Теорема декарта об окружностях (4 видео)

Теорема Декарта (геометрия)

Содержание

Связанные понятия
Алгебра Декарта (Примеры)
ЧТО ТАКОЕ АЛГЕБРА ДЕКАРТА
Нововведение Декарта
Основные теоремы алгебры Декарта
Правило Декарта
Геометрическая построение корней
Похожие страницы:
VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Правило знаков Декарта
Источник
🎦 Видео

Связанные понятия

Отношение инцидентности — это бинарное отношение между двумя различными типами объектов. Это включает понятия, которые можно выразить такими фразами как «точка лежит на прямой» или «прямая принадлежит плоскости». Наиболее существенное отношение инцидентности — между точкой P и прямой l, которое записывается как P I l. Если P I l, пара (P, l) называется флагом. В разговорном языке существует много выражений, описывающих отношение инцидентности (например, прямая проходит через точку, точка лежит на.

Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных.

В компле́ксном анализе вы́четом заданного объекта (функции, формы) называется объект (число, форма или когомологический класс формы), характеризующий локальные свойства заданного.

Видео:7 Правило знаков ДекартаСкачать

Алгебра Декарта (Примеры)

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

ЧТО ТАКОЕ АЛГЕБРА ДЕКАРТА

В основе всеобщей математики Декарта лежало вычисление отрезков. Именно исчисление строилось с помощью усовершенствованной Декартом символики. Он обозначал данные отрезки начальными буквами алфавита а, b , с,…, а неизвестные или «неопределенные» (Лейбниц первый стал говорить о «переменные» величины) — последними буквами х, у, z. обозначения степеней было упрощено и приняло знакомый нам вид а 2 , а 3 ,…, x 2 , x 3 ,… и т.п. а впрочем, когда речь шла о квадрат, еще долго писали аа, хх.

Поэтому алгебраические записи Декарта мало чем отличаются от современных. Однако он еще не распространил свое обозначение степеней на любые дробные и отрицательные показатели,— это сделал Ньютон (1676). Для обозначения корней с целым положительным показателем, большим двух, Декарт ставил показатель или первую букву его названия перед под радикальным выражением, объединенным нередко горизонтальной чертой сверху и обособленным скобкой или точкой, вроде √(са 3 – а 3 + а bb).

Нововведение Декарта

Это нововведение, именно применение черточки, вскоре было подхвачено. Современная удобная форма 3 √ , 4 √ и т. д., которую предложил еще Жирар (1629) и которая применялась, правда, непоследовательно, Ньютоном и Лейбницем, окончательно закрепилась в первой половине XVIII века.

Следует отметить, что буквенные знаки данных величин сами по себе у Декарта означали только положительные величины, и для выражения отрицательных величин он присоединил знак «минус», а когда это был коэффициент неизвестного знака, то ставил перед ним точки.

Употребление букв со знаком «плюс» впереди для выражения как положительных, так и отрицательных чисел впервые встречается в труде Гудде, помещенной во втором латинском издании «Геометрии» 1659-1661 pp. Знак равенства, предложенный Декартом, имел вид ». До начала XVIII века. он был распространен во Франции и Голландии, но потом его везде вытеснил символ Рекорд.

Преимущества декартовой символики обеспечили ее безусловную победу, но на первых порах применялись и различные другие системы обозначений.

Основные теоремы алгебры Декарта

Основные теоремы алгебры Декарт изложил в третьей книге «Геометрии». Многие из них встречались у его предшественников, особенно Так, Жирара и Гарриота, но большая их часть является его собственностью, и именно изложение Декарта, который применял новую замечательную символику и терминологию и предоставил всем формулировкой максимальной простоты, стал отправным пунктом дальнейшего развития алгебры.

Теорию алгебраических уравнений Декарт начинает с принципиально важного предостережения, что их целесообразно рассматривать с правой частью, равной нулю. Затем он переходит к составлению многочленов перемножением линейных двочленів вида х ± а и формулирует основную теорему такими словами: «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней или же значений неизвестной величины, сколько она имеет измерений», а чуть дальше он добавляет, что «хотя всегда можно представить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням».

Отдельно указано, что левая часть уравнения делится на двочлен х ± а, где ± а есть корень; это позволяет снизить степень уравнения, если известен корень,— прием, которым пользовался еще в 1567 г. П. Нуньес (1492-1577).

Вслед за этим следует «правило знаков» Декарта для определения числа положительных и отрицательных корней по знакам коэффициентов уравнения. Ньютон несколько уточнил формулировку этого правила, и мы приведем это правило так, как он его высказал: если среди корней уравнения нет «невозможных» (мнимых — отв. ред.), то положительных корней столько, сколько в последовательности коэффициентов перемен знаков от «плюса» к «минусу» — или от «минуса» к «плюсу»; остальные — корни отрицательные.

Правило Декарта

Правило Декарта положило начало целой серии исследований о распределении корней алгебраических уравнений, имеющих важные применения (например, в теории устойчивости). Доведение правила, приведенного в «Геометрии» без заключения, предложил в 1728 г. профессору Геттингене и Галле Йогам

Андреас Зегнер (1704-1777), изобретатель так называемого зегнерового колеса — простейшего типа гидротурбины, а затем и другие математики.Доказательства эти основываются на рассмотрении изменений в чередовании знаков коэффициентов во время умножения левой части на двочлен х ± а (этим же руководствовался, видимо, сам Декарт). К тому же кругу вопросов относятся и замечания Декарта об определении границ действительных корней, спричинилось в многочисленных дальнейших исследований.

Наряду с проблемой распределения корней в «Геометрии» поставлено вторую фундаментальную проблему сводности, то есть розкладності целого многочлена с рациональными (в частности, целыми) коэффициентами на аналогичные сомножители более низких степеней.

Так Декарт рассмотрел вопрос, когда корни кубического уравнения с целыми коэффициентами и старшим из них, который равен 1, строятся с помощью циркуля и линейки (то есть разрешимое уравнение в квадратных радикалов),— вопрос, который интересовал еще Хайяма. Декарт пришел к выводу, что это возможно в том и только в том случае, когда уравнение имеет целый корень, то есть сводное.

Для разрешимости теми же средствами уравнений четвертой степени должна решаться в квадратных радикалов его кубическая резольвента (срок Эйлера). (Определенными преобразованиями решения уравнения 4-ой степени можно свести к решению некоторого кубического уравнения. Последнее и называется кубічною резольвентою уравнения 4-ой степени).

Доказательство неразрешимости циркулем и линейкой неприводимых уравнений третьей степени опубликовал ровно через 200 лет преподаватель Политехнической школы в Париже П. Л. Венцель (1814-1848). Проблему сводности глубоко исследовали Ньютон, Эйлер, Лагранж, Гаусе и много других ученых.

Геометрическая построение корней

Общим методом решения алгебраических уравнений у Декарта была все-таки геометрическая построение их корней, которую все его предшественники применяли лишь в отдельных случаях, а он оригинально распространил на исследование действительных корней уравнений любой степени. В математике Декарт геометрическое построение корней стала своего рода эквивалентом основной теоремы алгебры в ее тогдашнем формулировке; вместе с тем она могла сыграть роль универсального метода приближенного графического решения уравнений.

Взаимодействие алгебры и геометрии здесь выступает особенно отчетливо. Прежде всего действительные корни квадратных уравнений можно построить с помощью пересечения окружности и прямой. Это дает возможность построить по какой-нибудь данной координатой любую точку кривой второго порядка: когда задают одну координату, вторая оказывается корнем квадратного уравнения. А поскольку можно построить множество сколь угодно близких точек кривых второго порядка, то эти линии, с точки зрения Декарта, оказываются допустимым средством дальнейшего анализа.

Затем корни уравнения третьей и четвертой степеней строят с помощью пересечения окружности и параболы, а это в силу тех же соображений позволяет найти бесконечное количество точек кривых третьего и четвертого порядков, которые, в свою очередь, становятся допустимыми в дальнейших конструкциях. Далее Декарт строит корни уравнений пятого и шестого степеней с помощью круга и кривой третьего порядка, которая теперь носит название парабола Декарта или трезубца Ньютона. Именно уравнения вида

развязывается с помощью круга

Далее, говорит Декарт, нужно лишь идти тем же путем. Иначе говоря, корни уравнений степени n > 3 каждый раз строятся с помощью двух кривых порядка ниже n. Возможность нахождения бесчисленного количества произвольных точек кривой Декарт считал достаточной, чтобы использовать эту линию для построений; он также считал, и вполне правильно, что все точки любой дуги «геометрической» кривой могут быть описаны движением шарнирных механизмов (теорема Кемпе), а это обеспечивало непрерывность линий.

Однако основная линия развития алгебры шла в направлении ее автономной, независимой от геометрии построения.

Статья на тему Алгебра Декарта

VMath

Инструменты сайта

Основное

Информация

Действия

Вспомогательная страница к разделу ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Правило знаков Декарта

Сокращение $ operatorname $ — число вещественных корней 1) .

Теорема [Декарт]. Число положительных корней полинома

$$f(x)=a_0x^n+a_1x^+dots+a_x+a_n in mathbb R[x], quad (a_0> 0,a_n ne 0)$$ с учетом их кратностей равно или меньше на четное число числа знакоперемен в ряду его коэффициентов: $$ operatorname 0 > = (a_0,a_1,dots,a_n)-2 k , quad kin . $$

Доказательство. 1. Докажем сначала, что $$ (a_0,a_1,dots,a_n)= left< begin mbox & iff a_n>0; \ mbox & iff a_n 0 $, то $ (a_0,a_1)=0 $ при $ a_1>0 $ и $ (a_0,a_1)=1 $ при $ a_1 0 $ то по индукционному предположению $ (a_0,a_1,dots,a_k) $ — четно. Тогда $ (a_k,a_)= 0 $ тогда и только тогда, когда $ a_>0 $, и при этом условии число $ (a_0,a_1,dots,a_k,a_) $ остается четным. При $ a_ 2. Покажем, что числа $ operatorname 0 > $ и $ (a_0,a_1,dots,a_n) $ имеют одинаковую четность: $$ operatorname 0 >= (a_0,a_1,dots,a_n)pm 2, k , quad kin , . $$ Если число $ (a_0,a_1,dots,a_n) $ — четное (нечетное), то по доказанному в пункте 1 следует, что $ a_n>0 $ (соответственно, $ a_n 0 > $ — четное (соответственно, нечетное). Разность двух чисел одинаковой четности — четное число, и доказываемая формула справедлива.

3. Покажем, что в формуле $$ operatorname 0 >= (a_0,a_1,dots,a_n)pm 2, k , quad kin , . $$ знака $ + $ быть не может: $$ operatorname 0 > le (a_0,a_1,dots,a_n) , . $$ Используем индукцию по степени полинома. Для $ n=1 $ $$f(x)=a_0x+a_1 Rightarrow lambda=-a_1/a_0 left< begin >0 & iff a_0a_1 0 Rightarrow =0. end right. $$ Пусть утверждение верно для любого полинома степени $ 0 > le (na_0,(n-1)a_1,dots,a_) =$$ $$=(a_0,a_1,dots,a_) le (a_0,a_1,dots,a_,a_n).$$ (Здесь мы дополнительно предположили, что $ a_ne 0 $. Если $ a_= 0 $, то следует рассматривать полином $ f^(x)/x $, положительные корни которого совпадают с положительными корнями $ f^(x) $). На основании следствия к теореме Ролля $$operatorname 0 > le operatorname 0 >+1 le (a_0,a_1,dots,a_n)+1 , .$$ Но по доказанному в пункте 2 имеем $$ operatorname 0 > ne (a_0,a_1,dots,a_n)+1 $$ (у этих чисел должна быть одинаковая четность). Поэтому и справедливо неравенство $$ operatorname 0 > le (a_0,a_1,dots,a_n) , . $$ Из него и из равенства из пункта 2 следует утверждение теоремы. ♦

С помощью преобразования корней полинома (см. пункт 1 ☞ ЗДЕСЬ ) можно доказать следствие:

Число отрицательных корней полинома

$$f(x)=a_0x^n+a_1x^+dots+a_x+a_n, quad (a_0> 0,a_n ne 0)$$ с учетом их кратностей можно оценить по формуле $$ operatorname =2-2k ge 0 ,$$ следовательно $ f_(x) $ имеет либо два, либо ни одного положительного корня. Далее, по следствию: $$ operatorname =1-2k ge 0 Longrightarrow = 1 $$ Далее, на основании первой формулы из следствия имеем $$ operatorname < f(x)=0 mid x второйформулы из следствия дало бы неправильную оценку для $ operatorname < f(x)=0 mid x

Если каким-то образом заранее известно, что все корни полинома вещественны, то число положительных из них определяется по правилу знаков Декарта однозначно:

Пример. Характеристический полином вещественной симметричной матрицы удовлетворяет условию следствия. См. ☞ ЗДЕСЬ.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать