полинома степени $ 0 > le (na_0,(n-1)a_1,dots,a_) =$$ $$=(a_0,a_1,dots,a_) le (a_0,a_1,dots,a_,a_n).$$ (Здесь мы дополнительно предположили, что $ a_ne 0 $. Если $ a_= 0 $, то следует рассматривать полином $ f^(x)/x $, положительные корни которого совпадают с положительными корнями $ f^(x) $). На основании следствия к теореме Ролля $$operatorname 0 > le operatorname 0 >+1 le (a_0,a_1,dots,a_n)+1 , .$$ Но по доказанному в пункте 2 имеем $$ operatorname 0 > ne (a_0,a_1,dots,a_n)+1 $$ (у этих чисел должна быть одинаковая четность). Поэтому и справедливо неравенство $$ operatorname 0 > le (a_0,a_1,dots,a_n) , . $$ Из него и из равенства из пункта 2 следует утверждение теоремы. ♦
С помощью преобразования корней полинома (см. пункт 1 ☞ ЗДЕСЬ ) можно доказать следствие:
Число отрицательных корней полинома
$$f(x)=a_0x^n+a_1x^+dots+a_x+a_n, quad (a_0> 0,a_n ne 0)$$ с учетом их кратностей можно оценить по формуле $$ operatorname =2-2k ge 0 ,$$ следовательно $ f_(x) $ имеет либо два, либо ни одного положительного корня. Далее, по следствию: $$ operatorname =1-2k ge 0 Longrightarrow = 1 $$ Далее, на основании первой формулы из следствия имеем $$ operatorname < f(x)=0 mid x второйформулы из следствия дало бы неправильную оценку для $ operatorname < f(x)=0 mid x
Если каким-то образом заранее известно, что все корни полинома вещественны, то число положительных из них определяется по правилу знаков Декарта однозначно:
Пример. Характеристический полином вещественной симметричной матрицы удовлетворяет условию следствия. См. ☞ ЗДЕСЬ.
Источник
Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М. Учпедгиз. 1958