Тангенс угла между параллельными прямыми

Угол между прямыми
Содержание
  1. Определение угла между прямыми
  2. Угол между прямыми на плоскости
  3. Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом
  4. Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых
  5. Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых
  6. Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых
  7. Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости
  8. Угол между прямыми в пространстве
  9. Угол между прямыми онлайн
  10. Предупреждение
  11. 1. Угол между прямыми на плоскости
  12. Прямые заданы каноническими уравнениями
  13. 1.1. Определение угла между прямыми
  14. 1.2. Условие параллельности прямых
  15. 1.3. Условие перпендикулярности прямых
  16. Прямые заданы общими уравнениями
  17. 1.4. Определение угла между прямыми
  18. 1.5. Условие параллельности прямых
  19. 1.6. Условие перпендикулярности прямых
  20. 2. Угол между прямыми в пространстве
  21. 2.1. Определение угла между прямыми
  22. 2.2. Условие параллельности прямых
  23. 2.3. Условие перпендикулярности прямых
  24. Угол между прямыми
  25. 🌟 Видео

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Определение угла между прямыми

Тангенс угла между параллельными прямыми

Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

Угол между прямыми на плоскости

Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом

то угол между ними можно найти, используя формулу:

Если знаменатель равен нулю (1 + k 1· k 2 = 0), то прямые перпендикулярны.

Тангенс угла между параллельными прямыми

Соответственно легко найти угол между прямыми

tg γ = tg ( α — β ) = tg α — tg β 1 + tg α ·tg β = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2

Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых

Тангенс угла между параллельными прямыми

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + a y = m t + b

то вектор направляющей имеет вид

Если уравнение прямой задано как

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = — C B значит точка на прямой имеет координаты K(0, — C B ), при y = 0 => x = — C A значит точка на прямой имеет координаты M(- C A , 0). Вектор направляющей KM = .

Если дано каноническое уравнение прямой

то вектор направляющей имеет вид

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b ), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b ). Вектор направляющей KM =

Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых

Тангенс угла между параллельными прямыми

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если уравнение прямой задано как

то вектор нормали имеет вид

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

то вектор нормали имеет вид

Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых

Тангенс угла между параллельными прямыми

sin φ = | a · b | | a | · | b |

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Тангенс угла между параллельными прямыми

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:

tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = 2 — (-3) 1 + 2·(-3) = 5 -5 = 1

Тангенс угла между параллельными прямыми

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.

Для первой прямой направляющий вектор , для второй прямой направляющий вектор

cos φ = |1 · 2 + 2 · 1| 1 2 + 2 2 · 2 2 + 1 2 = 4 5 · 5 = 0.8

Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.

Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.

2 x + 3 y = 0 => y = — 2 3 x ( k 1 = — 2 3 )

x — 2 3 = y 4 => y = 4 3 x — 8 3 ( k 2 = 4 3 )

tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = — 2 3 — 4 3 1 + (- 2 3 )· 4 3 = — 6 3 1 — 8 9 = 18

Видео:7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Угол между прямыми в пространстве

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если дано каноническое уравнение прямой

то направляющий вектор имеет вид

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + a y = m t + b z = n t + c

то направляющий вектор имеет вид

Решение: Так как прямые заданы параметрически, то — направляющий вектор первой прямой, направляющий вектор второй прямой.

cos φ = |2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0| 2 2 + 1 2 + (-1) 2 · 1 2 + (-2) 2 + 0 2 = 0 6 · 5 = 0

Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.

Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор .

Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.

1 — 3 y = 1 + y -1/3 = y — 1/3 -1/3

3 z — 5 2 = z — 5/3 2/3

Получено уравнение второй прямой в канонической форме

x — 2 -2 = y — 1/3 -1/3 = z — 5/3 2/3

— направляющий вектор второй прямой.

cos φ = 3·(-2) + 4·(- 1 3 ) + 5· 2 3 3 2 + 4 2 + 5 2 · (-2) 2 + (- 1 3 ) 2 + ( 2 3 ) 2 = -6 — 4 3 + 10 3 9 + 16 + 25 · 4 + 1 9 + 4 9 = -4 50 · 41/9 = 12 5 82 = 6 82 205

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Тангенс угла между параллельными прямыми,(1.1)
Тангенс угла между параллельными прямыми,(1.2)

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).

Тангенс угла между параллельными прямыми,
Тангенс угла между параллельными прямыми,(1.3)

Из выражения (1.3) получим:

Тангенс угла между параллельными прямымиТангенс угла между параллельными прямыми.(1.4)

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Тангенс угла между параллельными прямыми.(1.5)
Тангенс угла между параллельными прямыми.(1.6)
Тангенс угла между параллельными прямыми.

Упростим и решим:

Тангенс угла между параллельными прямыми.
Тангенс угла между параллельными прямыми

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Тангенс угла между параллельными прямыми

Угол между прямыми равен:

Тангенс угла между параллельными прямыми

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Тангенс угла между параллельными прямыми.(1.7)

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

Тангенс угла между параллельными прямыми,
Тангенс угла между параллельными прямыми,
Тангенс угла между параллельными прямымиТангенс угла между параллельными прямыми,
Тангенс угла между параллельными прямыми,
Тангенс угла между параллельными прямыми,
Тангенс угла между параллельными прямыми.(1.8)

Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:

Тангенс угла между параллельными прямыми.(1.9)

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Тангенс угла между параллельными прямыми.(1.10)
Тангенс угла между параллельными прямыми.(1.11)
Тангенс угла между параллельными прямыми, Тангенс угла между параллельными прямыми.

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Тангенс угла между параллельными прямыми.(1.12)

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Тангенс угла между параллельными прямыми.(1.13)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Тангенс угла между параллельными прямыми(1.14)
Тангенс угла между параллельными прямыми.(1.15)
Тангенс угла между параллельными прямыми.(16)

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

Тангенс угла между параллельными прямыми(1.17)
Тангенс угла между параллельными прямыми.(1.18)

Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).

Тангенс угла между параллельными прямыми.

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

Тангенс угла между параллельными прямыми.(1.19)

Из уравнения (19) получим

Тангенс угла между параллельными прямымиТангенс угла между параллельными прямыми.(1.20)

Пример 4. Найти угол между прямыми

5x1−2x2+3=0(1.21)
x1+3x2−1=0.(1.22)
Тангенс угла между параллельными прямыми(23)
Тангенс угла между параллельными прямыми

Упростим и решим:

Тангенс угла между параллельными прямыми
Тангенс угла между параллельными прямыми

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Тангенс угла между параллельными прямыми

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

Тангенс угла между параллельными прямыми.(1.24)

С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:

Тангенс угла между параллельными прямыми.(1.25)

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

4x+2y+2=0(1.26)

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда

A1A2+B1B2=0.(1.28)

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

4x−1y+2=0(1.29)
2x+8y−14=0.(1.30)

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Видео:14. Угол между прямыми в пространствеСкачать

14. Угол между прямыми в пространстве

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Тангенс угла между параллельными прямыми,(2.1)
Тангенс угла между параллельными прямыми,(2.2)

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .

Тангенс угла между параллельными прямыми,(2.3)

Из выражения (2.3) получим:

Тангенс угла между параллельными прямымиТангенс угла между параллельными прямыми.(2.4)

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Тангенс угла между параллельными прямыми.(2.5)
Тангенс угла между параллельными прямыми(2.6)
Тангенс угла между параллельными прямымиТангенс угла между параллельными прямыми.
Тангенс угла между параллельными прямыми.

Упростим и решим:

Тангенс угла между параллельными прямыми.
Тангенс угла между параллельными прямыми

Угол между прямыми равен:

Тангенс угла между параллельными прямыми

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

m1=αm2, p1=αp2, l1=αl2(2.7)

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

Тангенс угла между параллельными прямыми(2.8)

Отметим, что любую пропорцию Тангенс угла между параллельными прямыминужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Тангенс угла между параллельными прямыми.(2.9)
Тангенс угла между параллельными прямыми.(2.10)
Тангенс угла между параллельными прямыми, Тангенс угла между параллельными прямыми, Тангенс угла между параллельными прямыми.

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

Тангенс угла между параллельными прямыми.(2.11)
Тангенс угла между параллельными прямыми.(2.12)
Тангенс угла между параллельными прямыми.(2.13)

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Тангенс угла между параллельными прямыми, Тангенс угла между параллельными прямыми, Тангенс угла между параллельными прямыми.(2.14)

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

Тангенс угла между параллельными прямыми.(2.15)

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Тангенс угла между параллельными прямыми.(2.16)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Тангенс угла между параллельными прямыми(2.17)
Тангенс угла между параллельными прямыми.(2.18)
Тангенс угла между параллельными прямымиТангенс угла между параллельными прямыми.(2.19)

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Видео:9. Угол между прямымиСкачать

9. Угол между прямыми

Угол между прямыми

Данный калькулятор предназначен для вычисления угла между двумя прямыми онлайн.

Две прямые могут иметь три варианта взаимного расположения друг к другу. Они могут совпадать, быть параллельны или же пересекаться. Для определения угла между прямыми наиболее интересным случаем является угол между скрещивающимися (или пересекающимися) прямыми.

Если две прямые имеют одну общую точку, то такие прямые называются пересекающимися. Точка пересечения делит каждую из прямых на два луча. Между лучами пересекающихся прямых образовываются четыре угла (два острых и два тупых). Итак, угол между двумя скрещивающимися прямыми – это наименьший угол (острый), образованный при пересечении этих прямых. Следует отметить, что, если известно значение одного из углов, можно легко найти значения остальных трех углов благодаря свойствам вертикальных и смежных углов.

Для того чтобы найти угол между двумя прямыми с помощью данного калькулятора, необходимо ввести коэффициенты в уравнения прямых и нажать кнопку «Вычислить».

Если прямые заданы следующими уравнениями:

тогда направляющие векторы этих прямых будут равны:

Воспользуемся формулой скалярного произведения двух векторов:

🌟 Видео

Видеоурок "Угол между прямыми"Скачать

Видеоурок "Угол между прямыми"

Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Расстояние между параллельными прямыми

№557. Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DE, причем точки В и D лежатСкачать

№557. Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DE, причем точки В и D лежат

10 класс, 9 урок, Угол между прямымиСкачать

10 класс, 9 урок, Угол между прямыми

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

10 класс - Геометрия - Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямымиСкачать

10 класс - Геометрия - Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.Скачать

Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.

Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.

Угол между прямыми!Скачать

Угол между прямыми!

Готовимся к ЕГЭ. Стереометрия. Базовые задачи. Угол между прямыми. КубСкачать

Готовимся к ЕГЭ. Стереометрия. Базовые задачи. Угол между прямыми. Куб

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей
Поделиться или сохранить к себе: