Таблица знаков тангенса и котангенса по четвертям окружности (4 видео)

Знаки тригонометрических функций

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.

угла α — это ордината (координата y ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

угла α — это абсцисса (координата x ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .

Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:

Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным — положительное направление оси OX (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:

sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата y ). А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же — абсцисса) будет больше нуля;
tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y : x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают. Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти ( x y II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) II четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) II координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это II четверть, т.е. tg (3π/4) IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.

В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.

Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].

Поскольку sin 2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.

Задача. Найдите cos α, если cos 2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].

Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.

Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].

Имеем: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.

Задача. Найдите tg α, если tg 2 α = 9 и α ∈ [0; π/2].

Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!

Содержание

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Свойство периодичности
Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов
🌟 Видео

Видео:Знаки синуса, косинуса, тангенса ЛекцияСкачать

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №31. Знаки синуса, косинуса и тангенса

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса;

2)Зависимость знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса от положения точки, движущейся по тригонометрической окружности, от произвольного угла;

3) Знаки тригонометрического выражения.

Глоссарий по теме

Число (пи) – математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Равна приблизительно 3,14.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Какие знаки имеюткоординаты точки в зависимости от их положения в системе координат?

У точек первой четверти

у точек второй четверти

у точек третьей четверти

у точек четвёртой четверти

В какой координатной четверти находятся точки с указанными координатами

А если точка находится на тригонометрической окружности, то как узнать зависимость знака координат точки от угла поворота вокруг начала координат?

Сегодня на уроке мы узнаем знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, научимся определять положение точки на тригонометрической окружности в зависимости от комбинации знаков синуса и косинуса, тангенса и котангенса.

1.Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу.

Точка Р(1;0) при повороте вокруг начала координат на угол переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты.

Синусом углаявляется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол .

Косинусом углаявляется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол .

Если угол то точка Рₐ находится в первой четверти, здесь , значит

, .

Если угол , то точка Рₐ находится во второй четверти, здесь , , значит , .

Если угол , то точка Рₐ находится в третьей четверти, здесь , , значит

, .

Если угол , то точка Рₐ находится в четвертой четверти, здесь , , значит ,

На рисунке видно какие знаки имеет синус, а какие косинус.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример1. Определить знаки синуса и косинуса угла .

Решение: Выясним, в какой четверти находится точка, полученная поворотом на угол .

во второй четверти синусы положительны, косинусы отрицательны.

Ответ:

Пример 2. Определить знаки синуса и косинуса угла .

Решение: Полный угол, при котором точка «обойдёт» всю окружность, равен .

а это значит, что точка после 2 оборотов окажется в первой четверти, где синус и косинус положительны.

Ответ:

Определить знаки синуса и косинуса угла .

Решение: Угол отрицательный, значит точка получена поворотом по часовой стрелке.

в 4 четверти синусы отрицательны, косинусы положительны.

Ответ: синус отрицательный, косинус положительный.

Определить знаки .

Решение: Знаем, что, а . Значит, . Точка во второй четверти.

Ответ:

2.Знаки тангенса и котангенса.

Тангенс это отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс это отношение косинуса угла к его синусу: .

Тангенс и котангенс будут положительными там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это первая и третья четверти. Синус и косинус имеют разные знаки во второй и четвёртой четвертях, здесь тангенс и котангенс будут отрицательны. На рисунке изображены знаки тангенса и котангенса.

Определить знак тангенса угла

Решение , угол второй четверти

Определить знак тангенса угла .

Решение: Угол в третьей четверти, тангенс положительный.

Ответ:

Вывод: чтобы определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, нужно:

выяснить в какой координатной четверти находится угол;
знак синусов такой же, как ордината точки (у).
знак косинусов такой же, как абсцисса точки (х).
тангенсы и котангенсы положительны там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки(1ч. и 4ч.), отрицательны, где синус и косинус имеют противоположные знаки (2ч. и 3ч.).

Видео:Знаки тригонометрических функций. 9 класс.Скачать

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Первое свойство — знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α . Второе свойство — периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и — α .

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: «угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти». Что это такое?

Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A 0 ( 1 , 0 ) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α , попадем в точку A 1 ( x , y ) . В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A 1 ( x , y ) , угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.

Для наглядности приведем иллюстрацию.

Угол α = 30 ° лежит в первой четверти. Угол — 210 ° является углом второй четверти. Угол 585 ° — угол третьей четверти. Угол — 45 ° — это угол четвертой четверти.

При этом углы ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.

Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.

Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус — это ордината точки A 1 ( x , y ) . Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной — отрицательна.

Косинус — это абсцисса точки A 1 ( x , y ) . В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.

Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс — отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки — отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.

Синус угла α имеет знак плюс в 1 и 2 четвертях, знак минус — в 3 и 4 четвертях.
Косинус угла α имеет знак плюс в 1 и 4 четвертях, знак минус — в 2 и 3 четвертях.
Тангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус — в 2 и 4 четвертях.
Котангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус — в 2 и 4 четвертях.

Видео:Спидран: Как запомнить таблицу синусов и косинусов за 1 минуту? Евгений ДолжкевичСкачать

Свойство периодичности

Свойство периодичности — одно из самых очевидных свойств тригонометрических функций.

При изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла остаются неизменными.

Действительно, при изменении угла на целое число оборотов мы всегда будем попадать из начальной точки A на единичной окружности в точку A 1 с одними и теми же координатами. Соответственно, не будут меняться и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Математически данное свойство записывается так:

sin α + 2 π · z = sin α cos α + 2 π · z = cos α t g α + 2 π · z = t g α c t g α + 2 π · z = c t g α

Какое применение на практике находит это свойство? Свойство периодичности, как и формулы приведения, часто используется для вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов больших углов.

sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5

t g ( — 689 ° ) = t g ( 31 ° + 360 ° · ( — 2 ) ) = t g 31 ° t g ( — 689 ° ) = t g ( — 329 ° + 360 ° · ( — 1 ) ) = t g ( — 329 ° )

Видео:Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

Вновь обратимся к единичной окружности.

Точка A 1 ( x , y ) — результат поворота начальной точки A 0 ( 1 , 0 ) вокруг центра окружности на угол α . Точка A 2 ( x , — y ) — результат поворота начальной точки на угол — α .

Точки A 1 и A 2 симметричны относительно оси абсцисс. В случае, когда α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° точки A 1 и A 2 совпадают. Пусть одна точка имеет координаты ( x , y ) , а вторая — ( x , — y ) . Вспомним определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и запишем:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin — α = — y , cos — α = x , t g — α = — y x , c t g — α = x — y

Отсюда следует свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.

Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

sin — α = — sin α cos — α = cos α t g — α = — t g α c t g — α = — c t g α

Согласно этому свойству, справедливы равенства

sin — 48 ° = — sin 48 ° , c t g π 9 = — c t g — π 9 , cos 18 ° = cos — 18 °

Рассмотренное свойство часто используется при решении практических задач в случаях, когда нужно избавиться от отрицательных знаков углов в агрументах тригонометрических функций.