Техническая механика сложение векторов

При воздействии на одно тело нескольких сил одновременно тело начинает двигаться с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые бы возникли под воздействием каждой силы по отдельности. К действующим на тело силам, приложенным к одной точке, применяется правило сложения векторов.

Векторная сумма всех сил, одновременно воздействующих на тело, это сила равнодействующая, которая определяется по правилу векторного сложения сил:

R → = F 1 → + F 2 → + F 3 → + . . . + F n → = ∑ i = 1 n F i → .

Равнодействующая сила действует на тело также, как и сумма всех действующих на него сил.

Видео:сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

Правило параллелограмма и правило многоугольника

Для сложения 2 -х сил используют правило параллелограмма (рисунок 1 ).

Рисунок 1 . Сложение 2 -х сил по правилу параллелограмма

Выведем формулу модуля равнодействующей силы с помощью теоремы косинусов:

R → = F 1 → 2 + F 2 → 2 + 2 F 1 → 2 F 2 → 2 cos α

При необходимости сложения более 2 -х сил используют правило многоугольника: от конца
1 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 2 -й силе; от конца 2 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 3 -й силе и т.д.

Рисунок 2 . Сложение сил правилом многоугольника

Конечный вектор, проведенный от точки приложения сил в конец последней силы, по величине и направлению равняется равнодействующей силе. Рисунок 2 наглядно иллюстрирует пример нахождения равнодействующей сил из 4 -х сил: F 1 → , F 2 → , F 3 → , F 4 → . Причем суммируемые векторы совсем необязательно должны быть в одной плоскости.

Результат действия силы на материальную точку будет зависеть только от ее модуля и направления. У твердого тела есть определенные размеры. Потому силы с одинаковыми модулями и направлениями вызывают разные движения твердого тела в зависимости от точки приложения.

Линией действия силы называют прямую, проходящую через вектор силы.

Рисунок 3 . Сложение сил, приложенных к различным точкам тела

Если силы приложены к различным точкам тела и действуют не параллельно по отношению друг к другу, тогда равнодействующая приложена к точке пересечения линий действия сил (рисунок 3 ). Точка будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил, действующих на нее, равняется 0 : ∑ i = 1 n F i → = 0 → . В данном случае равняется 0 и сумма проекций данных сил на любую координатную ось.

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Разложение вектора силы по направлениям

Разложение сил на две составляющие – это замена одной силы 2 -мя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила. Разложение сил осуществляется, как и сложение, правилом параллелограмма.

Задача разложения одной силы (модуль и направление которой заданы) на 2 , приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, когда известны:

• направления 2 -х составляющих сил;
• модуль и направление одной из составляющих сил;
• модули 2 -х составляющих сил.

Пример 1

Необходимо разложить силу F на 2 составляющие, находящиеся в одной плоскости с F и направленные вдоль прямых a и b (рисунок 4 ). Тогда достаточно от конца вектора F провести 2 прямые, параллельные прямым a и b . Отрезок F A и отрезок F B изображают искомые силы.

Рисунок 4 . Разложение вектора силы по направлениям

Второй вариант данной задачи – найти одну из проекций вектора силы по заданным векторам силы и 2 -й проекции (рисунок 5 а ).

Рисунок 5 . Нахождение проекции вектора силы по заданным векторам

Во втором варианте задачи необходимо построить параллелограмм по диагонали и одной из сторон, как в планиметрии. На рисунке 5 б изображен такой параллелограмм и обозначена искомая составляющая F 2 → силы F → .

Итак, 2 -й способ решения: прибавим к силе силу, равную — F 1 → (рисунок 5 в ). В итоге получаем искомую силу F → .

Три силы F 1 → = 1 Н ; F 2 → = 2 Н ; F 3 → = 3 Н приложены к одной точке, находятся в одной плоскости (рисунок 6 а ) и составляют углы с горизонталью α = 0 ° ; β = 60 ° ; γ = 30 ° соответственно. Необходимо найти равнодействующую силу.

Решение

Рисунок 6 . Нахождение равнодействующей силы по заданным векторам

Нарисуем взаимно перпендикулярные оси О Х и O Y таким образом, чтобы ось О Х совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила F 1 → . Сделаем проекцию данных сил на координатные оси (рисунок 6 б ). Проекции F 2 y и F 2 x отрицательны. Сумма проекций сил на координатную ось О Х равняется проекции на данную ось равнодействующей: F 1 + F 2 cos β — F 3 cos γ = F x = 4 — 3 3 2 ≈ — 0 , 6 Н .

Точно также для проекций на ось O Y : — F 2 sin β + F 3 sin γ = F y = 3 — 2 3 2 ≈ — 0 , 2 Н .

Модуль равнодействующей определим с помощью теоремы Пифагора:

F = F x 2 + F y 2 = 0 , 36 + 0 , 04 ≈ 0 , 64 Н .

Направление равнодействующей найдем при помощи угла между равнодействующей и осью (рисунок 6 в ):

t g φ = F y F x = 3 — 2 3 4 — 3 3 ≈ 0 , 4 .

Сила F = 1 к Н приложена в точке В кронштейна и направлена вертикально вниз (рисунок 7 а ). Необходимо найти составляющие данной силы по направлениям стержней кронштейна. Все необходимые данные отображены на рисунке.

Решение

Рисунок 7 . Нахождение составляющих силы F по направлениям стержней кронштейна

Дано:

F = 1 к Н = 1000 Н

Пускай стержни прикручены к стене в точках А и С . На рисунке 7 б изображено разложение силы F → на составляющие вдоль направлений А В и В С . Отсюда понятно, что

F 1 → = F t g β ≈ 577 Н ;

F 2 → = F cos β ≈ 1155 Н .

Ответ: F 1 → = 557 Н ; F 2 → = 1155 Н .

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Силы в теоретической механике

Содержание:

Основные понятия и аксиомы статики

Под равновесием понимается состояние покоя тела по отношению к другим материальным телам.

Абсолютно твердое тело — это тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается постоянным.

Чтобы твердое тело под действием некоторой системы сил находилось в равновесии (в покое), необходимо, чтобы эти силы удовлетворяли определенным условиям равновесия данной системы сил.

Основными задачами статики являются:

• 1. Сложение сил и приведение системы сил, действующих на твердое тело, к простейшему виду.
• 2. Определение условий равновесия систем сил, действующих на твердое тело.

Состояние равновесия или движение тела зависит от характера его механических взаимодействий с другими телами.

Сила — это величина количественной меры механического взаимодействия материальных тел.

Рассматриваемые в механике величины разделяют на векторные и скалярные.

Скалярные величины характеризуются только численными значениями.

Векторные величины характеризуются численными значениями и направлением в пространстве.

Сила является векторной величиной и ее действие на тело определяется численной величиной, или мерой силы, направлением силы, точкой приложением силы.

Сила (в механике) измеряется в Ньютонах ().

Основные определения

Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.

Совокупность сил, действующих на какое-либо тело называется системой сил.

Тело, не связанное с другими телами, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным.

Если одну систему сил, действующую на тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояние данной системы, то такие две системы сил называются эквивалентными.

Система сил, под действием которой свободное твердое тело может находиться в покос, называется уравновешенной или эквивалентной нулю.

Равнодействующая сила — это сила, которая одна заменяет действие данной системы сил на твердое тело.

Сила, равная равнодействующей силе по модулю, но противоположно направленная по той же прямой, называется уравновешивающей.

Силы бывают внешними и внутренними:

Внешние силы действуют со стороны других материальных тел.

Внутренние — это силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.

Сила, приложенная к телу в какой-либо точке, называется сосредоточенной.

Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распределенными.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Аксиомы статики

Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, принимаемых без математических доказательств. Эти положение называются аксиомами статики.

• Аксиома 1. Если на свободное, абсолютно твердое тело действуют две силы, то твердое тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы будут равны по модулю () и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.1). Следовательно, тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может.

• Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или отнять уравновешивающую систему сил.

Следствие из 1-й и 2-й аксиом таково: действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

Этим принципом можно пользоваться тогда, когда определяются условия равновесия той или иной конструкции и не рассматриваются возникающие в ее частях внутренние усилия. Следовательно, при определении внутренних усилий переносить точку приложения силы вдоль линии действия нельзя.

• Аксиома 3. Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, изображаемую диагональю параллелограмма, построенную на этих силах как на сторонах (рис. 1.2).

• Аксиома 4. При всяком действии силы материального тела на другое имеет место такое же по величине, противоположное по направлению противодействие (рис. 1.3).

• Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать абсолютно твердым.

Связи и их реакции

Тело, которое из данного положения может совершать любые перемещения в пространстве, называется свободным.

Тело, перемещению которого препятствуют другие скрепленные или соединенные с ним тела, называется несвободным.

Все то, что ограничивает перемещение данного тела в пространстве, называется связью.

Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя его перемещениям, называется реакцией связи.

Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не даст перемещаться телу (при решении задач очень важно правильно определить направление реакций связи).

1. Гладкая поверхность или опора. Реакция гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке (рис. 1.4).

2. Нить. Реакция натянутой нити направлена вдоль нити к точке ее подвеса (рис. 1.5).

3. Цилиндрический шарнир. Реакция цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира (рис. 1.6).

4. Шаровой шарнир и подпятник. Реакция шарового шарнира и подпятника может иметь любое направление в пространстве (рис. 1.7).

Аксиома связей. Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие реакциями этих связей (рис. 1.8).

Реакции связи — это исходные данные, которые необходимо знать при расчете конструкций на прочность.

Сложение сил. Система сходящихся сил

Величина геометрической суммы сил называется главным вектором системы сил. Геометрическая сумма — это нсравнодсйствующая сил, т.е. для многих систем равнодействующих вообще не существует, а геометрическую сумму можно вычислить для любой системы сил.

Сложение двух сил

Геометрическая сумма двух сил и находится или по правилу параллелограмма или посредством построения силового треугольника (рис. L9).

Модуль определяется как сторона треугольника из равенства

где — угол между силами,

Углы и находятся по теореме синусов. Учитывая, что получаем

Сложение системы сил

Правило параллепипеда. Геометрическая сумма трех сил и не лежащих в одной плоскости, изображается диагональю параллепипеда (рис. 1.10), построенного на этих силах.

Геометрическая сумма любой системы сил определяется или последовательным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Рассмотрим второй способ как наиболее простой.

Для нахождения суммы сил методом силового многоугольника выполняются следующие построения: все силы в выбранном масштабе откладываются последовательно одна за другой (рис. 1.11). Соединяя начало первого вектора с концом последнего вектора, получаем главный вектор (.геометрическую сумму слагаемых сил). В каком порядке откладываются силы, значения не имеет, так как величина R не изменится:

Необходимо учесть, что при построении векторного многоугольника у всех векторов стрелки должны быть направлены в одну сторону, а у вектора — в противоположную.

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Последовательно применяя аксиому параллелограмма сил, получаем, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору ) этих сил и приложенную в точке их пересечения.

Разложение сил

Разложение сил — это разложение равнодействующей силы на систему сил. Эта задача является неопределенной и имеет однозначное решение лишь при задании дополнительных условий.

Разложение силы по двум заданным направлениям. Для того чтобы разложить силу необходимо знать направление, по которым будет выполнено разложение.

Например, по направлению прямых и Сила является диагональю в параллелограмме, а силы, на которые она раскладывается, сторонами этого параллелограмма. Аналогичное разложение можно выполнить с помощью силового треугольника (рис. 1.12).

Разложение силы по трем заданным направлениям. Решение этой задачи сводится к построению такого параллепипеда, у которого диагональю является данная сила а ребра параллельны заданным направлениям.

Пример. Кронштейн состоит из стержней и соединенных со стеной и друг с другом шарнирами. к шарниру подвешен груз весом Пренебрегая весом стержней, найти силу, сжимающую стержни. Реакции стержней направлены вдоль стержней ( и ). Приложим в точке силу и разложим по направлениям стержней и

Из треугольника получим, что

Из того же треугольника найдем, что стержень растягивается с

Далее рассмотрим проекцию силы на ось и на плоскость.

Проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная величине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы. Проекция имеет знак плюс, сели перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси (совпадает по направлению), и знак минус, если в отрицательном (рис. 1.13).

Из вышесказанного определения следует, что проекции силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу.

Проекции силы на ось записываются с индексом, соответствующим данной оси:

На рисунке видно, что

Проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

Проекция силы будет положительной, если этот угол — острый, и отрицательной, если тупой.

Если сила перпендикулярна к оси, то ее проекция на ось равна нулю. Проекцией силы на плоскость называется вектор заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость.

Проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется численным значением и направлением в плоскости (рис. 1.14):

Аналитический способ задания сил

Для аналитического задания силы необходимо выбрать систему координатных осей В механике пользуются правой системой координат.

Величины модуля силы углов которые сила образует с осями координат, определяют данную силу Точки приложения силы задаются координатами (рис. 1.15).

Для решения задач статики более удобно задавать силу ее проекциями:

Возведя равенство 1 почленно в квадрат и складывая их получим

Когда все рассматриваемые силы лежат в одной плоскости, то каждую из сил можно задать се проекциями на две оси и

Аналитический способ сложения сил

Сложение сил. Переход от зависимостей между векторами к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы геометрии: проекция вектора силы на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось (рис. 1.16).

Если вектор силы

где

Для любой системы сил равнодействующая (или главный вектор ) будет равна Согласно теореме будем иметь следующее:

Зная получим

Формулы (1.1) и (1.2) позволяют решить задачу о сложении сил аналитически. Для сил, лежащих в одной плоскости, формулы (1.1) и (1.2) примут вид

Равновесие плоской системы сходящихся сил

Твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешивающие внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение «по инерции». Например, поступательное равномерное или прямолинейное движение тела. Отсюда можно сделать следующие выводы:

• 1. Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, так и на тело, движущееся «по инерции».
• 2. В покос тело будет находиться лишь в том случае, если оно было в покос и до момента приложения к нему уравновешенных сил.
• 3. Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая сил была равна нулю.
• 4. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.

Геометрическое условие равновесия. Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на этих силах, был замкнут.

Аналитическое условие равновесия. Так как то равнодействующая только в том случае, когда

Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух координатных осей были равны нулю:

Теорема о трех силах. Если свободное твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке.

При решении задач о равновесии несвободного тела реакции наложенных связей являются величинами неизвестными. Соответствующая задача статики может быть решена только тогда, когда число неизвестных реакций связей не превышает числа уравнений равновесия, содержащих эти реакции. Такие задачи называются статически определимыми.

Задачи, в которых число неизвестных реакций связей больше числа уравнений равновесия, содержащих эти реакции, называются статически неопределимыми (рис. 1.17).

Например, груз подвешен на трех стержнях. В этом случае для плоской системы сходящихся сил можно составить только два уравнения равновесия, а неизвестных усилий будет три. Поэтому данная система статически неопределима.

Момент силы относительно центра или точки

Под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра.

Вращательный эффект силы характеризуется ее моментом.

Моментом силы относительно центра называется произведение модуля силы на длину плеча, взятое с соответствующим знаком (рис. 1.18):

где — плечо, т.е. перпендикуляр, опущенный из центра на линию действия силы, или наикратчайшее расстояние от центра до линии действия сиы.

Правило знаков для момента. Момент имеет знак плюс, если сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки.

Момент имеет знак минус, если сила стремится повернуть тело по ходу часовой стрелки.

Основные свойства момента силы:

• 1. Момент силы не изменится при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия.
• 2. Момент силы относительно центра равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр (плечо равно нулю).

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра.

Аналитические условия равновесия сходящихся сил можно выразить не только через проекции этих сил, но и через моменты (рис. 1.19). На основании теоремы Вариньона можно записать еще одну форму условий равновесия плоской системы сходящихся сил:

где и — любые точки, не лежащие на одной прямой с точкой в которой сходятся силы.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Услуги по теоретической механике:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторовСкачать

Сложение и разложение сил

Большинство задач статики связано с операцией сложения сил и разложения их на составляющие. Величину, равную геометрической сумме сил, называют главным вектором. Рассмотрим способы сложения сил.

1. Геометрический способ сложения сил. Если к телу приложены две силы, то сложить их можно по правилу параллелограмма (рис. 1.8, а) или треугольника (рис. 1.8, б):

Главный вектор системы сил определяется либо последовательным сложением сил по одному из описанных выше правил, либо построением силового многоугольника (рис. 1.8, в):

2. Аналитический способ сложения сил основывается на понятии проекции силы на ось, и в его основе лежит следующая теорема геометрии: проекция вектора суммы на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Тогда модуль вектора R равен

а направляющие косинусы —

Рис. 1.8. Сложение сил:

а — по правилу параллелограмма; б— по правилу треугольника; в — силовой многоугольник

Задача разложения силы на составляющие сводится к нахождению нескольких сил, для которых исходная сила является равнодействующей. Эта задача имеет однозначное решение лишь при дополнительных условиях. Чаще всего сила раскладывается по заданным направлениям: на плоскости — по двум направлениям, в пространстве — по трем.

🎦 Видео

ТОПОВЫЙ СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВСкачать

Математика это не ИсламСкачать

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)Скачать

Сложение векторов методом треугольникаСкачать

Сложение векторов, свойства сложения векторов.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Техническая механика/ Определение равнодействующей. Плоская система сходящихся сил.Скачать

Физика | Ликбез по векторамСкачать

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Сложение и вычитание векторовСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

Сложение векторов. Практическая часть. 9 класс.Скачать