Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника в окружности
Содержание
  1. Углы, связанные с окружностью
  2. Вписанные и центральные углы
  3. Теоремы о вписанных и центральных углах
  4. Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
  5. Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
  6. Центральные и вписанные углы
  7. Центральный угол и вписанный угол
  8. Свойства центральных и вписанных углов
  9. Примеры решения задач
  10. Углы в окружности
  11. Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением
  12. Что такое треугольник
  13. Определение треугольника
  14. Сумма углов треугольника
  15. Пример №1
  16. Пример №2
  17. О равенстве геометрических фигур
  18. Пример №3
  19. Пример №4
  20. Признаки равенства треугольников
  21. Пример №5
  22. Пример №6
  23. Равнобедренный треугольник
  24. Пример №7
  25. Пример №10
  26. Прямоугольный треугольник
  27. Первый признак равенства треугольников и его применение
  28. Пример №14
  29. Опровержение утверждений. Контрпример
  30. Перпендикуляр к прямой
  31. Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой
  32. Пример №15
  33. Второй признак равенства треугольников и его применение
  34. Решение геометрических задач «от конца к началу»
  35. Пример №16
  36. Пример №17
  37. Признак равнобедренного треугольника
  38. Пример №18
  39. Прямая и обратная теоремы
  40. Медиана, биссектриса и высота треугольника
  41. Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника
  42. Пример №19
  43. Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .
  44. Пример №20
  45. Третий признак равенства треугольников и его применение
  46. Пример №21
  47. Свойства и признаки
  48. Признаки параллельности прямых
  49. Пример №22
  50. О существовании прямой, параллельной данной
  51. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.
  52. Пример №23
  53. Расстояние между параллельными прямыми
  54. Сумма углов треугольника
  55. Пример №24
  56. Виды треугольников по величине углов. Классификация
  57. Внешний угол треугольника
  58. Прямоугольные треугольники
  59. Прямоугольный треугольник с углом 30°
  60. Сравнение сторон и углов треугольника
  61. Неравенство треугольника
  62. Пример №25
  63. Справочный материал по треугольнику
  64. Треугольники
  65. Средняя линия треугольника и ее свойства
  66. Пример №26
  67. Треугольник и его элементы
  68. Признаки равенства треугольников
  69. Виды треугольников
  70. Внешний угол треугольника
  71. Прямоугольные треугольники
  72. Всё о треугольнике
  73. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника
  74. Первый и второй признаки равенства треугольников
  75. Пример №27
  76. Равнобедренный треугольник и его свойства
  77. Пример №28
  78. Признаки равнобедренного треугольника
  79. Пример №29
  80. Третий признак равенства треугольников
  81. Теоремы
  82. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
  83. Параллельные прямые
  84. Пример №30
  85. Признаки параллельности двух прямых
  86. Пример №31
  87. Пятый постулат Евклида
  88. Пример №34
  89. Прямоугольный треугольник
  90. Пример №35
  91. Свойства прямоугольного треугольника
  92. Пример №36
  93. Пример №37
  94. Решение треугольников онлайн
  95. Решение треугольника по трем сторонам
  96. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
  97. Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Видео:Внешний угол треугольникаСкачать

Внешний угол треугольника

Углы, связанные с окружностью

Как найти внутренний угол треугольникаВписанные и центральные углы
Как найти внутренний угол треугольникаУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Как найти внутренний угол треугольникаДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Как найти внутренний угол треугольника

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Как найти внутренний угол треугольника

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:ВНЕШНИЕ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА 😉 #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

ВНЕШНИЕ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА 😉  #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ

Теоремы о вписанных и центральных углах

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголКак найти внутренний угол треугольника

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный уголКак найти внутренний угол треугольникаВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.Вписанный уголКак найти внутренний угол треугольникаВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хордыВписанный уголКак найти внутренний угол треугольникаДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хордыВписанный уголКак найти внутренний угол треугольникаВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметрОкружность, описанная около прямоугольного треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Как найти внутренний угол треугольника

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Как найти внутренний угол треугольника

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Как найти внутренний угол треугольника

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Как найти внутренний угол треугольника

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Как найти внутренний угол треугольника

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Как найти внутренний угол треугольника

Видео:Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний Угол

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника
ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиКак найти внутренний угол треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Как найти внутренний угол треугольникаУгол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаКак найти внутренний угол треугольника

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Как найти внутренний угол треугольникаУгол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияКак найти внутренний угол треугольника

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Как найти внутренний угол треугольникаУгол, образованный касательной и секущейКак найти внутренний угол треугольника

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Как найти внутренний угол треугольникаУгол, образованный двумя касательными к окружностиКак найти внутренний угол треугольника

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Как найти внутренний угол треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Вычисляем угол через координаты вершинСкачать

Вычисляем угол через координаты вершин

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Как найти внутренний угол треугольника

В этом случае справедливы равенства

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Как найти внутренний угол треугольника

В этом случае справедливы равенства

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Как найти внутренний угол треугольника

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Центральные и вписанные углы

Как найти внутренний угол треугольника

О чем эта статья:

Видео:Сумма внутренних углов треугольникаСкачать

Сумма внутренних углов треугольника

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать

Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углы

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Как найти внутренний угол треугольника

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Как найти внутренний угол треугольника

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Как найти внутренний угол треугольника

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Как найти внутренний угол треугольника

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Как найти внутренний угол треугольника

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Как найти внутренний угол треугольника

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Как найти внутренний угол треугольника

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Как найти внутренний угол треугольника

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:7 класс. Внешний угол треугольника.Скачать

7 класс. Внешний угол треугольника.

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Как найти внутренний угол треугольника

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Как найти внутренний угол треугольника

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Как найти внутренний угол треугольника

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольникСкачать

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольник

Углы в окружности

Рассмотрим углы в окружности и углы, связанные с окружностью.

  • Угол с вершиной в центре окружности.
  • Угол с вершиной на окружности (его стороны пересекают окружность).
  • Угол с вершиной внутри окружности (не в центре).
  • Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность.

I. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Стороны центрального угла разбивают окружность на две части. Дугой, соответствующей данному центральному углу, называется та часть, которая содержится внутри угла.

Как найти внутренний угол треугольникаНапример, центральному углу AOC соответствует дуга AC (или дуга AFC. Обычно дугу называют двумя буквами. Но, поскольку любую из двух, на которые точки A и C делят окружность, можно назвать AC, то третью, дополнительную букву, иногда используют для уточнения выбранной дуги).

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла:

Как найти внутренний угол треугольникаII. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Стороны вписанного угла также разбивают окружность на две дуги. Говорят, что вписанный угол опирается на лугу, которая лежит внутри него.

Например, вписанный угол ABC опирается на дугу AC (или дугу AFC).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

Как найти внутренний угол треугольника

Есть другой вариант формулировки свойства вписанного угла.

Как найти внутренний угол треугольникаВписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла:

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольникаВписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

И наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Другая формулировка этого утверждения:

(обратно: Если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр).

III. Угол, вершина которого лежит в окружности — это угол между пересекающимися хордами.

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

IV. Угол с вершиной вне окружности, обе стороны которого пересекают окружность — это угол между секущими, которые пересекаются вне окружности.

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением

Содержание:

Треугольники и его элементы:

Определение: Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин треугольника), не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (сторон треугольника), попарно соединяющих эти точки.

Треугольник обозначается знаком Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке 54 изображен треугольник с вершинами А, B, С и сторонами АВ, ВС, АС. Этот треугольник можно обозначить так: Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Определение: Углом треугольника ABC при вершине А называется угол ВАС.

Угол треугольника обозначают тремя буквами (например, «угол ABC») или одной буквой, которая указывает его вершину (например, «угол А треугольника ABC »).

Если вершина данного угла треугольника не принадлежит стороне, то говорят, что данный угол противолежащий этой стороне. В противном случае угол является прилежащим к стороне. Так, в треугольнике ABC угол А — прилежащий к сторонам АВ и АС и противолежащий стороне ВС. Стороны и углы треугольника часто называют его элементами

Определение: Периметром треугольника называется сумма всех его сторон.

Периметр — от греческого «пери» — вокруг и «метрео» — измеряю, измеренный вокруг.

Периметр обозначается буквой Р. По определению — Как найти внутренний угол треугольникаЛюбой треугольник ограничивает часть плоскости. Будем считать, что точки, принадлежащие этой части, расположены внутри треугольника, а точки, которые ей не принадлежат,— вне треугольника.

Роль треугольника в геометрии трудно переоценить. Ученые не зря называют треугольники клетками организма геометрии. Действительно, многие более сложные геометрические фигуры можно разбить на треугольники.

В этой главе мы не только изучим «внутрен нее устройство» треугольников и выделим их виды, но и докажем признаки, по которым можно установить равенство треугольников, сравнивая их стороны и углы. Полученные в ходе наших рассуждений теоремы и соотношения расширят ваши представления об отрезках и углах, параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

В процессе решения задач и доказательства теорем о свойствах треугольников вам предстоит освоить важные геометрические методы, которые помогут в ходе дальнейшего изучения геометрии.

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ТРАНСПОРТИРОМ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ТРАНСПОРТИРОМ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 класс

Что такое треугольник

Рассмотрим понятие треугольника. Пусть на плоскости дана трехзвенная замкнутая ломаная. Тогда эта ломаная разделяет множество оставшихся точек плоскости на ограниченную и неограниченную фигуры. При этом ограниченная фигура называется частью плоскости, ограниченной данной ломаной. Например, на рисунке 59, а изображена часть плоскости, ограниченная трехзвенной замкнутой ломаной ABC.

Определение. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трехзвенной замкнутой ломаной и части плоскости, ограниченной этой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а звенья ломаной — сторонами треугольника.

Точки треугольника, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними.

Треугольник, вершинами которого являются точки А, В и С, обозначается следующим образом: Как найти внутренний угол треугольникаАВС (читают: «Треугольник ABC»). Этот же треугольник можно обозначать и так: Как найти внутренний угол треугольникаBСА или Как найти внутренний угол треугольникаCАВ.

На рисунке 59, а изображен треугольник ABC. Точки А, В и С — вершины этого треугольника, а отрезки AB, ВС и АС — его стороны. На рисунке 59, B показан треугольник AFD, содержащийся в грани куба.

Как найти внутренний угол треугольника

Углы АBС, АСВ и САВ (см. рис. 59, а) называются внутренними углами треугольника ABC или просто углами треугольника. Иногда они обозначаются одной буквой: Как найти внутренний угол треугольникаA, Как найти внутренний угол треугольникаB, Как найти внутренний угол треугольникаC. Стороны и углы треугольника называются его элементами.

На рисунке 59, в изображены треугольники ABC и ACD, у которых общая сторона АС. Угол ВАС — внутренний угол треугольника ВАС, Как найти внутренний угол треугольникаACD — внутренний угол треугольника ACD.

Периметром треугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр треугольника ABC обозначается PABC.

Конструкции, имеющие треугольную форму, применяются при строительстве архитектурных сооружений, мостов и жилых зданий. Например, при постройке крыш некоторых домов используются стропила, имеющие форму треугольников (рис. 60, а).

Для треугольников, как и любых геометрических фигур, определяется понятие их равенства.

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением, т. е. можно совместить их вершины, стороны и углы.

Рассмотрим пример. Если лист бумаги, имеющий форму прямоугольника, разрезать на две части, как показано на рисунке 60, б, то мы получим модели равных треугольников. Непосредственно можно убедиться, что полученные части можно наложить одна на другую так, что они совместятся.

Как найти внутренний угол треугольника

Два равных треугольника ABC и A1B1C1 (рис. 60, в) можно совместить так, что попарно совместятся их вершины, стороны и углы. Другими словами, если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника. Подчеркнем, что:

  • в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы;
  • в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1 , изображенных на рисунке 60, в, против равных сторон ВС и В1С1 лежат равные углы А и А1. Против равных углов С и С1 лежат равные стороны AB и A1B1.

Если треугольники ABC и A1B1C1 равны, то это обозначается следующим образом: Как найти внутренний угол треугольникаABC = Как найти внутренний угол треугольникаA1B1C1

Заметим, что для установления равенства треугольников необязательно их совмещать один с другим, а достаточно сравнить некоторые их элементы (стороны и углы).

Для доказательства равенства треугольников пользуются соответствующими теоремами (признаками), которые позволяют на основании равенства некоторых элементов треугольников делать вывод о равенстве самих треугольников.

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Определение треугольника

Треугольник — замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев. Или часть плоскости, ограниченная этой ломаной. У каждого треугольника три стороны, три вершины и три угла. Сумма длин сторон треугольника — его периметр.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Важную роль в геометрии играют признаки равенства треугольников. Две фигуры называются равными, если их можно совместить. ЕслиКак найти внутренний угол треугольника, тоКак найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

Три признака равенства треугольников:

Два треугольника равны, если: две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника (I); или если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника (II); или если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (III).

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны равнобедренного треугольники называются боковыми сторонами, а третья — его основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Если у треугольника все стороны равны, его называют равно сторонним треугольником. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

В зависимости от углов треугольники делят на остроуголь ные, прямоугольные, и тупоугольные. Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, а две другие — катетами.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух другим его сторон и больше их разности. Какие бы ни были три точки плоскости А, В и С, всегда АВ + ВС > АС.

В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.

Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, получится треугольник. Другими словами: треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. На рисунке 119 изображён треугольник ABC (пишут: Как найти внутренний угол треугольника). Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ, ВС и СА — стороны этого треугольника. Каждый треугольник имеет три вершины и три стороны.

Как найти внутренний угол треугольника

Много разных моделей треугольников можно увидеть в подъемных кранах, заводских конструкциях, различных архитектурных строениях (рис. 120).

Как найти внутренний угол треугольника

Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Почему?Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой его противолежащей стороны, — медиана треугольника. Отрезок биссектрисы угла треугольника от его вершины до противолежащей стороны — биссектриса треугольника. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которой принадлежит его противолежащая сторона, — высота треугольника. На рисунке 121 изображен Как найти внутренний угол треугольника, в котором из вершины С проведены: медиана СМ, биссектриса CL и высота СН.

Как найти внутренний угол треугольника

Каждый треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и три высоты.

Треугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Фигура, состоящая из треугольника и его внутренней области, также называется треугольником.

Углами треугольника ABC называют углы ВАС, ABC и АСИ. Их обозначают еще так: Как найти внутренний угол треугольника. Каждый треугольник имеет три угла.

Если треугольник имеет прямой или тупой угол, его называют соответственно прямоугольным или тупоугольным треугольником. Треугольник, все углы которого острые, называется остроугольным. На рисунке 122 изображены остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Их внутренние области закрашены.

Как найти внутренний угол треугольника

Словом треугольник геометры называют два разных понятия: и замкнутую ломаную из трех звеньев, и такую ломаную вместе с ограниченной ею внутренней частью плоскости. Подобно тому, как стороной треугольника иногда называют отрезок, иногда — длину этого отрезка, высотой треугольника называют и определенный отрезок, и его длину.

Так делают для удобства: чтобы каждый раз не говорить, например, «длина высоты треугольника равна 5 см», договорились говорить проще: «высота треугольника равна 5 см».

Каждый многоугольник можно разрезать на несколько треугольников. Поэтому треугольники в геометрии играют такую важную роль, как атомы в физике, как кирпичи в доме. Существует даже отдельная часть геометрии, интересная и содержательная: геометрия треугольника.

Пример:

На сколько частей могут разбивать плоскость два ее треугольника?

Решение:

Если два треугольника расположены в одной плоскости, то они могут разбить ее максимум на 8 частей (рис. 123). Мысленно передвигая один из двух данных треугольников так, чтобы сначала один из образованных их пересечением треугольник превратился в точку, потом-второй и т. д., убеждаемся, что два треугольника могут разбивать плоскость на 3, 4, 5, 6, 7, 8 частей (рис. 124). Лишь когда два треугольника равны и совмещены друг с другом, они разбивают плоскость на 2 части.

Как найти внутренний угол треугольника

Пример:

Среднее арифметическое всех сторон треугольника равно т. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Если a, b, c — стороны треугольника, а Р — его периметр , то
Как найти внутренний угол треугольника

Сумма углов треугольника

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 127). Через его вершину С проведем прямую КР, параллельную АВ.

Как найти внутренний угол треугольника

11олученные углы АСК и ВСР обозначим цифрами 1 и 2. ТогдаКак найти внутренний угол треугольникакак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и КР и секущих АС и ВС. Углы 1, 2 и С в сумме равны развернутому углу, то есть 180°. Поэтому

Как найти внутренний угол треугольника

В доказанной теореме 8 речь идет о сумме мер углов треугольника. Но для упрощения формулировок вместо «мера угла» часто употребляют слово «угол».

Треугольник не может иметь два прямых или два тупых угла, В каждом треугольнике по крайней мере два угла — острые.

Иногда кроме углов треугольника (внутренних) рассматривают также его внешние углы. Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной треугольника и продолжением его другой стороны. Например, внешним углом треугольника ABC при вершине А является угол КАС (рис. 128).

Как найти внутренний угол треугольника

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольникаВНИМАНИЕ! При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла, продлив ту или иную его сторону. Например, каждый из углов КАС и РАВ — внешний угол треугольника ABC при вершине А (рис. 129). Такие два внешних угла — вертикальные, поэтому равны друг другу.

Теорему о сумме углов треугольника можно обобщить и распространить на произвольные многоугольники.

Каждый четырехугольник можно разрезать на два треугольника, соединив его противолежащие вершины отрезком. (Если один из углов четырехугольника больше развернутого, то именно его вершину следует соединить с противолежащей, как на рисунке 130.) Сумма всех углов четырех- ‘ угольника равна сумме всех углов двух образованных треугольников, то есть 180° • 2. Таким образом, сумма углов любого четырехугольника равна 360°.

Как найти внутренний угол треугольника

Произвольный пятиугольник можно разрезать на четырехугольник и треугольник или на 3 треугольника (рис. 131). Таким образом, сумма углов пятиугольника равна 180° • 3, то есть 540°.

Как найти внутренний угол треугольника

Попробуйте написать формулу, по которой можно вычислить сумму углов произвольного n-угольника.

Пример №1

Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых при каждой вершине по одному?

Решение:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Обозначим его внешние углы 1, 2 и 3 (рис. 132). Согласно теореме о внешнем угле треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим:

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Пример №2

Докажите, что в каждом треугольнике есть угол не больше 60° и угол не меньше 60°.

Решение:

Если бы каждый угол треугольника был меньше 60°, то сумма всех его углов составляла бы меньше 180°, а это невозможно. Если бы каждый угол треугольника был больше 60°, то сумма всех его углов была бы больше 180°, что также невозможно.

Следовательно, в каждом треугольнике есть угол не ‘ больше 60° и угол не меньше 60°.

О равенстве геометрических фигур

На рисунке 136 изображены два треугольника. Представьте, что один из них начерчен на бумаге, и второй — на прозрачной пленке. Передвигая пленку, второй треугольник можно совместить с первым. Говорят: если данные треугольники можно совместить движением, то они равны. Равными друг другу бывают не только треугольники, но и отрезки, углы, окружности и другие фигуры.

Изображенные на рисунке 137 фигуры тоже равны, потому что их можно совместить, согнув лист бумаги по прямой I. Л фигуры, изображенные на рисунке 138, не равны, их нельзя Совместить.
Для обозначения равных фигур используют знак равенства Как найти внутренний угол треугольника. Например, Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Если каждая из двух фигур равна третьей, то первая и вторая фигуры также равны.

С равными фигурами часто приходится иметь дело многим специалистам. В форме равных прямоугольников изготовляют листы жести, фанеры, стекла, облицовочную плитку, паркетины и т. д. Равны все листы бумаги из одной пачки, соответствующие детали двух машин одной марки.Чтобы выяснить, равны ли две фигуры, можно попробовать их совместить. Но на практике это не всегда удается осуществить. Например, таким способом нельзя определить, равны ли два земельных участка. Поэтому приходится искать другие способы, выявлять признаки равенства тех или иных фигур. Например, если радиусы двух окружностей равны, то равны и сами окружности. Это — признак равенства окружностей. В следующем параграфе мы рассмотрим признаки равенства треугольников.

Треугольник с вершинами А, В и С можно обозначать по-разному: Как найти внутренний угол треугольникаи т. д. Однако для удобства договоримся, что когда пишут Как найти внутренний угол треугольника, то подразумевают, что Как найти внутренний угол треугольникаАВ = КР, АС = КТ, ВС = РТ.

Слово равенство в математике и других науках употребляется достаточно часто. Говорят, в частности, о равенстве чисел, равенстве выражений, равенстве значений величин. Равенство геометрических фигур — это отношение. Оно имеет следующие свойства:

  1. каждая фигура равна самой себе;
  2. если фигура А равна фигуре В, то и фигура В равна А;
  3. если фигура А равна В, а фигура В равна С, то фигуры А и С также равны.

Нередко из равенства одних фигур либо величин следует и равенство других фигур либо величин, но — не всегда. Например, если треугольники равны, то и их периметры равны. Однако если периметры двух треугольников равны, то это еще не значит, что равны и сами треугольники. То же самое: если треугольники равны, то и их площади равны. Но если площади двух треугольников равны, это еще не означает, что и треугольники равны.

Очень часто для обоснования равенства тех или иных фигур необходимо обосновать равенство некоторых треугольников. Вот почему вопросу о равенстве треугольников в геометрии придают такое важное значение: большинство теорем школьной геометрии доказывают, используя признаки равенства треугольников.

Пример №3

Равны ли углы, изображенные на рисунке 139?

Решение:

Стороны угла — лучи. Хотя на рисунке они изображены неравными отрезками, но следует представить их в виде бесконечных лучей. Поскольку каждый из этих углов имеет 35° (проверьте), то они равны.

Пример №4

Докажите, что треугольники не могут быть равными, если не равны их наибольшие углы.

Решение:

Пусть у треугольников ABC и КРТ

Как найти внутренний угол треугольника. Если бы данные треугольники были равны, их можно было бы совместить. Тогда наибольший угол А треугольника ABC совместился бы с наибольшим углом К треугольника КРТ. Это невозможно, поскольку Как найти внутренний угол треугольника. Значит, данные треугольники не могут быть равными.

Как найти внутренний угол треугольника

Признаки равенства треугольников

Если треугольники ABC и Как найти внутренний угол треугольникавины друг другу, то их можно совместить. При этом если совместятся вершины Как найти внутренний угол треугольникаи то совместятся и стороны:Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольникаЗначит, если Как найти внутренний угол треугольникато Как найти внутренний угол треугольника,Как найти внутренний угол треугольникаЧтобы доказать, что данные треугольники равны, не обязательно убеждаться в истинности всех шести равенств.

Теорема: (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Как найти внутренний угол треугольника— два треугольника, у которыхКак найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника(рис. 1;46). Докажем, что Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

Наложим Как найти внутренний угол треугольникатаким образом, чтобы вершина Как найти внутренний угол треугольникасовместилась А, вершина Как найти внутренний угол треугольника— с В, а сторона Как найти внутренний угол треугольниканаложилась на луч АС. Это можно сделать, потому что по условиюКак найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника. Поскольку Как найти внутренний угол треугольника, то при таком положении точка Как найти внутренний угол треугольникасовместится с С. В результате все вершины Как найти внутренний угол треугольникасовместятся с соответствующими вершинами

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Теорема: (второй признак равенства треугольников). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

*Существуют также и другие признаки равенства треугольников (см. теорему 14).
На признаки равенства треугольников нам придется ссылаться часто. Чтобы не путать, какой из них назвали первым, какой — вторым и т. д., их лучше всего различать по смыслу, говорить о признаке равенства треугольников:

  1. по двум сторонам и углу между ними;
  2. по стороне и двум прилежащим углам,
  3. по трем сторонам (его докажем позже).

Эти признаки равенства треугольников называют общими признаками, поскольку они верны для любых треугольников. Кроме них, есть еще признаки равенства прямоугольных треугольников, равнобедренных треугольников и др.

Два равносторонних треугольника равны, если сторона одного из них равна стороне другого.

Попробуйте доказать этот признак, воспользовавшись общими признаками.

Пример №5

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD и СО = ОВ. Докажите, что АС = BD.

Решение:

Рассмотрим треугольники АСО и DBO (рис. 148). Их углы при вершине О вертикальные, значит, равны. Соответственные стороны тоже равны:

АО = OD, СО = ОВ. По первому признаку равенства треугольников Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольникаСтороны АС и BD этих треугольников соответственные, поскольку лежат против равных углов при вершине О. Следовательно, АС = BD.

Как найти внутренний угол треугольника

Пример №6

Две стороны треугольника равны. Докажите, что и медианы, проведенные к этим сторонам, также равны.

Как найти внутренний угол треугольника

Решение:

Пусть у Как найти внутренний угол треугольникасторона АВ = АС, а ВК и СР — медианы (рис. 149). АР = = АК, как половины равных сторон. Как найти внутренний угол треугольника, поскольку АВ = = АС, АК = АР и угол А общий. Следовательно, ВК = СР.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью его сторону — основанием.

Треугольник, не являющийся равнобедренным, называют разносторонним. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним. Это отдельный вид равнобедренного треугольника (рис. 161).

Как найти внутренний угол треугольника

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Доказательство:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием ВС (рис. 162). Биссектриса AL разбивает его на треугольники ABL и ACL. Поскольку АВ = AC, AL — общая сторона, Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника, то по двум сторонам и углу между ними Как найти внутренний угол треугольника. Из равенства этих треугольников следует:

а) Как найти внутренний угол треугольника, то есть углы при основании Как найти внутренний угол треугольникаравны;

б) BL = CL, то есть AL — медиана Как найти внутренний угол треугольника

в) Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Теорема: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство:

Пусть в Как найти внутренний угол треугольника(рис. 162). Докажем, что АВ =АС. Проведем биссектрису AL. Она делит данный треугольник И я два: Как найти внутренний угол треугольникаУ нихКак найти внутренний угол треугольника, Поэтому Как найти внутренний угол треугольника. По стороне AL и прилежащим к ней углам Как найти внутренний угол треугольника. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольника

Из теорем 9 и 10 вытекает такое следствие.

В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны.

Равнобедренный — это имеющий равные бедра. Равные стороны — словно ноги.

Как соотносятся между собой треугольники и равнобедренные треугольники? Равнобедренные треугольники составляют только часть всех треугольников. Говорят, что объем понятия «треугольники» больше объема понятия «равнобедренные треугольники». Такие соотношения принято наглядно изображать диаграммами Эйлера (рис. 163). Те треугольники, которые не являются равнобедренными, называют разносторонними треугольниками. Следовательно, общее понятие «треугольники»можно разделить на два класса: треугольники равнобедренные и треугольники разносторонние (рис. 164):
Как найти внутренний угол треугольника

Пример №7

Две стороны равнобедренного треугольника равны соответственно 2 см и б см. Найдите длину третьей его стороны.

Решение:

Основание данного треугольника не может быть равно б см, поскольку 2 см + 2 см против равных сторон лежат равны’ углы. Поэтому Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Равенство углов BAD и BCD можно доказать двумя способами: либо показать, что каждый из них состоит из двух равных углов Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольника(рис. 175), либо проведя отрезок BD.

Как найти внутренний угол треугольника

Пример №10

На окружности с центром О обозначены точки А, В, К и Р такие, что АВ = КР (рис. 176). Докажите, что Как найти внутренний угол треугольника

Решение:

Проведя в данные точки радиусы, получим треугольники АОВ и КОР. Они равны по трем сторонам, поскольку АВ = КР по условию и ОА = OB = OK = ОР — как радиусы. Поэтому Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой Сумма двух других его углов равна 90° поскольку 180° — 90° = 90°.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, — эп гипотенуза, две другие его стороны катеты (рис. 182). На рисунке прямо! угол иногда обозначают квадратиком. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов.

Как найти внутренний угол треугольника

Позже нам будут необходимы признаки равенства прямо угольных треугольников. Из первого и второго признаков равенства треугольников (§ 12) непосредственно следуют таки АС.

Стороны АВ и АС не могут быть равными, потому что тогда данный треугольник был бы равнобедренным и один из его углов при основании не мог бы быть больше другого.

Не может сторона АВ быть и меньше АС, поскольку тогда угол С был бы меньше угла В. А поскольку сторона АВ не равна АС и не меньше АС, то она больше АС.Как найти внутренний угол треугольника

  1. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета.
  2. Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки к прямой, короче любой наклонной, проведенной и: Как найти внутренний угол треугольника. Если представить, что фигура Как найти внутренний угол треугольникаизображена на прозрачной пленке, то с помощью наложения этой пленки на фигуру Как найти внутренний угол треугольника(той или другой стороной (рис. 55, а, б) можно совместить фигуры Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. В таком случае фигуры Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникапо определению равны.

Как найти внутренний угол треугольника

Для обозначения равенства фигур используют знак математического равенства Как найти внутренний угол треугольникаЗапись Как найти внутренний угол треугольникаозначает «фигура Как найти внутренний угол треугольникаравна фигуре Как найти внутренний угол треугольника »

Рассмотрим равные треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника(рис. 56).

По определению, такие треугольники можно совместить наложением. Очевидно, что при наложении соответственно совместятся стороны и углы этих треугольников, то есть каждому эле менту треугольника Как найти внутренний угол треугольникабудет соответствовать равный элемент треугольника Как найти внутренний угол треугольника. Условимся, что в записи Как найти внутренний угол треугольникамы будем упорядочивать названия треугольников так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает: если Как найти внутренний угол треугольника, то Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

Таким образом, из равенства двух треугольников вытекают шесть равенств соответствующих элементов: три — для углов и три — для сторон. На рисунках соответственно равные стороны обычно обозначают одинаковым количеством черточек, Рис. 56. Треугольники а соответственно равные углы — одинаковым ко личеством дужек (рис. 56).

Как найти внутренний угол треугольника

А верно ли, что треугольники, имеющие соответственно равные стороны и углы, совмещаются наложением? Можно ли по равенству некоторых соответствующих элементов доказать равенство самих треугольников? Ответить на эти вопросы мы попытаемся в дальнейшем.

[1] Существование треугольника, равного данному, является одной из аксиом планиметрии. Эта аксиома приведена в Приложении 1.

Первый признак равенства треугольников и его применение

Первый признак равенства треугольников

В соответствии с определением равных фигур, два треугольника равны, если они совмещаются наложением. Но на практике наложить один треугольник на другой не всегда возможно. Например, таким образом невозможно сравнить два земельных участка. Значит, возникает необходимость свести вопрос о равенстве треугольников к сравнению их сторон и углов. Но нужно ли для установления равенства сравнивать все шесть элементов данных треугольников? Бели нет, то какие именно элементы двух треугольников должны быть соответственно равными, чтобы данные треугольники были равны? Ответ на этот вопрос дают признаки равенства треугольников.

Докажем первый из этих признаков.

Теорема: (первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, у которых Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника(рис. 58). Докажем, что Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Поскольку Как найти внутренний угол треугольникато треугольник Как найти внутренний угол треугольникаможно наложить на треугольник Как найти внутренний угол треугольникатак, чтобы точки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникасовместились, а стороны Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольниканаложились на лучи Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникасоответственно. По условию Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, следовательно, сторона Как найти внутренний угол треугольникасовместится со стороной Как найти внутренний угол треугольника, а сторона Как найти внутренний угол треугольника— со стороной Как найти внутренний угол треугольника. Таким образом, точка Как найти внутренний угол треугольникасовместится с точкой Как найти внутренний угол треугольника, а точка Как найти внутренний угол треугольника— с точкой Как найти внутренний угол треугольника, то есть стороны Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникатакже совместятся. Значит, при наложении треугольники Как найти внутренний угол треугольника, совместятся полностью. Итак, Как найти внутренний угол треугольникапо определению. Теорема доказана.

Пример №14

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АОС и BOD (рис. 59).

Как найти внутренний угол треугольника

Решение:

В треугольниках АОС и BOD АО = ВО и СО = DO по условию, Как найти внутренний угол треугольникапо теореме о вертикальных углах. Таким образом, Как найти внутренний угол треугольникапо первому признаку равенства треугольников.

Практическое значение доказанной теоремы очевидно из такого примера.

Пусть на местности необходимо определить расстояние между точками А и С, прямой проход между которыми невозможен (рис. 60). Один из способов измерения следующий: на местности выбирают некоторую точку О, к которой можно пройти из точек А , С, В, D, и на лучах АО и СО откладывают отрезки ВО=АО и DO = СО.

Как найти внутренний угол треугольника

Тогда, согласно предыдущей задаче, Как найти внутренний угол треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что искомое расстояние АС равно расстоянию BD, которое можно измерить.

Опровержение утверждений. Контрпример

Проанализируем первый признак равенства треугольников. Согласно ему для доказательства равенства двух треугольников достаточно доказать равенство трех пар соответствующих элементов — двух сторон и угла между ними. Требование того, чтобы равные углы обязательно лежали между равными сторонами, является очень важным.

Действительно, рассмотрим треугольники ABC и А1В1С1 (рис. 61). Они имеют две пары соответственно равных сторон (АВ = А1В1, ВС = В1С1), но равные углы Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникалежат не между равными сторонами, поэтому данные треугольники не равны.

Как найти внутренний угол треугольника

С помощью приведенного примера мы показали, что утверждение «Если две стороны и некоторый угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и некоторому углу другого треугольника, то такие треугольники равны» является ошибочным. Иначе говоря, мы опровергли это утверждение конкретным примером. Такой пример, с помощью которого можно показать, что некоторое общее утверждение является неправильным, называется контрпримером. Принцип построения контрпримера для опровержения неправильного утверждения довольно прост: нужно смоделировать ситуацию, когда условие утверждения выполняется, а заключение — нет.

Контрпример — от латинского «контра» — против

Изобразим схематически опровержение утверждения с помощью контрпримера.

УТВЕРЖДЕНИЕ Если А, то В

КОНТРПРИМЕР А, но не В

Контрпримеры используются только для опровержения неправильных утверждений, но не для доказательства правильных. Заметим также, что не всякое ошибочное утверждение можно опровергнуть контрпримером. Если для опровержения некоторого утверждения не удалось подобрать контрпример, это не означает, что данное утверждение верно.

Опровержение утверждений с помощью контрпримеров применяется не только в математике. Пусть, например, некто утверждает, что все птицы, которые водятся в Украине, осенью улетают на юг. Это утверждение можно опровергнуть, приведя в качестве контрпримера воробьев. А опровергнуть утверждение «В русском языке нет существительного, в котором содержались бы пять согласных подряд» можно с помощью самого слова «контрпример » .

Перпендикуляр к прямой

9.1. Существование и единственность прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Признаки равенства треугольников применяются не только для решения задач, но и для доказательства новых геометрических утверждений, в частности и тех, в формулировках которых не упоминается треугольник. Докажем с помощью первого признака равенства треугольников теорему о прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данной прямой.

Теорема (о существовании и единственности перпендикулярной прямой) Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной, и только одну.

Перед началом доказательства теоремы проанализируем ее формулировку. Теорема содержит два утверждения:

  1. существует прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная данной прямой;
  2. такая прямая единственна.

Первое утверждение теоремы говорит о существовании прямой с описанными свойствами, второе — о ее единственности. Каждое из этих утверждений необходимо доказать отдельно.

Рассмотрим сначала случай, когда данная точка не лежит на данной прямой.

1) Существование. Пусть даны прямая Как найти внутренний угол треугольникаи точка А , не лежащая на данной прямой. Выберем на прямой Как найти внутренний угол треугольникаточки В и М так, чтобы угол АВМ был острым (рис. 67).

Как найти внутренний угол треугольника

С помощью транспортира отложим от луча ВМ угол СВМ, равный углу АВМ так, чтобы точки А и С лежали по разные стороны от прямой Как найти внутренний угол треугольника. На луче ВС отложим отрезок ВА1 , равный отрезку ВА , и соединим точки А и D. Пусть D — точка пересечения отрезка Как найти внутренний угол треугольника, с прямой Как найти внутренний угол треугольника.

Рассмотрим треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. Они имеют общую сторону BD, a Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникапо построению. Таким образом, Как найти внутренний угол треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Как найти внутренний угол треугольникаНо эти углы смежные, поэтому по теореме о смежных углах Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника. Итак, прямая Как найти внутренний угол треугольникаперпендикулярна прямой Как найти внутренний угол треугольника.

2) Единственность. Применим метод доказательства от противного.

Пусть через точку А проходят две прямые Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаперпендикулярные прямой Как найти внутренний угол треугольника(рис. 68). Тогда по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Как найти внутренний угол треугольника. Но это невозможно, поскольку прямые Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаимеют общую точку А. Итак, наше предположение неверно, то есть прямая, проходящая через точку А перпендикулярно прямой Как найти внутренний угол треугольника, единственна.

Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

Теперь рассмотрим случай, когда точка А лежит на прямой Как найти внутренний угол треугольника. От любой полупрямой прямой Как найти внутренний угол треугольникас начальной точкой А можно отложить прямой угол (рис. 69). Отсюда вытекает существование перпендикулярной прямой, содержащей сторону этого угла.

Доказательство единственности такой прямой повторяет доказательство, представленное выше. Теорема доказана.

Утверждения о существовании и единственности уже встречались нам в аксиомах, но необходимость доказывать их возникла впервые. В математике существует целый ряд теорем, аналогичных доказанной (их называют теоремами существования и единственности). Общий подход к таким теоремам состоит в отдельном доказательстве каждого из двух утверждений.

Необходимость двух отдельных этапов доказательства в шутку можно пояснить так: утверждение «У дракона есть голова» не означает, что эта голова единственная. Доказательство существования определенного объекта чаще всего сводится к описанию способа его получения. Единственность обычно доказывают методом от противного.

Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой

Определение:

Перпендикуляром к данной прямой, проведенным из точки А, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, одним из концов которого является точка А а вторым (основанием перпендикуляра) — точка пересечения этих прямых.

На рисунке 70 отрезок АВ является перпендикуляром к прямой а, проведенным из точки А . Точка В — основание этого перпендикуляра. Поскольку по предыдущей теореме через точку А можно провести единственную прямую, перпендикулярную прямой а, то отрезок АВ — единственный перпендикуляр к прямой а, проведенный из точки А.

Как найти внутренний угол треугольника

Из доказанной теоремы следует, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Это утверждение называют теоремой о существовании и единственности перпендикуляра к прямой.

Определение:

Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Иногда расстоянием от точки до прямой называют сам этот перпендикуляр. Таким образом, отрезок АВ (см. рис. 70) является расстоянием от точки А до прямой а.

Пример №15

Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а, АВ и CD — расстояние от данных точек до прямой а, причем АВ = CD (рис. 71). Докажите, что AD = СВ.

Как найти внутренний угол треугольника

Решение:

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них сторона ВD общая, АВ = CD по условию. По определению расстояния от точки до прямой АВ и CD — перпендикуляры к прямой а, то есть Как найти внутренний угол треугольникаТогда Как найти внутренний угол треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что AD = СВ, что и требовалось доказать.

Второй признак равенства треугольников и его применение

Второй признак равенства треугольников

В первом признаке равенства треугольников равенство двух треугольников было доказано по трем элементам: двум сторонам и углу между ними. Однако это не единственный возможный набор элементов, равенство которых гарантирует равенство треугольников. Еще один такой набор — это сторона и прилежащие к ней углы.

Теорема: (второй признак равенства треугольников — по стороне и прилежащим к ней углам)

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, у которых Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника(рис. 72). Докажем, что Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Поскольку Как найти внутренний угол треугольника, то треугольник Как найти внутренний угол треугольникаможно наложить на треугольник Как найти внутренний угол треугольникатак, чтобы сторона АС совместилась со стороной Как найти внутренний угол треугольника, а точки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникалежали по одну сторону от прямой Как найти внутренний угол треугольника. По условию Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, поэтому сторона Как найти внутренний угол треугольниканаложится на луч Как найти внутренний угол треугольника, а сторона Как найти внутренний угол треугольника— на луч Как найти внутренний угол треугольника. Тогда точка Как найти внутренний угол треугольника— общая точка сторон Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника— будет лежать как на луче Как найти внутренний угол треугольника, так и на луче Как найти внутренний угол треугольника, то есть совместится с общей точкой этих лучей — точкой В. Таким образом, совместятся стороны Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, а также Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. Значит, при наложении треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, совместятся полностью, то есть по определению Как найти внутренний угол треугольника. Теорема доказана.

Решение геометрических задач «от конца к началу»

Рассмотрим пример применения второго признака равенства треугольников для решения задачи.

Пример №16

На рисунке 73 Как найти внутренний угол треугольникаНайдите угол D если Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Прежде чем привести решение этой задачи, попытаемся ответить на вопрос: как именно надо рассуждать, чтобы найти путь к нему?

  1. Сначала проанализируем вопрос задачи. Нам необходимо найти градусную меру угла D. Очевидно, что для этого должны быть использованы числовые данные. Мы имеем лишь одно такое условие: Как найти внутренний угол треугольника. Таким образом, можно предположить, что углы B и D должны быть как-то связаны. Как именно?
  2. Заметим, что углы В и D являются углами треугольников ABC и ADC соответственно, причем оба эти угла противолежат стороне АС . Отсюда возникает идея о том, что углы B и D могут быть равными, и их равенство может следовать из равенства треугольников ABC и ADC .
  3. Следующий шаг рассуждений: действительно ли треугольники ABC и ADC равны? Если да, то на основании какого признака можно доказать их равенство? Здесь на помощь приходят другие данные задачи — равенства углов: Как найти внутренний угол треугольника. Как вы уже знаете, две пары соответственно равных углов рассматриваются в формулировке второго признака равенства треугольников, то есть следует попробовать применить именно его.
  4. Для окончательного определения хода решения задачи осталось ответить на вопрос: каких еще данных нам не достает для применения второго признака равенства треугольников? Откуда их можно получить? Отметим, что углы 1 и 3 треугольника ABC, а также углы 2 и 4 треугольника ADC являются прилежащими к сторонеАС, которая, кроме того, является общей стороной данных треугольников.

Итак, путь определен, и остается лишь записать решение, повторяя рассуждения в обратном порядке — от 4-го к 1-му пункту.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и АDС . В них сторона АС общая, Как найти внутренний угол треугольникапо условию, и эти углы прилежат к стороне АС. Таким образом, Как найти внутренний угол треугольникапо второму признаку равенства треугольников.

Углы В и D — соответственно равные углы равных треугольников.

Значит, Как найти внутренний угол треугольника

Ответ: 110°.

Отметим, что в рассуждениях 1) — 4) мы начинали с вопроса задачи, а затем использовали ее условия, то есть шли «от конца к началу». Во многих геометрических задачах именно такой способ рассуждений позволяет найти правильный путь к решению.

Пример №17

Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС, точки D , Е, F — середины сторон АВ, ВС и АС соответственно (рис. 84). Докажем, что треугольник D EF равнобедренный. Рассмотрим треугольники DAF и ECF. У них AD = СЕ как половины равных сторон АВ и СВ, AF = CF (поскольку по условию точка F — середина AC), Как найти внутренний угол треугольникакак углы при основании равнобедренного треугольника ABC. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Тогда отрезки D F = EF как соответствующие стороны равных треугольников, то есть треугольник D EF равнобедренный.

Как найти внутренний угол треугольника

Признак равнобедренного треугольника

Из предыдущей теоремы следует, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Но всегда ли стороны, противолежащие равным углам, должны быть равными? Ответим на этот вопрос следующей теоремой.

Теорема: (признак равнобедренного треугольника) Если в треугольнике два угла равны, те он равнобедренный:

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC Как найти внутренний угол треугольника. Докажем, что этот треугольник равнобедренный.

Через точку D — середину стороны АС — проведем прямую d , перпендикулярную АС. Пусть эта прямая пересекает луч АВ в точке Как найти внутренний угол треугольника(рис. 85). Соединим точки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаи рассмотрим треугольники Как найти внутренний угол треугольника. У них сторона Как найти внутренний угол треугольникаобщая, Как найти внутренний угол треугольникаи AD = CD по построению. Таким образом, Как найти внутренний угол треугольникапо первому признаку. Отсюда Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника. Поскольку по построению точка Как найти внутренний угол треугольникалежит на луче АВ, угол Как найти внутренний угол треугольникасовпадает с углом А треугольника ABC. Тогда по условию теоремы и по доказанному имеем: Как найти внутренний угол треугольника. Таким образом, по аксиоме откладывания углов углы Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникасовпадают, то есть точка Как найти внутренний угол треугольникалежит и на луче СВ. Поскольку лучи АВ и СВ имеют единственную точку пересечения, точки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникасовпадают, то есть АВ = СВ. Теорема доказана.

Как найти внутренний угол треугольника

Если в треуольнике все углы равны, то он равносторонний.

Как найти внутренний угол треугольника

Отметим, что теперь мы имеем два пути доказательства того, что треугольник равнобедренный:

  1. по определению равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух сторон);
  2. по признаку равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух углов).

Пример №18

На продолжении основания АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E, причем AD=CE (рис. 87). Докажите, что треугольник DBE равнобедренный:

Как найти внутренний угол треугольника

Решение:

Рассмотрим треугольники DAB и ЕСВ. У них AD = СЕ по условию, АВ = СВ как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC. По свойству углов при основании равнобедренного треугольника ABC Как найти внутренний угол треугольникатогда Как найти внутренний угол треугольникакак углы, смежные с равными углами. Значит, Как найти внутренний угол треугольникапо первому признаку равенства треугольников.

Завершить доказательство можно одним из двух способов.

1 -й способ. Поскольку Как найти внутренний угол треугольникато Как найти внутренний угол треугольникаТаким образом, треугольник DBE равнобедренный по определению.

2-й способ. Поскольку Как найти внутренний угол треугольникато Как найти внутренний угол треугольникаТаким образом, треугольник D BE равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника;

Прямая и обратная теоремы

Проанализируем две предыдущие теоремы о равнобедренном треугольнике, выделив в каждой из них условие и заключение. Свойство углов равнобедренного треугольника можно сформулировать так: «Если треугольник равнобедренный, то в нем два угла (при основании) равны». Теперь становится очевидным, что условие первой теоремы («треугольник равнобедренный») — это заключение второй, а заключение первой теоремы («в треугольнике два угла равны») — это условие второй теоремы. В таком случае вторая теорема является обратной первой (прямой).

Изобразим наглядно связь прямой и обратной теорем.

ПРЯМАЯ ТЕОРЕМА

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Как найти внутренний угол треугольника
Формула: Как найти внутренний угол треугольника
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Как найти внутренний угол треугольника
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Как найти внутренний угол треугольника
Формула: Как найти внутренний угол треугольника
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Как найти внутренний угол треугольника
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Как найти внутренний угол треугольника
Если А то B

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

Если В, то А

Теорема, обратная данной, не обязательно верна. Рассмотрим, например, теорему о вертикальных углах, сформулировав ее так: «Если два угла вертикальные, то они равны». Понятно, что обратная теорема неверна: ведь если два угла равны, то они не обязательно вертикальные.

Немало подобных примеров можно привести и из повседневной жизни. Например, если ученик является семиклассником, то он изучает геомет рию. Обратное утверждение ошибочно: если ученик изучает геометрию, то он не обязательно семиклассник, ведь геометрию изучают и в старших классах. Попробуйте самостоятельно найти примеры прямых и обратных утверждений в других науках, изучаемых в школе.

Таким образом, пользоваться утверждением, обратным доказанной теореме, можно лишь тогда, когда оно также доказано.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Помимо сторон и углов, с треугольником связано несколько важных элементов, имеющих специальные названия.

Определение

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 95 отрезок ВМ является медианой треугольника ABC. В любом треугольнике можно провести три медианы — по одной из каждой вершины. Далее будет доказано, что все они пересекаются в одной точке (рис. 96)

Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

Определение:

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

На рисунке 97 отрезок BL — биссектриса треугольника ABC. Обратим внимание на то, что, в отличие от биссектрисы угла, являющейся лучом, биссектриса треугольника — отрезок. Очевидно, что любой треугольник имеет три биссектрисы (рис. 98). Все они также пересекаются в одной точке (этот факт будет доказан далее).

Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

Определение:

Высотой треугольника называется перпендикуляр. опущенный из вершины треугольника на прямую, которая содержит его противолежащую сторону.

[1] Подчеркнем, что здесь и далее, приводя утверждения, которые будут доказаны позднее, мы не будем ссылаться на них до того момента, когда они будут доказаны.

На рисунке 99 отрезок ВН — высота треугольника ABC.

По теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из каждой вершины треугольника можно провести только одну его высоту. Высоты треугольника не обязательно лежат внутри него. В отличие от медиан и биссектрис, некоторые из высот могут совпадать со сторонами или проходить вне треугольника (рис. 100).

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (это утверждение докажем позднее).

Как найти внутренний угол треугольника

Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника

Теорема: (свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника)

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Доказательство:

Доказательство данной теоремы состоит из трех частей.

1) Пусть BD — медиана равнобедренного треугольника ABC , проведенная к основанию АС (рис. 101, а). Докажем, что BD является также биссектрисой и высотой треугольника ABC .

Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

Рис. 101 Отрезок DB — медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABC

Рассмотрим треугольники ABD и CBD . У них АВ = СВ по определению равнобедренного треугольника, Как найти внутренний угол треугольникакак углы при основании равнобедренного треугольника, AD = CD по определению медианы. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Из этого вытекает, что Как найти внутренний угол треугольника, то есть BD — биссектриса треугольника ABC .

Кроме того, Как найти внутренний угол треугольникаа поскольку эти углы смежные, то оба они прямые. Значит, BD — высота треугольника ABC . Таким образом, отрезок BD — медиана треугольника ABC , проведенная к основанию,— является также биссектрисой и высотой треугольника.

2. Пусть теперь BD — биссектриса равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию АС (рис. 101, б). Аналогично предыдущему случаю можно доказать, что BD является также медианой и высотой треугольника ABC. Действительно, в этом случае Как найти внутренний угол треугольникано второму признаку Как найти внутренний угол треугольникаОтсюда AD=CD, то есть BD — медиана треугольника, и Как найти внутренний угол треугольника, то есть BD — высота треугольника.

3. Пусть BD — высота треугольника ABC . Докажем от противного, что BD является медианой и биссектрисой данного треугольника. Пусть существуют медиана Как найти внутренний угол треугольникаи биссектриса Как найти внутренний угол треугольника, не совпадающие с Как найти внутренний угол треугольника— Тогда по доказанному выше отрезки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникатакже являются высотами треугольника. Таким образом, из точки В к прямой АС проведены три различных перпендикуляра, что противоречит теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Из этого противоречия следует, что отрезки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникасовпадают,

то есть BD — медиана и биссектриса данного треугольника.

Итак, в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Медиана — от латинского «медианус» — средний

В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают.

Теорема, обратная данной, также верна: если в треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведанные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный (докажите это утверждение самостоятельно).

На практике для решения задач вместо доказанной теоремы часто используют утверждение с условием совпадения лишь двух из трех указанных отрезков:

  1. если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  2. если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  3. если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный. Первые два утверждения докажите самостоятельно. Третье утверждение мы рассмотрим в п. 12.3.

Пример №19

Докажите равенство равнобедренных Треугольников по углу, противолежащему основанию, и медиане, проведенной к основанию

Решение:

Пусть Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника— данные равнобедренные треугольники с основаниями Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника— Медианы этих треугольников, причем Как найти внутренний угол треугольника(рис. 102). Докажем, что Как найти внутренний угол треугольника

Рассмотрим треугольники Как найти внутренний угол треугольника. По условию Как найти внутренний угол треугольника. Поскольку по свойству медианы биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаявляются также биссектрисами равных углов Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, то Как найти внутренний угол треугольникаотрезки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника— высоты равнобедренных треугольников, поэтому Как найти внутренний угол треугольника90°. Таким образом,Как найти внутренний угол треугольника, по второму признаку равенства треугольников, откуда Как найти внутренний угол треугольникатогда и Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольникаЗначит, треугольники Как найти внутренний угол треугольникаравны по перво му признаку равенства треугольников. • . ;

Как найти внутренний угол треугольника

Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .

Для решения некоторых геометрических задач необходимо проводить дополнительные построения, то есть достраивать отрезки и углы, не упомянутые в условии задачи. Это нужно для получения вспомогательных фигур, рассмотрение которых позволяет найти или доказать требуемое. Существуют определенные виды дополнительных построений, применяемые чаще других. Один из них мы рассмотрим в следующей задаче.

Пример №20

Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совладают, то такой треугольник равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть 80 — медиана и биссектриса данного треугольника ABC (рис; 103). Докажем, что треугольник ABC равнобедренный.

Как найти внутренний угол треугольника

На луче ВD от точки D отложим отрезок Как найти внутренний угол треугольникаравный BD (то есть удвоим медиану ВО). Рассмотрим треугольники Как найти внутренний угол треугольникаУ них АD = СD по определению медианы, Как найти внутренний угол треугольникапо построению, Как найти внутренний угол треугольникакак вертикальные. Таким образом, Как найти внутренний угол треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольника. Рассмотрим теперь треугольник Как найти внутренний угол треугольникаС учетом того, что BD — биссектриса угла ABC , имеем Как найти внутренний угол треугольникатогда Как найти внутренний угол треугольникаПо признаку равнобедренного треугольника, треугольник Как найти внутренний угол треугольникаравнобедренный с основанием Как найти внутренний угол треугольникаОтсюда Как найти внутренний угол треугольникаа поскольку по доказанному Как найти внутренний угол треугольникаТаким образом, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

[1] Здесь и далее звездочкой обозначен теоретический материал, изучение которого не является обязательным.

Проанализируем решение этой задачи. Отображение всех данных условия на рисунке не выявило набора элементов, позволяющих сразу начать доказательство. Это обусловило необходимость дополнительного построения, благодаря которому образовался вспомогательный треугольник Как найти внутренний угол треугольника. Доказав его равенство с треугольником Как найти внутренний угол треугольника, мы получили дополнительные равенства отрезков и углов и решили задачу.

Дополнительное построение состояло в удвоении отрезка BD . Такое построение используется чаще всего именно для медиан треугольников, поэтому основанн ый на нем метод доказательства называют методом удвоения медианы.

Третий признак равенства треугольников и его применение

Третий признак равенства треугольников

Применим свойства равнобедренного треугольника для доказательства третьего признака равенства треугольников.

Теорема: (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, у которых Как найти внутренний угол треугольника. Докажем, что Как найти внутренний угол треугольника.

Приложим треугольник Как найти внутренний угол треугольникак треугольнику Как найти внутренний угол треугольникатак, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной Как найти внутренний угол треугольника, вершина Как найти внутренний угол треугольника— с вершиной В, а точки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникалежали по разные стороны от прямой АВ. Возможны три случая:

  1. луч Как найти внутренний угол треугольникапроходит внутри угла АСВ (рис. 107, а);
  2. луч Как найти внутренний угол треугольникапроходит вне угла АСВ (рис. 107, б);
  3. луч Как найти внутренний угол треугольникасовпадает с одной из сторон угла АСВ (рис. 107, в).

Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

Рис. Прикладывание треугольника Как найти внутренний угол треугольникак треугольнику Как найти внутренний угол треугольника

Рассмотрим случаи 1 и 2, Поскольку по условию теоремы Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, то треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаравнобедренные с основанием Как найти внутренний угол треугольника. По свойству равнобедренного треугольника Как найти внутренний угол треугольника. Тогда Как найти внутренний угол треугольникакак суммы (или разности) равных углов. Таким образом, Как найти внутренний угол треугольникапо первому признаку равенства треугольников. В случае 3 равенство углов Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаследует из свойства равнобедренного треугольника с основаниемКак найти внутренний угол треугольника, а дальнейшее доказательство проводится аналогично. Теорема доказана.

Обобщая признаки равенства треугольников, можно увидеть, что во всех трех признаках равенство треугольников следует из равенства трех пар соответствующих элементов. И это не случайно: как правило, треугольник можно задать (построить) именно по трем элементам, но не произвольным, а определяющим единственный треугольник. Например, треугольник однозначно определяется длинами трех его сторон (это следует из только что доказанного третьего признака). Однако, например, градусные меры трех углов не задают треугольник однозначно. Попробуйте самостоятельно построить соответствующий контрпример — два неравных треугольника с соответственно равными углами.

Пример №21

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Решение:

Пусть Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника— данные треугольники с медианами Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, соответственно, причем Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника(рис. 108). Рассмотрим сначала треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаВ них Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, по условию, Как найти внутренний угол треугольникакак половины равных сторон Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникато есть Как найти внутренний угол треугольникапо третьему признаку. Отсюда, в частности, следует, что Как найти внутренний угол треугольникаТогда Как найти внутренний угол треугольникапо первому признаку Как найти внутренний угол треугольникапо условию, Как найти внутренний угол треугольникапо доказанному).

Как найти внутренний угол треугольника

Свойства и признаки

Проанализируем признаки равенства треугольников. Все эти утверждения одинаковы по структуре: если треугольники имеют некоторую особенность, то они равны. Эта особенность (равенство трех пар соответствующих элементов) и составляет признак равенства треугольников. Нетрудно догадаться по аналогии, что, скажем, признак параллельности прямых может выглядеть так: «Если две прямые имеют определенную особенность, то они параллельны» (вспомните, рассматривались ли ранее похожие утверждения).

Во многих геометрических утверждениях мы получаем новые особенности фигур с помощью уже известных: например, если два угла вертикальные, то они равны. В этом случае равенство является свойством вертикальных углов. По аналогии, свойство смежных углов будет иметь следующий вид: «Если два угла смежные, то они имеют определенную особенность». Нетрудно догадаться, какое из изученных утверждений является свойством смежных углов.

Отметим еще один интересный факт. Если нам дан равнобедренный треугольник, то равенство двух его углов — свойство равнобедренного треугольника. Если же из условия равенства двух углов некоторого треугольника мы делаем заключение, что этот треугольник равнобедренный, то равенство этих углов — признак равнобедренного треугольника. Таким образом, одна и та же особенность фигуры в зависимости от условия задачи может рассматриваться либо как свойство, либо как признак.

Приведем примеры свойств и признаков, не связанные с геометрией. Наличие длинной шеи является свойством жирафа (если животное — жираф, то оно имеет длинную шею). Но длинную шею имеют также и страусы, то есть не любое животное с длинной шеей — жираф. Таким образом, наличие длинной шеи не является признаком жирафа. Другой пример: повышение температуры — признак болезни (ведь если у человека высокая температура, то он болен), но повышение температуры не свойство болезни (ведь многие болезни не сопровождаются повышением температуры). И наконец, пример из арифметики: последняя цифра 0 — и свойство, и признак чисел, которые делятся на 10.

Попробуйте привести собственные примеры свойств и признаков, изучаемых в школе.

Признаки параллельности прямых

Углы, образованные при пересечении двух прямых третьей

Пусть прямая с пересекает каждую из двух прямых a и b (рис. 118). В таком случае говорят, что прямая с является секущей прямых а и b. При таком пересечении двух прямых третьей образуются пары неразвернутых углов, имеющих специальные названия:

Как найти внутренний угол треугольника

  • внутренние накрест лежащие углы лежат между прямыми а и b по разные стороны от секущей: 3 и 6, 4 и 5;
  • внутренние односторонние углы лежат между прямыми а и & по одну сторону от секущей: 3 и 5, 4 и 6;
  • соответственные углы лежат по одну сторону от секущей, причем сторона одного из них является частью стороны другого: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6, 4 и 8.

Признаки параллельности прямых

Вы уже изучили две теоремы, которые утверждают, что две прямые параллельны:

  1. если две прямые параллельны третьей, то они параллельны;
  2. если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны.

Докажем еще несколько признаков параллельности прямых.

Теорема: (признак параллельности двух прямых, которые пересекаются секущей)

Если при пересечении двух прямых, секущей внутренние накрестлежащие углы равны; то прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть прямая с пересекает прямые а и b в точках А и В соответственно, причем Как найти внутренний угол треугольника(рис. 119). Докажем, что Как найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

Если углы 1 и 2 прямые, то Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. Тогда Как найти внутренний угол треугольникапо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Проведем из точки О — середины отрезка АВ — перпендикуляр Как найти внутренний угол треугольника, к прямой O. Пусть Н2 — точка пересечения прямых Как найти внутренний угол треугольника

Рассмотрим треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. У них Как найти внутренний угол треугольникапо условию, Как найти внутренний угол треугольникакак вертикальные и Как найти внутренний угол треугольникапо построению. Итак, Как найти внутренний угол треугольникапо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Как найти внутренний угол треугольникато есть прямая Как найти внутренний угол треугольникаперпендикулярна прямым а и b. Тогда Как найти внутренний угол треугольникапо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Теорема доказана.

Для доказательства параллельности прямых можно использовать не только внутренние накрест лежащие углы, но и другие пары образовавшихся углов.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна Как найти внутренний угол треугольника, то прямые параллельны.

Действительно, если Как найти внутренний угол треугольника(рис. 120) и по теореме о смежных углах Как найти внутренний угол треугольника, то Как найти внутренний угол треугольникаТогда по доказанной теореме Как найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Действительно, если Как найти внутренний угол треугольника(рис. 121), a Как найти внутренний угол треугольникакак вертикальные, то Как найти внутренний угол треугольникаТогда но доказанной теореме Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Следствия 1 и 2 можно объединить с доказанной теоремой в одно утверждение, выражающее признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей выполняется хотя бы одно из условий:

  1. внутренние накрест лежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.

Если выполняется одно из трех приведенных условий, то выполняются и два других (докажите это самостоятельно).

Пример №22

На рисунке 122 Как найти внутренний угол треугольника— биссектриса угла Как найти внутренний угол треугольникаДокажите, что Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Решение:

По условию задачи треугольник Как найти внутренний угол треугольникаравнобедренный с основанием Как найти внутренний угол треугольникаПо свойству углов равнобедренного треугольника Как найти внутренний угол треугольникаВместе с тем Как найти внутренний угол треугольникатак как АС — биссектриса угла BAD. Отсюда, Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольникаУглы 2 и 3 внутренние накрест лежащие при прямых Как найти внутренний угол треугольникаи секущей Как найти внутренний угол треугольникаПоскольку эти уг лы равны, то по признаку параллельности прямых Как найти внутренний угол треугольникачто и требовалось доказать.

О существовании прямой, параллельной данной

Доказанные признаки параллельности прямых позволяют подробнее проанализировать формулировку аксиомы параллельных прямых (аксиомы Евклида, п. 4.1). В этой аксиоме утверждалась единственность прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, но не утверждалось ее существование.

На основании признака параллельности прямых существование такой прямой можно доказать.

Пусть даны прямая АВ и точка С, не принадлежащая этой прямой (рис. 123). Проведем прямую АС. От луча СА отложим угол ACD, равный углу CAB, так, как показано на рисунке. Тогда углы ACD и CAB — внутренние накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей АС. По доказанному признаку AB || CD , то есть существует прямая, проходящая через точку С параллельна прямой АВ.

Как найти внутренний угол треугольника

Таким образом, мы можем объединить доказанный факт с аксиомой параллельных прямых в следующей теореме.

Теорема: (о существовании и единственности прямой, параллельной данной)

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, я притом только одну.

Вообще, аксиома Евклида и связанные с ней утверждения были предметом особого внимания ученых на протяжении многих веков. В начале позапрошлого столетия выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский создал неевклидову геометрию, в которой аксиома параллельных прямых не выполняется.

Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Теорема о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

В предыдущем параграфе мы установили соотношения углов между двумя прямыми и секущей, гарантирующие параллельность данных прямых. Но обязательно ли эти соотношения сохраняются для любой пары параллельных прямых, пересеченных секущей? Докажем утверждение, обратное признаку параллельности прямых.

Теорема: (свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей)

Если секущая пересекает две параллельные прямые, то:

  1. внутренние накрестлежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны.

Доказательство:

Докажем первое из утверждений теоремы.

Пусть секущая с пересекает параллельные прямые а и b в точках A и В соответственно (рис. 132). Докажем методом от противного, что внутренние накрест лежащие углы при этих прямых равны.

Как найти внутренний угол треугольника

Пусть эти углы не равны. Проведем через точку А прямую Как найти внутренний угол треугольникатак, чтобы внутренние накрест лежащие углы при прямых Как найти внутренний угол треугольникаи b и секущей с были равны. Тогда по признаку параллельности прямых имеем Как найти внутренний угол треугольникаНо Как найти внутренний угол треугольникапо условию теоремы, а по аксиоме параллельных прямых через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную b. Таким образом, мы получили противоречие.

Следовательно, наше предположение ошибочно, то есть внутренние накрест лежащие углы равны. Из доказанного утверждения нетрудно получить другие два утверждения теоремы (сделайте это самостоятельно).

Следствие Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой

Это следствие обоснуйте самостоятельно по рисунку 133.

Как найти внутренний угол треугольника

Пример №23

Сумма двух внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 210°. Найдите все образовавшиеся углы.

Решение:

Пусть а || b, с — секущая. Внутренние углы, о которых говорится в условии, могут быть односторонними, накрест лежащими или смежными. Поскольку при пересечении параллельных прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180° и сумма смежных углов также равна 180°, то данные углы — внутренние накрест лежащие. Пусть Как найти внутренний угол треугольника(рис. 134). Поскольку Как найти внутренний угол треугольникато Как найти внутренний угол треугольникаТогда:

Как найти внутренний угол треугольника°, так как углы 1 и 5 соответственные; Как найти внутренний угол треугольника, так как углы 3 и 5 внутренние односторонние; Как найти внутренний угол треугольникатак как углы 2 и 3 вертикальные; Как найти внутренний угол треугольникатак как углы 5 и 6 смежные; Как найти внутренний угол треугольникатак как углы 7 и 3 соответственные; Как найти внутренний угол треугольникатак как углы 8 и 4 соответственные.

Как найти внутренний угол треугольника

Расстояние между параллельными прямыми

Как вы уже знаете, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Можно предположить, что расстояние между параллельными прямыми тоже будет определяться с помощью перпендикуляра. Но прежде чем сформулировать определение, докажем еще одно свойство параллельных прямых.

Теорема: (о расстояниях от точек прямой до параллельной прямой)

Расстояния от любых двух точек прямой до параллельной ей прямой равны

Доказательство:

Пусть а и b — данные параллельные прямые, Как найти внутренний угол треугольника— расстояния от точек Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникапрямой Как найти внутренний угол треугольникадо прямой Как найти внутренний угол треугольника(рис. 135). Докажем, что

Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Поскольку по определению расстояния от точки до прямой Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, то по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Как найти внутренний угол треугольника

Рассмотрим треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаУ них сторона Как найти внутренний угол треугольникаобщая, Как найти внутренний угол треугольникакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаи секущей Как найти внутренний угол треугольникакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаи секущей Как найти внутренний угол треугольника. Таким образом, Как найти внутренний угол треугольникапо второму признаку равенства треугольников, откуда Как найти внутренний угол треугольникаТеорема доказана.

Из только что доказанной теоремы следует, что расстояние от точки прямой а до прямой b не зависит от выбора точки, то есть одинаково для всех точек прямой a. Это позволяет сформулировать следующее определение.

Определение:

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Таким образом, расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую прямую.

На рисунке 136 Как найти внутренний угол треугольникато есть АВ — расстояние между прямыми а и b. Заметим, что по следствию теоремы о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, Как найти внутренний угол треугольника, то есть Как найти внутренний угол треугольника— общий перпендикуляр к прямым а и b.

Как найти внутренний угол треугольника

Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника и ее следствия

Теорема: (о сумме углов треугольника)

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, что Как найти внутренний угол треугольникаПроведем через вершину В прямую b , параллельную АС (рис. 141). Тогда углы 1 и 4 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых b и АС и секущей АВ. Аналогично Как найти внутренний угол треугольникакак внутренние накрест лежащие при тех же параллельных прямых, но секущей ВС. Имеем: Как найти внутренний угол треугольникаТеорема доказана.

Как найти внутренний угол треугольника

В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.

Действительно, если треугольник имел бы два неострых угла (тупых или прямых), то сумма всех углов превышала бы 180°, что противоречит доказанной теореме.

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Поскольку все углы равностороннего треугольника равны, то каждый из них равен Как найти внутренний угол треугольника.

Рассмотрим еще одно важное утверждение, которое следует из доказанной теоремы.

Пример №24

Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60°, то этот треугольник равносторонний. Докажите.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС. Рассмотрим два случая.

  1. Пусть угол 60° — один из углов при основании, например Как найти внутренний угол треугольника(рис. 142, а). Тогда Как найти внутренний угол треугольникакак углы при основании равнобедренного треугольника. Таким образом, Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольникаЗначит, Как найти внутренний угол треугольникато есть ABC — равносторонний треугольник.
  2. Пусть угол 60° — угол, противолежащий основанию, то есть Как найти внутренний угол треугольника(рис. 142, б). Тогда Как найти внутренний угол треугольникакак углы при основании равнобедренного треугольника. Каждый из этих углов равен (180° — 60°) : 2 = 60°. Снова имеем, что все углы треугольника ABC равны, значит, этот треугольник равносторонний.

Только что решенная задача является опорной, то есть на нее можно ссылаться при решении других задач, кратко пересказывая ее содержание. В дальнейшем условия таких задач в учебнике будут выделены полужирным шрифтом и словом «опорная».

Виды треугольников по величине углов. Классификация

Как уже было доказано, любой треугольник имеет не менее двух острых углов. Это означает, что возможны три случая:

  1. все углы треугольника острые — остроугольный треугольник;
  2. два угла треугольника острые, а третий угол прямой — прямоугольный треугольник;
  3. два угла треугольника острые, а третий угол тупой — тупоугольный треугольник.

Исходя из этого, все треугольники можно разделить по величине углов на три вида: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные (рис. 143).

Как найти внутренний угол треугольника

Обратим внимание на то, что величина углов — это признак, по которому любой данный треугольник можно отнести лишь к одному из трех названных видов. Такое деление объектов на отдельные виды по определенному признаку называют классификацией. Признак, по которому осуществляется классификация, является ее основанием. Так, треугольники можно разделить и по другому основанию — длине сторон — на разносторонние (то есть не имеющие равных сторон), равнобедренные, но не равносторонние (у которых только две стороны равны) и равносторонние треугольники.

Классификация считается правильной, если любой из объектов можно отнести лишь к одному из названных классов. Так, неправильно будет разделять прямые на плоскости по взаимному расположению на параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные (ведь перпендикулярность — частный случай пересечения). Ошибочно подразделять по величине неразвернутые углы на острые и тупые, поскольку есть еще и прямые углы.

Очень важно проводить классификацию лишь по одному основанию. Например, неверным было бы разделять треугольники на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные, ведь равнобедренным может быть и остроугольный, и прямоугольный, и тупоугольный треугольник. Допустить такую ошибку — то же самое, что разделить всех людей на мужчин, женщин и учителей.

Примеры классификаций нетрудно найти и в других науках. Так, филологи делят члены предложения на главные (подлежащее и сказуемое) и второстепенные (дополнение, определение и обстоятельство). Попробуйте найти примеры классификации в физике, географии, биологии.

Внешний угол треугольника

Определение:

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом данного треугольника.

На рисунке 144 угол DAB — внешний угол треугольника ABC при вершине А.

Как найти внутренний угол треугольника

Очевидно, что при любой вершине треугольника можно построить два внешних угла, которые по отношению друг к другу являются вертикальными (рис. 145).

Как найти внутренний угол треугольника

Теорема: (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство:

Пусть углы 1, 2 и 3 — внутренние углы треугольника ABC, a Как найти внутренний угол треугольника— внешний угол, смежный с углом 1 (рис. 146). По теореме о сумме углов треугольника Как найти внутренний угол треугольникаС другой стороны, по теореме о смежных углах Как найти внутренний угол треугольникаОтсюда, Как найти внутренний угол треугольникачто и требовалось доказать.

Как найти внутренний угол треугольника

Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Действительно, по доказанной теореме (рис. 146) Как найти внутренний угол треугольникаТогда для их суммы имеем: Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

Прямоугольные треугольники

Элементы прямоугольного треугольника

Как известно, прямоугольный треугольник имеет один прямой и два острых угла. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. На рисунке 147 в треугольнике Как найти внутренний угол треугольника, AC — гипотенуза, АВ и ВС — катеты.

Как найти внутренний угол треугольника

Из теоремы о сумме углов треугольника следует: сумма острых углов прямоугольного трек- угольника равна 90°. Имеет место и обратное утверждение — признак прямоугольного треугольника: если в треугольнике сумма двух углов равна 90°, то этот треугольник прямоугольный.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Пользуясь признаками равенства треугольников и теоремой о сумме углов треугольника, можно сформулировать признаки равенства, характерные только для прямоугольных треугольников.

Приведем сначала два из них.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (рис. 148) Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Как найти внутренний угол треугольника

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу (рис. 149)

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Как найти внутренний угол треугольника

Данные признаки — частные случаи первого и второго признаков равенства треугольников.

Следующие два признака нетрудно получить из второго признака равенства треугольников, используя теорему о сумме углов треугольника.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (рис. 150) Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Как найти внутренний угол треугольника

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (рис. 151)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Как найти внутренний угол треугольника

Действительно, если данный треугольники имеют по равному острому углу Как найти внутренний угол треугольника, то другие острые углы этих треугольников равны Как найти внутренний угол треугольника, то есть также соответственно равны.

Еще один признак равенства прямоугольных треугольников докажем отдельно.

Гипотенуза — от греческого «гипотейнуса» — стягивающая. Название связано со способом построения прямоугольных реугольников натягиванием бечевки.

Теорема: (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету)

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Как найти внутренний угол треугольника— данные прямоугольные треугольники, в которых Как найти внутренний угол треугольника90° , Как найти внутренний угол треугольника(рис. 152). Докажем, что Как найти внутренний угол треугольника

На продолжениях сторон Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаотложим отрезки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, равные катетам Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникасоответственно. Тогда Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, по двум катетам. Таким образом, Как найти внутренний угол треугольника. Это значит, что Как найти внутренний угол треугольникапо трем сторонам. Отсюда Как найти внутренний угол треугольникаИ наконец, Как найти внутренний угол треугольника, по гипотенузе и острому углу. Теорема доказана.

Обратим внимание на дополнительное построение, состоящее в достраивании прямоугольного треугольника до равнобедренного.

Такой прием позволяет применять свойства равнобедренного треугольника при решении задач, в условиях которых о равнобедренном треугольнике речь не идет.

Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

Рис. 152. Прямоугольные треугольники ABC и Как найти внутренний угол треугольникаравны по гипотенузе и катету.

Прямоугольный треугольник с углом 30°

Прямоугольный треугольников котором один из острых углов равен 30°, имеет полезное свойство.

Опорная задача

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Докажите.

Решение

Пусть в треугольнике Как найти внутренний угол треугольника. Докажем, что Как найти внутренний угол треугольникаОчевидно, что в треугольнике Как найти внутренний угол треугольникаОтложим на продолжении стороны Как найти внутренний угол треугольникаотрезок Как найти внутренний угол треугольника, равный Как найти внутренний угол треугольника(рис. 153). Прямоугольные треугольники Как найти внутренний угол треугольникаравны по двум катетам. Отсюда следует, что Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольникаТаким образом, треугольник Как найти внутренний угол треугольникаравносторонний, а отрезок Как найти внутренний угол треугольника— его медиана, то есть Как найти внутренний угол треугольникачто и требовалось доказать.

Как найти внутренний угол треугольника

Имеет место также обратное утверждение (опорное): если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий данному катету, равен 30°.

Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно при помощи дополнительного построения, аналогичного только что описанному.

Катет — от греческого «катетос» — отвес.

Сравнение сторон и углов треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема: (соотношения между сторонами и углами треугольника)

  1. против большей стороны лежит больший угол;
  2. против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

Данная теорема содержит два утверждения — прямое и обратное. Докажем каждое из них отдельно.

1. Пусть в треугольнике Как найти внутренний угол треугольника. Докажем, что Как найти внутренний угол треугольника. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 156). Поскольку Как найти внутренний угол треугольникато точка D лежит между точками А к В, значит, угол 1 является частью угла С, то есть Как найти внутренний угол треугольникаОчевидно, что треугольник ADC равнобедренный с основанием DC, откуда Как найти внутренний угол треугольникаКроме того, угол 2 — внешний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольника, поэтому Как найти внутренний угол треугольника. Следовательно, имеем: Как найти внутренний угол треугольникаоткуда Как найти внутренний угол треугольника

2. Пусть в треугольнике Как найти внутренний угол треугольникаДокажем от противного, что Как найти внутренний угол треугольника. Если это не так, то Как найти внутренний угол треугольникаили Как найти внутренний угол треугольника. В первом случае треугольник ABC равнобедренный с основанием ВС, то есть Как найти внутренний угол треугольника. Во втором случае, по только что доказанному утверждению, против большей стороны должен лежать больший угол, то есть Как найти внутренний угол треугольника. В обоих случаях имеем противоречие условию Как найти внутренний угол треугольника. Таким образом, наше предположение неверно, то есть Как найти внутренний угол треугольника. Теорема доказана.

Как найти внутренний угол треугольника

В тупоугольном треугольнике сторона, лежащая против тупого угла, — наибольшая.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Неравенство треугольника

Теорема: (неравенство треугольника)

В треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что Как найти внутренний угол треугольника. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок BD, равный стороне ВС (рис. 157). Треугольник BСD равнобедренный с основанием CD, откуда Как найти внутренний угол треугольникаНо угол 2 является частью угла ACD, то есть Как найти внутренний угол треугольникаТаким образом, в треугольнике Как найти внутренний угол треугольника. Учитывая соотношение между сторонами и углами тре угольника, имеем: Как найти внутренний угол треугольникаТеорема доказана.

Как найти внутренний угол треугольника

Если для трех точек А, В, С справедливо равенство АС = АВ + ВС, то эти тонки лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С.

Действительно, если точка В не лежит на прямой АС, то по неравенству треугольника АС Как найти внутренний угол треугольника АВ + ВС . Если точка В лежит на прямой АС вне отрезка АС, это неравенство также очевидно справедливо. Остается единственная возможность: точка В лежит на отрезке АС.

Неравенство треугольника позволяет проанализировать возможность построения треугольника с заданными сторонами. В частности, если хотя бы одно из трех положительных чисел а, b, с больше или равно сумме двух других, то построить треугольник со сторонами а, b, с невозможно.

С неравенством треугольника связана классическая задача о нахождении кратчайшего пути на плоскости. Ее решение было известно еще великому древнегреческому ученому Архимеду (287—212 гг. до н. э.).

Пример №25

Точки А и В лежат по одну сторону от прямой с. Найдите на данной прямой такую точку С, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей (рис. 158).

Как найти внутренний угол треугольника

Решение:

Опустим из точки А перпендикуляр АО к прямой с и отложим на его продолжении отрезок Как найти внутренний угол треугольникаравный Как найти внутренний угол треугольникаДля любой точки С прямой с прямоугольные треугольники Как найти внутренний угол треугольникаравны по двум катетам, откуда Как найти внутренний угол треугольникаОчевидно, что по следствию неравенства треугольника сумма Как найти внутренний угол треугольникабудет наименьшей в случае, когда точки Как найти внутренний угол треугольникалежат на одной прямой. Таким образом, искомая точка должна быть точкой пересечения отрезка Как найти внутренний угол треугольникас прямой с.

Отметим, что в условиях данной задачи прямые АС и СB образуют с прямой с равные углы. Именно так распространяется луч света, который исходит из точки A, отражается от прямой с и попадает в точку В. Физики в таком случае говорят, что угол падения светового луча равен углу отражения.

Историческая справка

Аксиомы Евклида. Аксиомы, сформулированные Евклидом, легли в основу современной геометрии. Ученые на протяжении более двух тысяч лет исследовали, возможно ли доказать некоторые из евклидовых постулатов (аксиом), опираясь на другие. Особое внимание вызывала аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида). Среди великих геометров прошлого не было, пожалуй, ни одного, кто не попытался бы доказать ее как теорему. И только в начале XIX века выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) доказал, что эту аксиому невозможно вывести из других аксиом.

Неевклидова геометрия. Лобачевский создал другую, неевклидову геометрию. По Лобачевскому, прямая, параллельная данной прямой и проходящая через данную точку вне ее, не является единственной. Большинство современников это открытие не приняли. Такая же судьба постигла и работы других ученых, получивших аналогичные результаты: венгра Яноша Больяи и немца Карла Гаусса. И только через столетие неевклидова геометрия была признана и оценена как выдающееся научное открытие.

Как найти внутренний угол треугольника

Становление геометрической аксиоматики. В XX в. исследования вопросов аксиоматического построения геометрии вышли на качественно новый уровень. Немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) обобщил и усовершенствовал систему евклидовых аксиом. Авторский вариант геометрических аксиом, разработанный на основе трудов Евклида и Гильберта, предложил наш соотечественник Алексей Васильевич Погорелов (1919-2002).

Геометрия треугольников. Евклид ввел понятие о равенстве геометрических фигур, совмещаемых наложением. В исследованиях древнегреческих геометров многие задачи и теоремы сводились к доказательству равенства треугольников (доказательство второго признака равенства треугольников приписывают Фалесу). Грекам была известна и теорема о сумме углов треугольника (впервые она встречается в комментариях Прокла к «началам» Евклида).

Как найти внутренний угол треугольника

Геометрия треугольника стала основой для изучения более сложных видов многоугольников, которые можно разбить на треугольники.

Видео:Сумма углов треугольникаСкачать

Сумма углов треугольника

Справочный материал по треугольнику

Треугольники

Треугольник и его элементы. Равные треугольники

  • ✓ Три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, соединены отрезками (рис. 245). Образовавшаяся фигура ограничивает часть плоскости, которую вместе с отрезками АВ, ВС и СА называют треугольником. Точки А, В, С называют вершинами, а отрезки АВ, ВС, СА — сторонами треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

  • ✓ Треугольник называют и обозначают по его вершинам.
  • ✓ В треугольнике АВС угол В называют углом, противолежащим стороне АС, а углы А и С — углами, прилежащими к стороне АС.
  • ✓ Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
  • ✓ Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые; прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой.
  • ✓ Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами.
  • ✓ Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
  • ✓ Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. Те пары сторон и углов, которые совмещаются при наложении равных треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами.
  • ✓ В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
  • ✓ В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
  • ✓ В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Высота, медиана, биссектриса треугольника

  • ✓ Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
  • ✓ Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
  • ✓ Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.

Признаки равенства треугольников

  • ✓ Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Равнобедренный треугольник и его свойства. Равносторонний треугольник

  • ✓ Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
  • ✓ Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.
  • ✓ Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон.

✓ В равнобедренном треугольнике:

  • 1) углы при основании равны;
  • 2) биссектриса треугольника, проведенная к его основанию, является медианой и высотой треугольника.

✓ Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

✓ В равностороннем треугольнике:

  • 1) все углы равны;
  • 2) биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Признаки равнобедренного треугольника

  • ✓ Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника

  • ✓ Сумма углов треугольника равна 180°.
  • ✓ Среди углов треугольника по крайней мере два угла острые.
  • ✓ Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.
  • ✓ Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
  • ✓ Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Средняя линия треугольника и ее свойства

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 105 Как найти внутренний угол треугольника— средняя линия треугольника Как найти внутренний угол треугольника

Теорема 1 (свойство средней линии треугольника). Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство:

Пусть Как найти внутренний угол треугольника— средняя линия треугольника Как найти внутренний угол треугольника(рис. 105). Докажем, что Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника

1) Проведем через точку Как найти внутренний угол треугольникапрямую, параллельную Как найти внутренний угол треугольникаПо теореме Фалеса она пересекает сторону Как найти внутренний угол треугольникав ее середине, то есть в точке Как найти внутренний угол треугольникаСледовательно, эта прямая содержит среднюю линию Как найти внутренний угол треугольникаПоэтому Как найти внутренний угол треугольника

2) Проведем через точку Как найти внутренний угол треугольникапрямую, параллельную Как найти внутренний угол треугольникакоторая пересекает Как найти внутренний угол треугольникав точке Как найти внутренний угол треугольникаТогда Как найти внутренний угол треугольника(по теореме Фалеса). Четырехугольник Как найти внутренний угол треугольника— параллелограмм.

Как найти внутренний угол треугольника(по свойству параллелограмма), но Как найти внутренний угол треугольника

Поэтому Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Пример №26

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, один из углов которого равен углу между диагоналями четырехугольника.

Доказательство:

Пусть Как найти внутренний угол треугольника— данный четырехугольник, а точки Как найти внутренний угол треугольника— середины его сторон (рис. 106). Как найти внутренний угол треугольника— средняя линия треугольника Как найти внутренний угол треугольникапоэтому Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаАналогично Как найти внутренний угол треугольника

Таким образом, Как найти внутренний угол треугольникаТогда Как найти внутренний угол треугольника— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

Как найти внутренний угол треугольника— средняя линия треугольника Как найти внутренний угол треугольникаПоэтому Как найти внутренний угол треугольникаСледовательно, Как найти внутренний угол треугольника— также параллелограмм, откуда: Как найти внутренний угол треугольника

Рассмотрим свойство медиан треугольника.

Теорема 2 (свойство медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство:

Пусть Как найти внутренний угол треугольника— точка пересечения медиан Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникатреугольника Как найти внутренний угол треугольника(рис. 107).

1) Построим четырехугольник Как найти внутренний угол треугольникагде Как найти внутренний угол треугольника— середина Как найти внутренний угол треугольника— середина Как найти внутренний угол треугольника

2) Как найти внутренний угол треугольника— средняя линия треугольника

Как найти внутренний угол треугольникапоэтому Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника

3) Как найти внутренний угол треугольника— средняя линия треугольника Как найти внутренний угол треугольникапоэтому Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника

4) Следовательно, Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаЗначит, Как найти внутренний угол треугольника— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

5) Как найти внутренний угол треугольника— точка пересечения диагоналей Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникапараллелограмма Как найти внутренний угол треугольникапоэтому Как найти внутренний угол треугольникаНо Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольникаТогда Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаСледовательно, точка Как найти внутренний угол треугольникаделит каждую из медиан Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникав отношении 2:1, считая от вершин Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникасоответственно.

6) Точка пересечения медиан Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникадолжна также делить в отношении 2 : 1 каждую медиану. Поскольку существует единственная точка — точка Как найти внутренний угол треугольникакоторая в таком отношении делит медиану Как найти внутренний угол треугольникато медиана Как найти внутренний угол треугольникатакже проходит через эту точку.

7) Следовательно, три медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Точку пересечения медиан еще называют центром масс треугольника, или центроидом треугольника.

Треугольник и его элементы

Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки (рис. 267).

Точки Как найти внутренний угол треугольникавершины треугольника; отрезки Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольникастороны треугольника; Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольникауглы треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон. Как найти внутренний угол треугольника

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 268 Как найти внутренний угол треугольника— медиана треугольника Как найти внутренний угол треугольника

Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

На рисунке 269 Как найти внутренний угол треугольника— биссектриса треугольника Как найти внутренний угол треугольника

Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую его противолежащую сторону.

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке 270 Как найти внутренний угол треугольника— высота Как найти внутренний угол треугольникаСумма углов треугольника равна 180°.

Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 271).

Как найти внутренний угол треугольника

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 272).

Как найти внутренний угол треугольника

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам ). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны (рис. 273).

Как найти внутренний угол треугольника

Виды треугольников

Треугольник называют равнобедренным, если две его стороны равны.

На рисунке 274 Как найти внутренний угол треугольника— равнобедренный, Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника— его боковые стороны, Как найти внутренний угол треугольникаоснование.

Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Как найти внутренний угол треугольника

Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Треугольник, все стороны которого равны, называют равносторонним.

На рисунке 275 Как найти внутренний угол треугольника— равносторонний.

Свойство углов равностороннего треугольника. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Признак равностороннего треугольника. Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний.

Треугольник, все стороны которого имеют разную длину, называют разносторонним.

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

На рисунке 276 биссектриса Как найти внутренний угол треугольникапроведенная к основанию Как найти внутренний угол треугольникаравнобедренного треугольника Как найти внутренний угол треугольникаявляется его медианой и высотой.

В зависимости от углов рассматривают следующие виды треугольников:

  • остроугольные (все углы которого — острые — рис. 277);
  • прямоугольные (один из углов которых — прямой, а два других — острые — рис. 278);
  • тупоугольные (один из углов которых — тупой, а два других — острые — рис. 279).

Как найти внутренний угол треугольника

Внешний угол треугольника

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

На рисунке 280 Как найти внутренний угол треугольника— внешний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольника

Свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

Прямоугольные треугольники

Если Как найти внутренний угол треугольникато Как найти внутренний угол треугольника— прямоугольный (рис. 281). Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникакатеты прямоугольного треугольника; Как найти внутренний угол треугольникагипотенуза прямоугольного треугольника.

Свойства прямоугольных треугольников:

  1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
  2. Гипотенуза больше любого из катетов.
  3. Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
  4. Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
  5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
  2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.
  3. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
  4. По катету и противолежащему углу. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого, то такие треугольники равны.
  5. По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Всё о треугольнике

Как, не накладывая треугольники один на другой, узнать, что они равны? Какими особыми свойства ми обладают равнобедренный и равносторонний треугольники? Как «устроена» теорема?

На эти и многие другие вопросы вы найдете ответы в данном параграфе.

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

Рассмотрим три точки Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника. Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 109 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольниканазывают треугольником. Точки Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольниканазывают вершинами, а отрезки Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольникасторонами треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треугольник, изображенный на рисунке 109, обозначают так: Как найти внутренний угол треугольника, или Как найти внутренний угол треугольника, или Как найти внутренний угол треугольникаи т. д. (читают: «треугольник Как найти внутренний угол треугольника, треугольник Как найти внутренний угол треугольника» и т. д.). Углы Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника(рис. 110) называют углами треугольника Как найти внутренний угол треугольника.

В треугольнике Как найти внутренний угол треугольника, например, угол Как найти внутренний угол треугольниканазывают углом, противолежащим стороне Как найти внутренний угол треугольника, углы Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника— углами, прилежащими к стороне Как найти внутренний угол треугольника, сторону Как найти внутренний угол треугольникастороной, противолежащей углу Как найти внутренний угол треугольника, стороны Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникасторонами, прилежащими к углу Как найти внутренний угол треугольника(рис. 110).

Как найти внутренний угол треугольника

Определение. Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.

Например, для периметра треугольника Как найти внутренний угол треугольникаиспользуют обозначение Как найти внутренний угол треугольника.

Определение. Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой. Если все углы острые, то треугольник называют остроугольным (рис. 111).

Как найти внутренний угол треугольника

Теорема7.1 (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Доказательство: Рассмотрим Как найти внутренний угол треугольника(рис. 109). Точка Как найти внутренний угол треугольникане принадлежит отрезку Как найти внутренний угол треугольника. Тогда в силу основного свойства длины отрезка Как найти внутренний угол треугольника. Аналогично доказывают остальные два неравенства: Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника.

Из доказанной теоремы следует, что если ZK длина одного из трех данных отрезков не меньше суммы длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторонами треугольника (рис. 112).

Как найти внутренний угол треугольника

Если любой из трех данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.

Определение. Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением.

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке 113 изображены равные треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. Записывают: Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника. Эти треугольники можно совместить так, что вершины Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникасовпадут. Тогда можно записать: Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника.

Те стороны и те углы, которые совмещаются при наложении треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами. Так, на рисунке 113 углы Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, стороны Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника— соответственные.

Обычно на рисунках равные стороны отмечают одинаковым количеством черточек, а равные углы — одинаковым количеством дуг. На рисунке ИЗ таким способом отмечены соответственные стороны и углы.

Заметим, что в равных треугольниках против соответственных углов лежат соответственные стороны, и наоборот: против соответственных сторон лежат соответственные углы.

То, что для каждого треугольника существует равный ему треугольник, обеспечивает такое основное свойство равенства треугольников. Для данного треугольника Как найти внутренний угол треугольникаи луча Как найти внутренний угол треугольникасуществует треугольник Как найти внутренний угол треугольникаравный треугольнику Как найти внутренний угол треугольника, такой, что Как найти внутренний угол треугольникаи сторона Как найти внутренний угол треугольникапринадлежит лучу Как найти внутренний угол треугольника, а вершина Как найти внутренний угол треугольникалежит в заданной полуплоскости относительно прямой Как найти внутренний угол треугольника(рис. 114).

Как найти внутренний угол треугольника

Теорема 7.2. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.

Доказательство: Рассмотрим прямую Как найти внутренний угол треугольникаи не принадлежащую ей точку Как найти внутренний угол треугольника(рис. 115). Предположим, что через точку Как найти внутренний угол треугольникапроходят две прямые Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, перпендикулярные прямой Как найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

В силу основного свойства равенства треугольников существует треугольник Как найти внутренний угол треугольника, равный треугольнику Как найти внутренний угол треугольника(рис. 116). Тогда Как найти внутренний угол треугольника. Отсюда Как найти внутренний угол треугольника, а значит, точки Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника( лежат на одной прямой.

Аналогично доказывают, что точки Как найти внутренний угол треугольникатакже лежат на одной прямой. Но тогда прямые Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаимеют две точки пересечения: Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. А это противоречит теореме 1.1. Следовательно, наше предположение неверно.

Как найти внутренний угол треугольника

Возможно, вы заметили, что определения равных отрезков, равных углов и равных треугольников очень похожи. Поэтому целесообразно принять следующее

Определение. Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке 117 изображены равные фигуры Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. Пишут: Как найти внутренний угол треугольника. Понятно, что любые две прямые (два луча, две точки).

Определение. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, называют высотой треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке 118 отрезки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника— высоты треугольника Как найти внутренний угол треугольника. Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называют медианой треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке 119 отрезок Как найти внутренний угол треугольника— медиана треугольника Как найти внутренний угол треугольника.

Определение. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называют биссектрисой треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке 120 отрезок Как найти внутренний угол треугольника— биссектриса треугольника Как найти внутренний угол треугольника.

Далее, говоря «биссектриса угла треугольника», будем иметь в виду биссектрису треугольника, проведенную из вершины этого угла. Ясно, что каждый треугольник имеет три высоты, три медианы и три биссектрисы.

Часто длины сторон, противолежащих углам Как найти внутренний угол треугольника, обозначают соответственно Как найти внутренний угол треугольника. Длины высот обозначают Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, медиан — Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, биссектрис — Как найти внутренний угол треугольника. Индекс показывает, к какой стороне проведен отрезок (рис. 121).

Как найти внутренний угол треугольника

Первый и второй признаки равенства треугольников

Если для треугольников Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникавыполняются шесть условий Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника,Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольникато очевидно, что эти треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Попробуем уменьшить количество условий. Например, оставим лишь два равенства: Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. Но тогда треугольники не обязательно окажутся равными (рис. 127).

Как найти внутренний угол треугольника

Как же сократить список требований до минимума, но при этом сохранить равенство треугольников? На этот вопрос отвечают теоремы, которые называют признаками равенства треугольников.

Теорема 8.1 (первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум, сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникау которых Как найти внутренний угол треугольника(рис. 128). Докажем, что Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

Наложим Как найти внутренний угол треугольникана Как найти внутренний угол треугольникатак, чтобы луч Как найти внутренний угол треугольникасовместился с лучом Как найти внутренний угол треугольника, а луч Как найти внутренний угол треугольникасовместился с лучом Как найти внутренний угол треугольника. Это можно сделать, так как по условию Как найти внутренний угол треугольникаПоскольку по условию Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, то при таком наложении сторона Как найти внутренний угол треугольникасовместится со стороной Как найти внутренний угол треугольника, а сторона Как найти внутренний угол треугольника— со стороной Как найти внутренний угол треугольника. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаполностью совместятся, значит, они равны.

Определение. Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке 129 прямая а является серединным перпендикуляром отрезка Как найти внутренний угол треугольника.

Теорема 8.2. Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство: Пусть Как найти внутренний угол треугольника— произвольная точка серединного перпендикуляра Как найти внутренний угол треугольникаотрезка Как найти внутренний угол треугольника, точка Как найти внутренний угол треугольника— середина отрезка Как найти внутренний угол треугольника. Надо доказать, что Как найти внутренний угол треугольника. Если точка Как найти внутренний угол треугольникасовпадает с точкой Как найти внутренний угол треугольника(а это возможно, так как Как найти внутренний угол треугольника— произвольная точка прямой а), то Как найти внутренний угол треугольника. Если точки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникане совпадают, то рассмотрим треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника(рис. 130).

В этих треугольниках Как найти внутренний угол треугольника, так как Как найти внутренний угол треугольника— середина отрезка Как найти внутренний угол треугольника. Сторона Как найти внутренний угол треугольника— общая, Как найти внутренний угол треугольника. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Значит, отрезки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 8.3 (второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, у которых Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, (рис. 131). Докажем, что Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника.

Наложим Как найти внутренний угол треугольникана Как найти внутренний угол треугольникатак, чтобы точка Как найти внутренний угол треугольникасовместилась с точкой Как найти внутренний угол треугольника, отрезок Как найти внутренний угол треугольника— с отрезком Как найти внутренний угол треугольника(это возможно, так как Как найти внутренний угол треугольника) и точки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникалежали в одной полуплоскости относительно прямой Как найти внутренний угол треугольника. Поскольку Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникато луч Как найти внутренний угол треугольникасовместится с лучом Как найти внутренний угол треугольника, а луч Как найти внутренний угол треугольника— с лучом Как найти внутренний угол треугольника. Тогда точка Как найти внутренний угол треугольника— общая точка лучей Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника— совместится с точкой Как найти внутренний угол треугольника— общей точкой лучей Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. Значит, Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, полностью совместятся, следовательно, они равны.

Как найти внутренний угол треугольника

Пример №27

На рисунке 132 точка Как найти внутренний угол треугольника— середина отрезка Как найти внутренний угол треугольника. Докажите, что Как найти внутренний угол треугольника.

Решение:

Рассмотрим Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. Как найти внутренний угол треугольника, так как точка Как найти внутренний угол треугольника— середина отрезка Как найти внутренний угол треугольника. Как найти внутренний угол треугольникапо условию. Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаравны как вертикальные. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольникапо / стороне и двум прилежащим углам. Рассмотрим Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, так как Как найти внутренний угол треугольника. Как найти внутренний угол треугольника— общая сторона. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольникапо двум сторонам и углу между ними. Тогда Как найти внутренний угол треугольника.

Равнобедренный треугольник и его свойства

Определение. Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке 155 изображен равнобедренный треугольник Как найти внутренний угол треугольника, у которого Как найти внутренний угол треугольника.

Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.

Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон (точка Как найти внутренний угол треугольникана рисунке 155). При этом угол Как найти внутренний угол треугольниканазывают углом при вершине, а углы Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникауглами при основании равнобедренного треугольника.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке 156 изображен равносторонний треугольник Как найти внутренний угол треугольника. Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника.

Теорема 9.1. В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник Как найти внутренний угол треугольника, у которого Как найти внутренний угол треугольника, отрезок Как найти внутренний угол треугольника— его биссектриса (рис. 157). Требуется доказать, что Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника.

В треугольниках Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникасторона Как найти внутренний угол треугольника— общая, Как найти внутренний угол треугольника, так как по условию Как найти внутренний угол треугольника— биссектриса угла Как найти внутренний угол треугольника, стороны Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаравны как боковые стороны равнобедренного треугольника. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольникапо первому признаку равенства треугольников.

Отсюда можно сделать такие выводы:

  1. Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаравны как соответственные углы в равных треугольниках;
  2. отрезки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаравны как соответственные стороны равных треугольников, следовательно, Как найти внутренний угол треугольника— медиана;
  3. Как найти внутренний угол треугольника. Но Как найти внутренний угол треугольника. Отсюда следует, что Как найти внутренний угол треугольника, значит, Как найти внутренний угол треугольника— высота.

Из этой теоремы следует, что:

  1. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы;
  2. в равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из его вершины, совпадают;
  3. в равностороннем треугольнике все углы равны;
  4. в равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Определение. Если в треугольнике все стороны имеют разную длину, то такой треугольник называют разносторонним.

Как найти внутренний угол треугольника

Пример №28

Отрезок Как найти внутренний угол треугольника— медиана равнобедренного треугольника Как найти внутренний угол треугольника, проведенная к основанию. На сторонах Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаотмечены соответственно точки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникатак, что Как найти внутренний угол треугольника. Докажите равенство треугольников Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника.

Решение:

Имеем:Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника(рис. 158). Так как Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, то Как найти внутренний угол треугольника. Как найти внутренний угол треугольника, поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой. Как найти внутренний угол треугольника— общая сторона треугольников Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольникапо двум сторонам и углу между ними.

Признаки равнобедренного треугольника

В предыдущем пункте мы рассмотрели свойства равнобедренного треугольника. А как среди треугольников «распознавать» равнобедренные? На этот вопрос дают ответ следующие теоремы.

Теорема 10.1. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольник Как найти внутренний угол треугольника, у которого отрезок Как найти внутренний угол треугольника— медиана и высота. Надо доказать, что Как найти внутренний угол треугольника(рис. 168). Из условия теоремы следует, что прямая Как найти внутренний угол треугольника— серединный перпендикуляр отрезка Как найти внутренний угол треугольника.

Тогда по свойству серединного перпендикуляра Как найти внутренний угол треугольника.

Теорема 10.2. Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольник Как найти внутренний угол треугольника, у которого отрезок Как найти внутренний угол треугольника— биссектриса и высота. Надо доказать, что Как найти внутренний угол треугольника(рис. 169). В треугольниках Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникасторона Как найти внутренний угол треугольника— общая, Как найти внутренний угол треугольника, так как по условию Как найти внутренний угол треугольника— биссектриса угла Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, так как по условию Как найти внутренний угол треугольника— высота. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольникапо второму признаку равенства треугольников. Тогда стороны Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 10.3. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство: Рассмотрим треугольник Как найти внутренний угол треугольника, у которогоКак найти внутренний угол треугольника. Надо доказать, что Как найти внутренний угол треугольника.

Проведем серединный перпендикуляр Как найти внутренний угол треугольникастороны Как найти внутренний угол треугольника. Докажем, что прямая Как найти внутренний угол треугольникапроходит через вершину Как найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

Предположим, что это не так. Тогда прямая Как найти внутренний угол треугольникапересекает или сторону Как найти внутренний угол треугольника(рис. 170), или сторону Как найти внутренний угол треугольника(рис. 171).

Рассмотрим первый из этих случаев. Пусть Как найти внутренний угол треугольника— точка пересечения прямой Как найти внутренний угол треугольникасо стороной Как найти внутренний угол треугольника. Тогда по свойству серединного перпендикуляра (теорема 8.2) Как найти внутренний угол треугольника. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольника— равнобедренный, а значит Как найти внутренний угол треугольника. Но по условиюКак найти внутренний угол треугольника. Тогда имеем: Как найти внутренний угол треугольника, что противоречит основному свойству величины угла (п. 3).

Аналогично получаем противоречие и для второго случая (рис. 171).

Как найти внутренний угол треугольника

Следовательно, наше предположение неверно. Прямая Как найти внутренний угол треугольникапроходит через точку Как найти внутренний угол треугольника(рис. 172), и по свойству серединного перпендикуляра Как найти внутренний угол треугольника.

Из этой теоремы следует, что в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

Теорема 10.4. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольник Как найти внутренний угол треугольника, у которого отрезок Как найти внутренний угол треугольника— медиана и биссектриса (рис. 173). Надо доказать, что Как найти внутренний угол треугольника. На луче Как найти внутренний угол треугольникаотложим отрезок Как найти внутренний угол треугольника, равный отрезку Как найти внутренний угол треугольника(рис. 173). В треугольниках Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, так как по условию Как найти внутренний угол треугольника— медиана, Как найти внутренний угол треугольникапо построению, Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаравны как вертикальные. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Тогда стороны Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаравны как соответственные элементы равных треугольников. Поскольку Как найти внутренний угол треугольника— биссектриса угла Как найти внутренний угол треугольника, то Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника. С учетом доказанного получаем, что Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника. Тогда по теореме 10.3 Как найти внутренний угол треугольника— равнобедренный, откуда Как найти внутренний угол треугольника. Но уже доказано, что Как найти внутренний угол треугольника. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

Пример №29

В треугольнике Как найти внутренний угол треугольникапроведена биссектриса Как найти внутренний угол треугольника(рис. 174), Как найти внутренний угол треугольника,Как найти внутренний угол треугольника. Докажите, что Как найти внутренний угол треугольника.

Решение:

Так как Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника— смежные, то Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника. Следовательно, в треугольнике Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника.

Тогда Как найти внутренний угол треугольника— равнобедренный с основанием Как найти внутренний угол треугольника, и его биссектриса Как найти внутренний угол треугольника( Как найти внутренний угол треугольника— точка пересечения Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника) является также высотой, т. е. Как найти внутренний угол треугольника.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 11.1 (третий признак равенства треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника(рис. 177), у которых Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольника(эти равенства указывают, какие стороны треугольников соответствуют друг другу). Докажем, что Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

Расположим треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, так, чтобы вершина Как найти внутренний угол треугольникасовместилась с вершиной Как найти внутренний угол треугольникавершина Как найти внутренний угол треугольника— с Как найти внутренний угол треугольникаа вершины Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникалежали в разных полуплоскостях относительно прямой Как найти внутренний угол треугольника(рис. 178). Проведем отрезок Как найти внутренний угол треугольника. Поскольку Как найти внутренний угол треугольника, то треугольник Как найти внутренний угол треугольника— равнобедренный, значит, Как найти внутренний угол треугольника. Аналогично можно доказать, что Как найти внутренний угол треугольника. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольника. Тогда Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольникапо первому признаку равенства треугольников.

Казалось бы, доказательство завершено. Однако мы рассмотрели лишь случай, когда отрезок Как найти внутренний угол треугольникапересекает отрезок Как найти внутренний угол треугольникаво внутренней точке. На самом деле отрезок Как найти внутренний угол треугольникаможет проходить через один из концов отрезка Как найти внутренний угол треугольника, например, через точку Как найти внутренний угол треугольника(рис. 179), или не иметь общих точек с отрезком Как найти внутренний угол треугольника(рис. 180). В обоих этих случаях доказательства будут аналогичными приведенному. Проведите их самостоятельно.

Как найти внутренний угол треугольника

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольникжесткая фигура. Действительно, если четыре рейки скрепить так, как показано на рисунке 181, а, то такая конструкция не будет жесткой (рис. 181, б, в).

Как найти внутренний угол треугольника

Если же добавить еще одну рейку, создав два треугольника (рис. 181, г), то полученная конструкция станет жесткой.

Этот факт широко используют в практике (рис. 182).

Как найти внутренний угол треугольника

Теорема 11.2. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство: Пусть точка Как найти внутренний угол треугольникаравноудалена от концов отрезка Как найти внутренний угол треугольника, т. е. Как найти внутренний угол треугольника(рис. 183). Рассмотрим треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, где Как найти внутренний угол треугольника— середина отрезка Как найти внутренний угол треугольника. Тогда Как найти внутренний угол треугольникапо третьему признаку равенства треугольников. Отсюда Как найти внутренний угол треугольника. Но сумма этих углов равна 180°, следовательно, каждый из них равен 90°. Значит, прямая Как найти внутренний угол треугольника— серединный перпендикуляр отрезка Как найти внутренний угол треугольника.

Заметим, что мы рассмотрели случай, когда точка Как найти внутренний угол треугольникане принадлежит прямой Как найти внутренний угол треугольника. Если точка Как найти внутренний угол треугольникапринадлежит прямой Как найти внутренний угол треугольника, то она совпадает с серединой отрезка Как найти внутренний угол треугольника, а значит, принадлежит его серединному перпендикуляру.

Теоремы

Вы видите, что в учебнике появляется все больше и больше теорем. И это не удивительно: ведь геометрия в основном состоит из теорем и их доказательств. Формулировки всех теорем, которые мы доказали, состоят из двух частей. Первую часть теоремы (то, что дано) называют условием теоремы, вторую часть теоремы (то, что требуется доказать) — заключением.

Например, в теореме 8.1 (первый признак равенства треугольников) условием является то, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, а заключением — равенство треугольников.

Все знакомые вам теоремы можно условно разделить на теоремы-свойства и теоремы-признаки. Например, теорема 1.1 устанавливает свойство пересекающихся прямых, теорема 9.1 — свойство равнобедренного треугольника.

Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру, т. е. отнести ее к тому или иному виду (классу). Так, теоремы-признаки равенства треугольников указывают требования, по которым два треугольника можно причислить к классу равных. Например, в теоремах 10.1-10.4 сформулированы свойства, по которым «распознают» равнобедренный треугольник. Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем, называют теоремами-следствиями или просто следствиями.

Например, теорема 7.1 (неравенство треугольника) является следствием из основного свойства длины отрезка. Свойство углов, противолежащих равным сторонам треугольника, является следствием из теоремы 9.1.

Если в теореме 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра поменять местами условие и заключение, то получим теорему 11.2. В таких случаях теоремы называют взаимно обратными. Если какую-то из этих теорем назвать прямой, то вторую теорему будем называть обратной.

При формулировке обратной теоремы надо быть очень внимательными: не всегда можно получить истинное утверждение. Например, утверждение, обратное теореме 4.1 о сумме смежных углов, неверно. Действительно, если сумма каких-то двух углов равна 180°, то совершенно не обязательно, чтобы эти углы были смежными. В таких случаях говорят, что обратная теорема неверна. Вы знаете, что справедливость теоремы устанавливают путем логических рассуждений, т. е. доказательства.

Первая теорема этого учебника была доказана методом от противного. Название этого метода фактически отражает его суть. Мы предположили, что заключение теоремы 1.1 неверно. На основании этого предположения с помощью логических рассуждений был получен факт, который противоречил основному свойству прямой.

Методом от противного также были доказаны и другие теоремы, например теоремы 2.1, 5.1, 10.3.

Очень важно, чтобы доказательство теоремы было полным. Так, полное доказательство теоремы 11.1 (третий признак равенства треугольников) потребовало рассмотрения всех трех возможных случаев. Умение видеть все тонкости доказательства — важнейшее качество, формирующее математическую культуру. Если бы, например, при доказательстве теоремы 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра мы не рассмотрели отдельно случай, когда точка Как найти внутренний угол треугольникаявляется серединой отрезка Как найти внутренний угол треугольника, то обращение к треугольникам Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникабыло бы не совсем «законным». При доказательстве теоремы 10.4 (признак равнобедренного треугольника) мы использовали прием дополнительного построения: чертеж дополнили элементами, о которых не шла речь в условии теоремы. Этот метод является ключом к решению многих задач и доказательству ряда теорем. Поэтому очень важно научиться видеть «выгодное» (результативное) дополнительное построение.

А как приобрести такое «геометрическое зрение»? Вопрос непростой, и на него сложно ответить конкретными рекомендациями. Но все же мы советуем, во-первых, не быть равнодушными к геометрии, а полюбить этот красивый предмет, во-вторых, решать больше задач, чтобы развить интуицию и приобрести нужный опыт. Дерзайте!

Видео:Геометрия. 7 класс. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника /28.01.2021/Скачать

Геометрия. 7 класс. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника /28.01.2021/

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника

Как установить параллельность двух прямых? Какими свойствами обладают параллельные прямые? Чему равна сумма углов любого треугольника? Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник? Изучив материал этого параграфа, вы получите ответы на поставленные вопросы.

Параллельные прямые

Определение. Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке 192 изображены параллельные прямые Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. Пишут: Как найти внутренний угол треугольника(читают: «прямые Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникапараллельны» или «прямая а параллельна прямой Как найти внутренний угол треугольника»). Если два отрезка лежат на параллельных прямых, то их также называют параллельными.

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке 193 отрезки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникапараллельны. Пишут: Как найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

Также можно говорить о параллельности двух лучей, луча и отрезка, прямой и луча, отрезка и прямой. Например, на рисунке 194 изображены параллельные лучи.

Теорема 13.1 (признак параллельности прямых). Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство: На рисунке 195 Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. Надо доказать, чтоКак найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

Предположим, что прямые Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникапересекаются в некоторой точке Как найти внутренний угол треугольника(рис. 196). Тогда через точку Как найти внутренний угол треугольника, не принадлежащую прямой Как найти внутренний угол треугольника, проходят две прямые Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, перпендикулярные прямой Как найти внутренний угол треугольника. Это противоречит теореме 7.2. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольника.

Доказанная теорема позволяет с помощью линейки и угольника строить параллельные прямые (рис. 197).

Как найти внутренний угол треугольника

Следствие. Через данную точку Как найти внутренний угол треугольника, не принадлежащую прямой Как найти внутренний угол треугольника, можно провести прямую Как найти внутренний угол треугольника, параллельную прямой Как найти внутренний угол треугольника.

Доказательство: Пусть точка Как найти внутренний угол треугольника не принадлежит прямой Как найти внутренний угол треугольника (рис. 198).

Как найти внутренний угол треугольника

Проведем (например, с помощью угольника) через точку Как найти внутренний угол треугольника прямую Как найти внутренний угол треугольника, перпендикулярную прямой Как найти внутренний угол треугольника. Теперь через точку Как найти внутренний угол треугольника проведем прямую Как найти внутренний угол треугольника, перпендикулярную прямой Как найти внутренний угол треугольника. В силу теоремы 13.1 Как найти внутренний угол треугольника.

Можно ли через точку Как найти внутренний угол треугольника(рис. 198) провести еще одну прямую, параллельную прямой Как найти внутренний угол треугольника? Ответ дает следующее

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема 13.2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство: Пусть Как найти внутренний угол треугольникаиКак найти внутренний угол треугольника. Докажем, что Как найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

Предположим, что прямые Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникане параллельны, а пересекаются в некоторой точке Как найти внутренний угол треугольника(рис. 199). Получается, что через точку Как найти внутренний угол треугольникапроходят две прямые, параллельные прямой Как найти внутренний угол треугольника, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольника.

Пример №30

Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Как найти внутренний угол треугольника

Решение:

Пусть прямые Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникапараллельны, прямая Как найти внутренний угол треугольникапересекает прямую Как найти внутренний угол треугольникав точке Как найти внутренний угол треугольника(рис. 200). Предположим, что прямая Как найти внутренний угол треугольникане пересекает прямую Как найти внутренний угол треугольника, тогда Как найти внутренний угол треугольника. Но в этом случае через точку Как найти внутренний угол треугольникапроходят две прямые Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, параллельные прямой Как найти внутренний угол треугольника, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, прямая Как найти внутренний угол треугольникапересекает прямую Как найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

Признаки параллельности двух прямых

Если две прямые Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникапересечь третьей прямой Как найти внутренний угол треугольника, то образуется восемь углов (рис. 204). Прямую с называют секущей прямых Как найти внутренний угол треугольникаа и Как найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4 и 8 называют соответственными.

Теорема 14.1. Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство: На рисунке 205 прямая Как найти внутренний угол треугольникаявляется секущей прямых Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника. Докажем, что Как найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

Если Как найти внутренний угол треугольника(рис. 206), то параллельность прямых Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаследует из теоремы 13.1.

Как найти внутренний угол треугольника

Пусть теперь прямая Как найти внутренний угол треугольникане перпендикулярна ни прямой Как найти внутренний угол треугольника, ни прямой Как найти внутренний угол треугольника. Отметим точку Как найти внутренний угол треугольника— середину отрезка Как найти внутренний угол треугольника(рис. 207). Через точку Как найти внутренний угол треугольникапроведем перпендикуляр Как найти внутренний угол треугольникак прямой Как найти внутренний угол треугольника. Пусть прямая Как найти внутренний угол треугольникапересекает прямую Как найти внутренний угол треугольникав точке Как найти внутренний угол треугольника. Имеем: Как найти внутренний угол треугольникапо условию; Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаравны как вертикальные.

Следовательно, Как найти внутренний угол треугольникапо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Как найти внутренний угол треугольника. Мы показали, что прямые Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаперпендикулярны прямой Как найти внутренний угол треугольника, значит, они параллельны.

Теорема 14.2. Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство: На рисунке 208 прямая Как найти внутренний угол треугольникаявляется секущей прямых Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника. Докажем, что Как найти внутренний угол треугольника.

Углы 1 и 3 смежные, следовательно, Как найти внутренний угол треугольника. Тогда Как найти внутренний угол треугольника. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Как найти внутренний угол треугольника.

Теорема 14.3. Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство: На рисунке 209 прямая Как найти внутренний угол треугольникаявляется секущей прямых Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника. Докажем, что Как найти внутренний угол треугольника.

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольника. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Как найти внутренний угол треугольника. ▲

Как найти внутренний угол треугольника

Пример №31

На рисунке 210 Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника. Докажите, что Как найти внутренний угол треугольника.

Решение:

Рассмотрим Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника. Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника— по условию. Как найти внутренний угол треугольника— общая сторона. Значит, Как найти внутренний угол треугольникапо двум сторонам и углу между ними. Тогда Как найти внутренний угол треугольника. Кроме того, Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника— накрест лежащие при прямых Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаи секущей Как найти внутренний угол треугольника. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольника.

Пятый постулат Евклида

В качестве аксиом выбирают очевидные утверждения. Тогда почему бы, например, теоремы 1.1-5.1 не включить в список аксиом: ведь они тоже очевидны? Ответ на этот вопрос совершенно ясен: если какое-то утверждение можно доказать с помощью аксиом, то это утверждение — теорема, а не аксиома.

С этих позиций очень поучительна история, связанная с пятым постулатом Евклида (напомним, что в рассказе «Из истории геометрии» мы сформулировали первых четыре постулата).

Как найти внутренний угол треугольника

V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов (рис. 225).

Можно показать, что пятый постулат и сформулированная нами в п. 13 аксиома параллельности прямых равносильны, т. е. из постулата следует аксиома и наоборот — из аксиомы следует постулат.

Более 20 веков многие ученые пытались доказать пятый постулат (аксиому параллельности прямых), т. е. вывести его из других аксиом Евклида. Лишь в начале XIX века несколько матема- / тиков независимо друг от друга пришли ДР к выводу: утверждение, что через данную точку, не лежащую на данной, прямой, можно провести только одну прямую, парал- а + р 0 .

Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник Как найти внутренний угол треугольника. Требуется доказать, что Как найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

Через вершину Как найти внутренний угол треугольникапроведем прямую Как найти внутренний угол треугольника, параллельную прямой Как найти внутренний угол треугольника(рис. 245). Имеем: Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаравны как накрест лежащие при параллельных прямых Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаи секущей Как найти внутренний угол треугольника. Аналогично доказываем, что Как найти внутренний угол треугольника. Но углы 1, 2, 3 составляют развернутый угол с вершиной Как найти внутренний угол треугольника. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольника.

Следствие. Среди углов треугольника хотя бы два угла острые.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Определение. Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке 246 углы 1, 2, 3 являются внешними углами треугольника Как найти внутренний угол треугольника.

Теорема 16.2. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство: На рисунке 246 Как найти внутренний угол треугольника— внешний. Надо доказать, что Как найти внутренний угол треугольника.

Очевидно, что Как найти внутренний угол треугольника. Та как Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника, то Как найти внутренний угол треугольника, отсюда Как найти внутренний угол треугольника.

Следствие. Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Вы уже знаете, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы, и наоборот, против равных углов лежат равные стороны (п. 9, 10). Это свойство дополняет следующая

Теорема 16.3. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольник Как найти внутренний угол треугольника, у которого Как найти внутренний угол треугольника. Надо доказать, что Как найти внутренний угол треугольника(рис. 247).

Поскольку Как найти внутренний угол треугольника, то на стороне Как найти внутренний угол треугольниканайдется такая точка Как найти внутренний угол треугольника, что Как найти внутренний угол треугольника. Получили равнобедренный треугольник Как найти внутренний угол треугольника, в котором Как найти внутренний угол треугольника.

Так как Как найти внутренний угол треугольника— внешний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольника, то Как найти внутренний угол треугольника. Следующая «цепочка» доказывает первую часть теоремы:

Как найти внутренний угол треугольника

Рассмотрим треугольник Как найти внутренний угол треугольника, у которого Как найти внутренний угол треугольника. Надо доказать, что Как найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

Поскольку Как найти внутренний угол треугольника, то угол Как найти внутренний угол треугольникаможно разделить на два угла Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникатак, что Как найти внутренний угол треугольника(рис. 248). Тогда Как найти внутренний угол треугольника— равнобедренный с равными сторонами Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника.

Используя неравенство треугольника, получим: Как найти внутренний угол треугольника.

Пример №34

Медиана Как найти внутренний угол треугольникатреугольника Как найти внутренний угол треугольникаравна половине стороны Как найти внутренний угол треугольника. Докажите, что Как найти внутренний угол треугольника— прямоугольный.

Как найти внутренний угол треугольника

Решение:

По условию Как найти внутренний угол треугольника(рис. 249). Тогда в треугольнике Как найти внутренний угол треугольника. Аналогично Как найти внутренний угол треугольника, и в треугольнике Как найти внутренний угол треугольника. В Как найти внутренний угол треугольника: Как найти внутренний угол треугольника. Учитывая, что Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника, имеем:

Как найти внутренний угол треугольника.

Следовательно, Как найти внутренний угол треугольника— прямоугольный.

Прямоугольный треугольник

На рисунке 255 изображен прямоугольный треугольник Как найти внутренний угол треугольника, у которого Как найти внутренний угол треугольника.

Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами (рис. 255).

Как найти внутренний угол треугольника

Для доказательства равенства двух треугольников находят их равные элементы. У любых двух прямоугольных треугольников такие элементы есть всегда — это прямые углы. Поэтому для прямоугольных треугольников можно сформулировать «персональные» признаки равенства.

Теорема17.1 (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Как найти внутренний угол треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, у которых Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника(рис. 256). Надо доказать, что Как найти внутренний угол треугольника.

Расположим треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникатак, чтобы вершина Как найти внутренний угол треугольникасовместилась Как найти внутренний угол треугольникавершиной Как найти внутренний угол треугольникавершина Как найти внутренний угол треугольника— с вершиной Как найти внутренний угол треугольника, а точки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникалежали в разных полуплоскостях относительно прямой Как найти внутренний угол треугольника(рис. 257).

Как найти внутренний угол треугольника

Имеем: Как найти внутренний угол треугольника. Значит, угол Как найти внутренний угол треугольника— развернутый, и тогда точки Как найти внутренний угол треугольникалежат на одной прямой. Получили равнобедренный треугольник Как найти внутренний угол треугольникас боковыми сторонами Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника, и высотой Как найти внутренний угол треугольника(рис. 257). Тогда Как найти внутренний угол треугольника— медиана этого треугольника, и Как найти внутренний угол треугольника Как найти внутренний угол треугольникаСледовательно, Как найти внутренний угол треугольникапо третьему признаку равенства треугольников.

При решении задач удобно пользоваться и другими признаками равенства прямоугольных треугольников, непосредственно вытекающими из признаков равенства треугольников.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум к а т е т а м. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Очевидно, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то равны и два других острых угла. Воспользовавшись этим утверждением, список признаков равенства прямоугольных треугольников можно дополнить еще двумя признаками.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Пример №35

Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла.

Как найти внутренний угол треугольника

Решение:

В треугольниках Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника(рис. 258) Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольникаотрезки Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника— биссектрисы, Как найти внутренний угол треугольника.

Так как Как найти внутренний угол треугольника

Как найти внутренний угол треугольника

то прямоугольные треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаравны по гипотенузе и острому углу. Тогда Как найти внутренний угол треугольникаи прямоугольные треугольники Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаравны по катету и прилежащему острому углу.

Свойства прямоугольного треугольника

Теорема 18.1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство: Каждый из катетов лежит против острого угла, а гипотенуза лежит против прямого угла. Прямой угол больше острого угла, следовательно, в силу теоремы 16.3 гипотенуза больше любого из катетов.

Следствие. Если из одной точки, не лежащей на прямой, к этой прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной.

Как найти внутренний угол треугольника

На рисунке 267 отрезок Как найти внутренний угол треугольника— перпендикуляр, отрезок Как найти внутренний угол треугольника— наклонная, Как найти внутренний угол треугольника. Часто при решении задач используют результаты следующих двух задач.

Пример №36

Катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°, равен половине гипотенузы.

Решение:

Рассмотрим треугольник Как найти внутренний угол треугольника, в котором Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника. Надо доказать, что Как найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника

На прямой Как найти внутренний угол треугольникаотложим отрезок Как найти внутренний угол треугольника, равный отрезку Как найти внутренний угол треугольника(рис. 268). Тогда Как найти внутренний угол треугольникапо двум катетам. Действительно, стороны Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольникаравны по построению, Как найти внутренний угол треугольника— общая сторона этих треугольников и Как найти внутренний угол треугольника. Тогда Как найти внутренний угол треугольника. Отсюда Как найти внутренний угол треугольника. Следовательно, Как найти внутренний угол треугольникаи треугольник Как найти внутренний угол треугольника— равносторонний. Значит,

Как найти внутренний угол треугольника

Пример №37

Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Решение:

Рассмотрим треугольник Как найти внутренний угол треугольника, в котором Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника. Надо доказать, что Как найти внутренний угол треугольника. На прямой Как найти внутренний угол треугольникаотложим отрезок Как найти внутренний угол треугольника, равный отрезку Как найти внутренний угол треугольника(рис. 268). Тогда Как найти внутренний угол треугольника. Кроме того, отрезок Как найти внутренний угол треугольникаявляется медианой и высотой треугольника Как найти внутренний угол треугольника, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника Как найти внутренний угол треугольника. Теперь ясно, что Как найти внутренний угол треугольникаи треугольник Как найти внутренний угол треугольника— равносторонний. Так как отрезок Как найти внутренний угол треугольника— биссектриса треугольника Как найти внутренний угол треугольника, то Как найти внутренний угол треугольника.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Решение треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Геометрические фигуры и их свойства
  • Основные фигуры геометрии и их расположение в пространстве
  • Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства
  • Взаимное расположения прямых на плоскости

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Математика ОГЭ и ЕГЭ Внутренние, внешние углы треугольникаСкачать

Математика ОГЭ и ЕГЭ Внутренние, внешние углы треугольника

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Как найти внутренний угол треугольника.

Как найти внутренний угол треугольника
Как найти внутренний угол треугольника
Как найти внутренний угол треугольника
Как найти внутренний угол треугольника(1)
Как найти внутренний угол треугольника(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Как найти внутренний угол треугольника.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Как найти внутренний угол треугольникаНайти Как найти внутренний угол треугольника(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника.
Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника.
Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника.

И, наконец, находим угол C:

Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

Видео:Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬ

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Как найти внутренний угол треугольника

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Как найти внутренний угол треугольника.
Как найти внутренний угол треугольника.

Далее, из формулы

Как найти внутренний угол треугольника.
Как найти внутренний угол треугольника.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как найти внутренний угол треугольника.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Как найти внутренний угол треугольникаи Как найти внутренний угол треугольника(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Как найти внутренний угол треугольника,
Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника.

Из формулы (3) найдем cosA:

Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника
Как найти внутренний угол треугольника.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника.

Видео:Задачи по рисункам. Найти углы треугольника АВС. Сумма углов треугольника.Скачать

Задачи по рисункам. Найти углы треугольника АВС. Сумма углов треугольника.

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Как найти внутренний угол треугольника

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Как найти внутренний угол треугольника.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника.
Как найти внутренний угол треугольника, Как найти внутренний угол треугольника.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Как найти внутренний угол треугольникаи углы Как найти внутренний угол треугольника(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Как найти внутренний угол треугольникаКак найти внутренний угол треугольника

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Как найти внутренний угол треугольника
Как найти внутренний угол треугольника

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Поделиться или сохранить к себе: