- Углы, связанные с окружностью
- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
- Центральные и вписанные углы
- Центральный угол и вписанный угол
- Свойства центральных и вписанных углов
- Примеры решения задач
- Углы в окружности
- Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением
- Что такое треугольник
- Определение треугольника
- Сумма углов треугольника
- Пример №1
- Пример №2
- О равенстве геометрических фигур
- Пример №3
- Пример №4
- Признаки равенства треугольников
- Пример №5
- Пример №6
- Равнобедренный треугольник
- Пример №7
- Пример №10
- Прямоугольный треугольник
- Первый признак равенства треугольников и его применение
- Пример №14
- Опровержение утверждений. Контрпример
- Перпендикуляр к прямой
- Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой
- Пример №15
- Второй признак равенства треугольников и его применение
- Решение геометрических задач «от конца к началу»
- Пример №16
- Пример №17
- Признак равнобедренного треугольника
- Пример №18
- Прямая и обратная теоремы
- Медиана, биссектриса и высота треугольника
- Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника
- Пример №19
- Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .
- Пример №20
- Третий признак равенства треугольников и его применение
- Пример №21
- Свойства и признаки
- Признаки параллельности прямых
- Пример №22
- О существовании прямой, параллельной данной
- Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.
- Пример №23
- Расстояние между параллельными прямыми
- Сумма углов треугольника
- Пример №24
- Виды треугольников по величине углов. Классификация
- Внешний угол треугольника
- Прямоугольные треугольники
- Прямоугольный треугольник с углом 30°
- Сравнение сторон и углов треугольника
- Неравенство треугольника
- Пример №25
- Справочный материал по треугольнику
- Треугольники
- Средняя линия треугольника и ее свойства
- Пример №26
- Треугольник и его элементы
- Признаки равенства треугольников
- Виды треугольников
- Внешний угол треугольника
- Прямоугольные треугольники
- Всё о треугольнике
- Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника
- Первый и второй признаки равенства треугольников
- Пример №27
- Равнобедренный треугольник и его свойства
- Пример №28
- Признаки равнобедренного треугольника
- Пример №29
- Третий признак равенства треугольников
- Теоремы
- Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
- Параллельные прямые
- Пример №30
- Признаки параллельности двух прямых
- Пример №31
- Пятый постулат Евклида
- Пример №34
- Прямоугольный треугольник
- Пример №35
- Свойства прямоугольного треугольника
- Пример №36
- Пример №37
- Решение треугольников онлайн
- Решение треугольника по трем сторонам
- Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
- Решение треугольника по стороне и любым двум углам
Видео:Внешний угол треугольникаСкачать
Углы, связанные с окружностью
Вписанные и центральные углы |
Углы, образованные хордами, касательными и секущими |
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью |
Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать
Вписанные и центральные углы
Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Видео:ВНЕШНИЕ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА 😉 #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать
Теоремы о вписанных и центральных углах
Фигура | Рисунок | Теорема |
Вписанный угол |
Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.
Вписанный угол | |||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
Угол, образованный пересекающимися хордами |
Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами |
Формула: |
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга |
Формула: |
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания |
Формула: |
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей |
Формула: |
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности |
Формулы: |
Если А то B |
Если В, то А |
Теорема, обратная данной, не обязательно верна. Рассмотрим, например, теорему о вертикальных углах, сформулировав ее так: «Если два угла вертикальные, то они равны». Понятно, что обратная теорема неверна: ведь если два угла равны, то они не обязательно вертикальные.
Немало подобных примеров можно привести и из повседневной жизни. Например, если ученик является семиклассником, то он изучает геомет рию. Обратное утверждение ошибочно: если ученик изучает геометрию, то он не обязательно семиклассник, ведь геометрию изучают и в старших классах. Попробуйте самостоятельно найти примеры прямых и обратных утверждений в других науках, изучаемых в школе.
Таким образом, пользоваться утверждением, обратным доказанной теореме, можно лишь тогда, когда оно также доказано.
Медиана, биссектриса и высота треугольника
Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Помимо сторон и углов, с треугольником связано несколько важных элементов, имеющих специальные названия.
Определение
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
На рисунке 95 отрезок ВМ является медианой треугольника ABC. В любом треугольнике можно провести три медианы — по одной из каждой вершины. Далее будет доказано, что все они пересекаются в одной точке (рис. 96)
Определение:
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.
На рисунке 97 отрезок BL — биссектриса треугольника ABC. Обратим внимание на то, что, в отличие от биссектрисы угла, являющейся лучом, биссектриса треугольника — отрезок. Очевидно, что любой треугольник имеет три биссектрисы (рис. 98). Все они также пересекаются в одной точке (этот факт будет доказан далее).
Определение:
Высотой треугольника называется перпендикуляр. опущенный из вершины треугольника на прямую, которая содержит его противолежащую сторону.
[1] Подчеркнем, что здесь и далее, приводя утверждения, которые будут доказаны позднее, мы не будем ссылаться на них до того момента, когда они будут доказаны.
На рисунке 99 отрезок ВН — высота треугольника ABC.
По теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из каждой вершины треугольника можно провести только одну его высоту. Высоты треугольника не обязательно лежат внутри него. В отличие от медиан и биссектрис, некоторые из высот могут совпадать со сторонами или проходить вне треугольника (рис. 100).
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (это утверждение докажем позднее).
Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника
Теорема: (свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника)
В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.
Доказательство:
Доказательство данной теоремы состоит из трех частей.
1) Пусть BD — медиана равнобедренного треугольника ABC , проведенная к основанию АС (рис. 101, а). Докажем, что BD является также биссектрисой и высотой треугольника ABC .
Рис. 101 Отрезок DB — медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABC
Рассмотрим треугольники ABD и CBD . У них АВ = СВ по определению равнобедренного треугольника, как углы при основании равнобедренного треугольника, AD = CD по определению медианы. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников. Из этого вытекает, что , то есть BD — биссектриса треугольника ABC .
Кроме того, а поскольку эти углы смежные, то оба они прямые. Значит, BD — высота треугольника ABC . Таким образом, отрезок BD — медиана треугольника ABC , проведенная к основанию,— является также биссектрисой и высотой треугольника.
2. Пусть теперь BD — биссектриса равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию АС (рис. 101, б). Аналогично предыдущему случаю можно доказать, что BD является также медианой и высотой треугольника ABC. Действительно, в этом случае но второму признаку Отсюда AD=CD, то есть BD — медиана треугольника, и , то есть BD — высота треугольника.
3. Пусть BD — высота треугольника ABC . Докажем от противного, что BD является медианой и биссектрисой данного треугольника. Пусть существуют медиана и биссектриса , не совпадающие с — Тогда по доказанному выше отрезки и также являются высотами треугольника. Таким образом, из точки В к прямой АС проведены три различных перпендикуляра, что противоречит теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Из этого противоречия следует, что отрезки и совпадают,
то есть BD — медиана и биссектриса данного треугольника.
Итак, в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.
Медиана — от латинского «медианус» — средний
В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают.
Теорема, обратная данной, также верна: если в треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведанные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный (докажите это утверждение самостоятельно).
На практике для решения задач вместо доказанной теоремы часто используют утверждение с условием совпадения лишь двух из трех указанных отрезков:
- если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
- если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
- если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный. Первые два утверждения докажите самостоятельно. Третье утверждение мы рассмотрим в п. 12.3.
Пример №19
Докажите равенство равнобедренных Треугольников по углу, противолежащему основанию, и медиане, проведенной к основанию
Решение:
Пусть и — данные равнобедренные треугольники с основаниями и , и — Медианы этих треугольников, причем (рис. 102). Докажем, что
Рассмотрим треугольники . По условию . Поскольку по свойству медианы биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника и являются также биссектрисами равных углов и , то отрезки и — высоты равнобедренных треугольников, поэтому 90°. Таким образом,, по второму признаку равенства треугольников, откуда тогда и Значит, треугольники равны по перво му признаку равенства треугольников. • . ;
Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .
Для решения некоторых геометрических задач необходимо проводить дополнительные построения, то есть достраивать отрезки и углы, не упомянутые в условии задачи. Это нужно для получения вспомогательных фигур, рассмотрение которых позволяет найти или доказать требуемое. Существуют определенные виды дополнительных построений, применяемые чаще других. Один из них мы рассмотрим в следующей задаче.
Пример №20
Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совладают, то такой треугольник равнобедренный. Докажите.
Решение:
Пусть 80 — медиана и биссектриса данного треугольника ABC (рис; 103). Докажем, что треугольник ABC равнобедренный.
На луче ВD от точки D отложим отрезок равный BD (то есть удвоим медиану ВО). Рассмотрим треугольники У них АD = СD по определению медианы, по построению, как вертикальные. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что . Рассмотрим теперь треугольник С учетом того, что BD — биссектриса угла ABC , имеем тогда По признаку равнобедренного треугольника, треугольник равнобедренный с основанием Отсюда а поскольку по доказанному Таким образом, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.
[1] Здесь и далее звездочкой обозначен теоретический материал, изучение которого не является обязательным.
Проанализируем решение этой задачи. Отображение всех данных условия на рисунке не выявило набора элементов, позволяющих сразу начать доказательство. Это обусловило необходимость дополнительного построения, благодаря которому образовался вспомогательный треугольник . Доказав его равенство с треугольником , мы получили дополнительные равенства отрезков и углов и решили задачу.
Дополнительное построение состояло в удвоении отрезка BD . Такое построение используется чаще всего именно для медиан треугольников, поэтому основанн ый на нем метод доказательства называют методом удвоения медианы.
Третий признак равенства треугольников и его применение
Третий признак равенства треугольников
Применим свойства равнобедренного треугольника для доказательства третьего признака равенства треугольников.
Теорема: (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
Пусть даны треугольники и , у которых . Докажем, что .
Приложим треугольник к треугольнику так, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной , вершина — с вершиной В, а точки и лежали по разные стороны от прямой АВ. Возможны три случая:
- луч проходит внутри угла АСВ (рис. 107, а);
- луч проходит вне угла АСВ (рис. 107, б);
- луч совпадает с одной из сторон угла АСВ (рис. 107, в).
Рис. Прикладывание треугольника к треугольнику
Рассмотрим случаи 1 и 2, Поскольку по условию теоремы и , то треугольники и равнобедренные с основанием . По свойству равнобедренного треугольника . Тогда как суммы (или разности) равных углов. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников. В случае 3 равенство углов и следует из свойства равнобедренного треугольника с основанием, а дальнейшее доказательство проводится аналогично. Теорема доказана.
Обобщая признаки равенства треугольников, можно увидеть, что во всех трех признаках равенство треугольников следует из равенства трех пар соответствующих элементов. И это не случайно: как правило, треугольник можно задать (построить) именно по трем элементам, но не произвольным, а определяющим единственный треугольник. Например, треугольник однозначно определяется длинами трех его сторон (это следует из только что доказанного третьего признака). Однако, например, градусные меры трех углов не задают треугольник однозначно. Попробуйте самостоятельно построить соответствующий контрпример — два неравных треугольника с соответственно равными углами.
Пример №21
Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.
Решение:
Пусть и — данные треугольники с медианами и , соответственно, причем (рис. 108). Рассмотрим сначала треугольники и В них и , по условию, как половины равных сторон и то есть по третьему признаку. Отсюда, в частности, следует, что Тогда по первому признаку по условию, по доказанному).
Свойства и признаки
Проанализируем признаки равенства треугольников. Все эти утверждения одинаковы по структуре: если треугольники имеют некоторую особенность, то они равны. Эта особенность (равенство трех пар соответствующих элементов) и составляет признак равенства треугольников. Нетрудно догадаться по аналогии, что, скажем, признак параллельности прямых может выглядеть так: «Если две прямые имеют определенную особенность, то они параллельны» (вспомните, рассматривались ли ранее похожие утверждения).
Во многих геометрических утверждениях мы получаем новые особенности фигур с помощью уже известных: например, если два угла вертикальные, то они равны. В этом случае равенство является свойством вертикальных углов. По аналогии, свойство смежных углов будет иметь следующий вид: «Если два угла смежные, то они имеют определенную особенность». Нетрудно догадаться, какое из изученных утверждений является свойством смежных углов.
Отметим еще один интересный факт. Если нам дан равнобедренный треугольник, то равенство двух его углов — свойство равнобедренного треугольника. Если же из условия равенства двух углов некоторого треугольника мы делаем заключение, что этот треугольник равнобедренный, то равенство этих углов — признак равнобедренного треугольника. Таким образом, одна и та же особенность фигуры в зависимости от условия задачи может рассматриваться либо как свойство, либо как признак.
Приведем примеры свойств и признаков, не связанные с геометрией. Наличие длинной шеи является свойством жирафа (если животное — жираф, то оно имеет длинную шею). Но длинную шею имеют также и страусы, то есть не любое животное с длинной шеей — жираф. Таким образом, наличие длинной шеи не является признаком жирафа. Другой пример: повышение температуры — признак болезни (ведь если у человека высокая температура, то он болен), но повышение температуры не свойство болезни (ведь многие болезни не сопровождаются повышением температуры). И наконец, пример из арифметики: последняя цифра 0 — и свойство, и признак чисел, которые делятся на 10.
Попробуйте привести собственные примеры свойств и признаков, изучаемых в школе.
Признаки параллельности прямых
Углы, образованные при пересечении двух прямых третьей
Пусть прямая с пересекает каждую из двух прямых a и b (рис. 118). В таком случае говорят, что прямая с является секущей прямых а и b. При таком пересечении двух прямых третьей образуются пары неразвернутых углов, имеющих специальные названия:
- внутренние накрест лежащие углы лежат между прямыми а и b по разные стороны от секущей: 3 и 6, 4 и 5;
- внутренние односторонние углы лежат между прямыми а и & по одну сторону от секущей: 3 и 5, 4 и 6;
- соответственные углы лежат по одну сторону от секущей, причем сторона одного из них является частью стороны другого: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6, 4 и 8.
Признаки параллельности прямых
Вы уже изучили две теоремы, которые утверждают, что две прямые параллельны:
- если две прямые параллельны третьей, то они параллельны;
- если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны.
Докажем еще несколько признаков параллельности прямых.
Теорема: (признак параллельности двух прямых, которые пересекаются секущей)
Если при пересечении двух прямых, секущей внутренние накрестлежащие углы равны; то прямые параллельны.
Доказательство:
Пусть прямая с пересекает прямые а и b в точках А и В соответственно, причем (рис. 119). Докажем, что .
Если углы 1 и 2 прямые, то и . Тогда по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Проведем из точки О — середины отрезка АВ — перпендикуляр , к прямой O. Пусть Н2 — точка пересечения прямых
Рассмотрим треугольники и . У них по условию, как вертикальные и по построению. Итак, по второму признаку равенства треугольников. Отсюда то есть прямая перпендикулярна прямым а и b. Тогда по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Теорема доказана.
Для доказательства параллельности прямых можно использовать не только внутренние накрест лежащие углы, но и другие пары образовавшихся углов.
Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна , то прямые параллельны.
Действительно, если (рис. 120) и по теореме о смежных углах , то Тогда по доказанной теореме .
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Действительно, если (рис. 121), a как вертикальные, то Тогда но доказанной теореме
Следствия 1 и 2 можно объединить с доказанной теоремой в одно утверждение, выражающее признаки параллельности прямых.
Если при пересечении двух прямых секущей выполняется хотя бы одно из условий:
- внутренние накрест лежащие углы равны;
- сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
- соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
Если выполняется одно из трех приведенных условий, то выполняются и два других (докажите это самостоятельно).
Пример №22
На рисунке 122 — биссектриса угла Докажите, что
Решение:
По условию задачи треугольник равнобедренный с основанием По свойству углов равнобедренного треугольника Вместе с тем так как АС — биссектриса угла BAD. Отсюда, Углы 2 и 3 внутренние накрест лежащие при прямых и секущей Поскольку эти уг лы равны, то по признаку параллельности прямых что и требовалось доказать.
О существовании прямой, параллельной данной
Доказанные признаки параллельности прямых позволяют подробнее проанализировать формулировку аксиомы параллельных прямых (аксиомы Евклида, п. 4.1). В этой аксиоме утверждалась единственность прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, но не утверждалось ее существование.
На основании признака параллельности прямых существование такой прямой можно доказать.
Пусть даны прямая АВ и точка С, не принадлежащая этой прямой (рис. 123). Проведем прямую АС. От луча СА отложим угол ACD, равный углу CAB, так, как показано на рисунке. Тогда углы ACD и CAB — внутренние накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей АС. По доказанному признаку AB || CD , то есть существует прямая, проходящая через точку С параллельна прямой АВ.
Таким образом, мы можем объединить доказанный факт с аксиомой параллельных прямых в следующей теореме.
Теорема: (о существовании и единственности прямой, параллельной данной)
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, я притом только одну.
Вообще, аксиома Евклида и связанные с ней утверждения были предметом особого внимания ученых на протяжении многих веков. В начале позапрошлого столетия выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский создал неевклидову геометрию, в которой аксиома параллельных прямых не выполняется.
Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.
Теорема о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей
В предыдущем параграфе мы установили соотношения углов между двумя прямыми и секущей, гарантирующие параллельность данных прямых. Но обязательно ли эти соотношения сохраняются для любой пары параллельных прямых, пересеченных секущей? Докажем утверждение, обратное признаку параллельности прямых.
Теорема: (свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей)
Если секущая пересекает две параллельные прямые, то:
- внутренние накрестлежащие углы равны;
- сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
- соответственные углы равны.
Доказательство:
Докажем первое из утверждений теоремы.
Пусть секущая с пересекает параллельные прямые а и b в точках A и В соответственно (рис. 132). Докажем методом от противного, что внутренние накрест лежащие углы при этих прямых равны.
Пусть эти углы не равны. Проведем через точку А прямую так, чтобы внутренние накрест лежащие углы при прямых и b и секущей с были равны. Тогда по признаку параллельности прямых имеем Но по условию теоремы, а по аксиоме параллельных прямых через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную b. Таким образом, мы получили противоречие.
Следовательно, наше предположение ошибочно, то есть внутренние накрест лежащие углы равны. Из доказанного утверждения нетрудно получить другие два утверждения теоремы (сделайте это самостоятельно).
Следствие Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой
Это следствие обоснуйте самостоятельно по рисунку 133.
Пример №23
Сумма двух внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 210°. Найдите все образовавшиеся углы.
Решение:
Пусть а || b, с — секущая. Внутренние углы, о которых говорится в условии, могут быть односторонними, накрест лежащими или смежными. Поскольку при пересечении параллельных прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180° и сумма смежных углов также равна 180°, то данные углы — внутренние накрест лежащие. Пусть (рис. 134). Поскольку то Тогда:
°, так как углы 1 и 5 соответственные; , так как углы 3 и 5 внутренние односторонние; так как углы 2 и 3 вертикальные; так как углы 5 и 6 смежные; так как углы 7 и 3 соответственные; так как углы 8 и 4 соответственные.
Расстояние между параллельными прямыми
Как вы уже знаете, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Можно предположить, что расстояние между параллельными прямыми тоже будет определяться с помощью перпендикуляра. Но прежде чем сформулировать определение, докажем еще одно свойство параллельных прямых.
Теорема: (о расстояниях от точек прямой до параллельной прямой)
Расстояния от любых двух точек прямой до параллельной ей прямой равны
Доказательство:
Пусть а и b — данные параллельные прямые, — расстояния от точек и прямой до прямой (рис. 135). Докажем, что
Поскольку по определению расстояния от точки до прямой и , то по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей,
Рассмотрим треугольники и У них сторона общая, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей . Таким образом, по второму признаку равенства треугольников, откуда Теорема доказана.
Из только что доказанной теоремы следует, что расстояние от точки прямой а до прямой b не зависит от выбора точки, то есть одинаково для всех точек прямой a. Это позволяет сформулировать следующее определение.
Определение:
Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.
Таким образом, расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую прямую.
На рисунке 136 то есть АВ — расстояние между прямыми а и b. Заметим, что по следствию теоремы о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, , то есть — общий перпендикуляр к прямым а и b.
Сумма углов треугольника
Теорема о сумме углов треугольника и ее следствия
Теорема: (о сумме углов треугольника)
Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство:
Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, что Проведем через вершину В прямую b , параллельную АС (рис. 141). Тогда углы 1 и 4 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых b и АС и секущей АВ. Аналогично как внутренние накрест лежащие при тех же параллельных прямых, но секущей ВС. Имеем: Теорема доказана.
В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.
Действительно, если треугольник имел бы два неострых угла (тупых или прямых), то сумма всех углов превышала бы 180°, что противоречит доказанной теореме.
Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
Поскольку все углы равностороннего треугольника равны, то каждый из них равен .
Рассмотрим еще одно важное утверждение, которое следует из доказанной теоремы.
Пример №24
Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60°, то этот треугольник равносторонний. Докажите.
Решение:
Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС. Рассмотрим два случая.
- Пусть угол 60° — один из углов при основании, например (рис. 142, а). Тогда как углы при основании равнобедренного треугольника. Таким образом, Значит, то есть ABC — равносторонний треугольник.
- Пусть угол 60° — угол, противолежащий основанию, то есть (рис. 142, б). Тогда как углы при основании равнобедренного треугольника. Каждый из этих углов равен (180° — 60°) : 2 = 60°. Снова имеем, что все углы треугольника ABC равны, значит, этот треугольник равносторонний.
Только что решенная задача является опорной, то есть на нее можно ссылаться при решении других задач, кратко пересказывая ее содержание. В дальнейшем условия таких задач в учебнике будут выделены полужирным шрифтом и словом «опорная».
Виды треугольников по величине углов. Классификация
Как уже было доказано, любой треугольник имеет не менее двух острых углов. Это означает, что возможны три случая:
- все углы треугольника острые — остроугольный треугольник;
- два угла треугольника острые, а третий угол прямой — прямоугольный треугольник;
- два угла треугольника острые, а третий угол тупой — тупоугольный треугольник.
Исходя из этого, все треугольники можно разделить по величине углов на три вида: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные (рис. 143).
Обратим внимание на то, что величина углов — это признак, по которому любой данный треугольник можно отнести лишь к одному из трех названных видов. Такое деление объектов на отдельные виды по определенному признаку называют классификацией. Признак, по которому осуществляется классификация, является ее основанием. Так, треугольники можно разделить и по другому основанию — длине сторон — на разносторонние (то есть не имеющие равных сторон), равнобедренные, но не равносторонние (у которых только две стороны равны) и равносторонние треугольники.
Классификация считается правильной, если любой из объектов можно отнести лишь к одному из названных классов. Так, неправильно будет разделять прямые на плоскости по взаимному расположению на параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные (ведь перпендикулярность — частный случай пересечения). Ошибочно подразделять по величине неразвернутые углы на острые и тупые, поскольку есть еще и прямые углы.
Очень важно проводить классификацию лишь по одному основанию. Например, неверным было бы разделять треугольники на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные, ведь равнобедренным может быть и остроугольный, и прямоугольный, и тупоугольный треугольник. Допустить такую ошибку — то же самое, что разделить всех людей на мужчин, женщин и учителей.
Примеры классификаций нетрудно найти и в других науках. Так, филологи делят члены предложения на главные (подлежащее и сказуемое) и второстепенные (дополнение, определение и обстоятельство). Попробуйте найти примеры классификации в физике, географии, биологии.
Внешний угол треугольника
Определение:
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом данного треугольника.
На рисунке 144 угол DAB — внешний угол треугольника ABC при вершине А.
Очевидно, что при любой вершине треугольника можно построить два внешних угла, которые по отношению друг к другу являются вертикальными (рис. 145).
Теорема: (о внешнем угле треугольника)
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Доказательство:
Пусть углы 1, 2 и 3 — внутренние углы треугольника ABC, a — внешний угол, смежный с углом 1 (рис. 146). По теореме о сумме углов треугольника С другой стороны, по теореме о смежных углах Отсюда, что и требовалось доказать.
Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
Действительно, по доказанной теореме (рис. 146) Тогда для их суммы имеем:
Прямоугольные треугольники
Элементы прямоугольного треугольника
Как известно, прямоугольный треугольник имеет один прямой и два острых угла. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. На рисунке 147 в треугольнике , AC — гипотенуза, АВ и ВС — катеты.
Из теоремы о сумме углов треугольника следует: сумма острых углов прямоугольного трек- угольника равна 90°. Имеет место и обратное утверждение — признак прямоугольного треугольника: если в треугольнике сумма двух углов равна 90°, то этот треугольник прямоугольный.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Пользуясь признаками равенства треугольников и теоремой о сумме углов треугольника, можно сформулировать признаки равенства, характерные только для прямоугольных треугольников.
Приведем сначала два из них.
Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (рис. 148) Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу (рис. 149)
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Данные признаки — частные случаи первого и второго признаков равенства треугольников.
Следующие два признака нетрудно получить из второго признака равенства треугольников, используя теорему о сумме углов треугольника.
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (рис. 150) Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (рис. 151)
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Действительно, если данный треугольники имеют по равному острому углу , то другие острые углы этих треугольников равны , то есть также соответственно равны.
Еще один признак равенства прямоугольных треугольников докажем отдельно.
Гипотенуза — от греческого «гипотейнуса» — стягивающая. Название связано со способом построения прямоугольных реугольников натягиванием бечевки.
Теорема: (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету)
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
Пусть — данные прямоугольные треугольники, в которых 90° , (рис. 152). Докажем, что
На продолжениях сторон и отложим отрезки и , равные катетам и соответственно. Тогда и , по двум катетам. Таким образом, . Это значит, что по трем сторонам. Отсюда И наконец, , по гипотенузе и острому углу. Теорема доказана.
Обратим внимание на дополнительное построение, состоящее в достраивании прямоугольного треугольника до равнобедренного.
Такой прием позволяет применять свойства равнобедренного треугольника при решении задач, в условиях которых о равнобедренном треугольнике речь не идет.
Рис. 152. Прямоугольные треугольники ABC и равны по гипотенузе и катету.
Прямоугольный треугольник с углом 30°
Прямоугольный треугольников котором один из острых углов равен 30°, имеет полезное свойство.
Опорная задача
В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Докажите.
Решение
Пусть в треугольнике . Докажем, что Очевидно, что в треугольнике Отложим на продолжении стороны отрезок , равный (рис. 153). Прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Отсюда следует, что и Таким образом, треугольник равносторонний, а отрезок — его медиана, то есть что и требовалось доказать.
Имеет место также обратное утверждение (опорное): если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий данному катету, равен 30°.
Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно при помощи дополнительного построения, аналогичного только что описанному.
Катет — от греческого «катетос» — отвес.
Сравнение сторон и углов треугольника
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Теорема: (соотношения между сторонами и углами треугольника)
- против большей стороны лежит больший угол;
- против большего угла лежит большая сторона.
Доказательство:
Данная теорема содержит два утверждения — прямое и обратное. Докажем каждое из них отдельно.
1. Пусть в треугольнике . Докажем, что . Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 156). Поскольку то точка D лежит между точками А к В, значит, угол 1 является частью угла С, то есть Очевидно, что треугольник ADC равнобедренный с основанием DC, откуда Кроме того, угол 2 — внешний угол треугольника , поэтому . Следовательно, имеем: откуда
2. Пусть в треугольнике Докажем от противного, что . Если это не так, то или . В первом случае треугольник ABC равнобедренный с основанием ВС, то есть . Во втором случае, по только что доказанному утверждению, против большей стороны должен лежать больший угол, то есть . В обоих случаях имеем противоречие условию . Таким образом, наше предположение неверно, то есть . Теорема доказана.
В тупоугольном треугольнике сторона, лежащая против тупого угла, — наибольшая.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Неравенство треугольника
Теорема: (неравенство треугольника)
В треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.
Доказательство:
Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что . Отложим на продолжении стороны АВ отрезок BD, равный стороне ВС (рис. 157). Треугольник BСD равнобедренный с основанием CD, откуда Но угол 2 является частью угла ACD, то есть Таким образом, в треугольнике . Учитывая соотношение между сторонами и углами тре угольника, имеем: Теорема доказана.
Если для трех точек А, В, С справедливо равенство АС = АВ + ВС, то эти тонки лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С.
Действительно, если точка В не лежит на прямой АС, то по неравенству треугольника АС АВ + ВС . Если точка В лежит на прямой АС вне отрезка АС, это неравенство также очевидно справедливо. Остается единственная возможность: точка В лежит на отрезке АС.
Неравенство треугольника позволяет проанализировать возможность построения треугольника с заданными сторонами. В частности, если хотя бы одно из трех положительных чисел а, b, с больше или равно сумме двух других, то построить треугольник со сторонами а, b, с невозможно.
С неравенством треугольника связана классическая задача о нахождении кратчайшего пути на плоскости. Ее решение было известно еще великому древнегреческому ученому Архимеду (287—212 гг. до н. э.).
Пример №25
Точки А и В лежат по одну сторону от прямой с. Найдите на данной прямой такую точку С, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей (рис. 158).
Решение:
Опустим из точки А перпендикуляр АО к прямой с и отложим на его продолжении отрезок равный Для любой точки С прямой с прямоугольные треугольники равны по двум катетам, откуда Очевидно, что по следствию неравенства треугольника сумма будет наименьшей в случае, когда точки лежат на одной прямой. Таким образом, искомая точка должна быть точкой пересечения отрезка с прямой с.
Отметим, что в условиях данной задачи прямые АС и СB образуют с прямой с равные углы. Именно так распространяется луч света, который исходит из точки A, отражается от прямой с и попадает в точку В. Физики в таком случае говорят, что угол падения светового луча равен углу отражения.
Историческая справка
Аксиомы Евклида. Аксиомы, сформулированные Евклидом, легли в основу современной геометрии. Ученые на протяжении более двух тысяч лет исследовали, возможно ли доказать некоторые из евклидовых постулатов (аксиом), опираясь на другие. Особое внимание вызывала аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида). Среди великих геометров прошлого не было, пожалуй, ни одного, кто не попытался бы доказать ее как теорему. И только в начале XIX века выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) доказал, что эту аксиому невозможно вывести из других аксиом.
Неевклидова геометрия. Лобачевский создал другую, неевклидову геометрию. По Лобачевскому, прямая, параллельная данной прямой и проходящая через данную точку вне ее, не является единственной. Большинство современников это открытие не приняли. Такая же судьба постигла и работы других ученых, получивших аналогичные результаты: венгра Яноша Больяи и немца Карла Гаусса. И только через столетие неевклидова геометрия была признана и оценена как выдающееся научное открытие.
Становление геометрической аксиоматики. В XX в. исследования вопросов аксиоматического построения геометрии вышли на качественно новый уровень. Немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) обобщил и усовершенствовал систему евклидовых аксиом. Авторский вариант геометрических аксиом, разработанный на основе трудов Евклида и Гильберта, предложил наш соотечественник Алексей Васильевич Погорелов (1919-2002).
Геометрия треугольников. Евклид ввел понятие о равенстве геометрических фигур, совмещаемых наложением. В исследованиях древнегреческих геометров многие задачи и теоремы сводились к доказательству равенства треугольников (доказательство второго признака равенства треугольников приписывают Фалесу). Грекам была известна и теорема о сумме углов треугольника (впервые она встречается в комментариях Прокла к «началам» Евклида).
Геометрия треугольника стала основой для изучения более сложных видов многоугольников, которые можно разбить на треугольники.
Видео:Сумма углов треугольникаСкачать
Справочный материал по треугольнику
Треугольники
Треугольник и его элементы. Равные треугольники
- ✓ Три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, соединены отрезками (рис. 245). Образовавшаяся фигура ограничивает часть плоскости, которую вместе с отрезками АВ, ВС и СА называют треугольником. Точки А, В, С называют вершинами, а отрезки АВ, ВС, СА — сторонами треугольника.
- ✓ Треугольник называют и обозначают по его вершинам.
- ✓ В треугольнике АВС угол В называют углом, противолежащим стороне АС, а углы А и С — углами, прилежащими к стороне АС.
- ✓ Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
- ✓ Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые; прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой.
- ✓ Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами.
- ✓ Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
- ✓ Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. Те пары сторон и углов, которые совмещаются при наложении равных треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами.
- ✓ В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
- ✓ В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
- ✓ В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.
Высота, медиана, биссектриса треугольника
- ✓ Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
- ✓ Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
- ✓ Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.
Признаки равенства треугольников
- ✓ Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
- ✓ Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
- ✓ Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Равнобедренный треугольник и его свойства. Равносторонний треугольник
- ✓ Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
- ✓ Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.
- ✓ Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон.
✓ В равнобедренном треугольнике:
- 1) углы при основании равны;
- 2) биссектриса треугольника, проведенная к его основанию, является медианой и высотой треугольника.
✓ Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.
✓ В равностороннем треугольнике:
- 1) все углы равны;
- 2) биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.
Признаки равнобедренного треугольника
- ✓ Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
- ✓ Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
- ✓ Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
- ✓ Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.
Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника
- ✓ Сумма углов треугольника равна 180°.
- ✓ Среди углов треугольника по крайней мере два угла острые.
- ✓ Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.
- ✓ Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
- ✓ Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.
Средняя линия треугольника и ее свойства
Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
На рисунке 105 — средняя линия треугольника
Теорема 1 (свойство средней линии треугольника). Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Доказательство:
Пусть — средняя линия треугольника (рис. 105). Докажем, что и
1) Проведем через точку прямую, параллельную По теореме Фалеса она пересекает сторону в ее середине, то есть в точке Следовательно, эта прямая содержит среднюю линию Поэтому
2) Проведем через точку прямую, параллельную которая пересекает в точке Тогда (по теореме Фалеса). Четырехугольник — параллелограмм.
(по свойству параллелограмма), но
Поэтому
Пример №26
Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, один из углов которого равен углу между диагоналями четырехугольника.
Доказательство:
Пусть — данный четырехугольник, а точки — середины его сторон (рис. 106). — средняя линия треугольника поэтому и Аналогично
Таким образом, Тогда — параллелограмм (по признаку параллелограмма).
— средняя линия треугольника Поэтому Следовательно, — также параллелограмм, откуда:
Рассмотрим свойство медиан треугольника.
Теорема 2 (свойство медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.
Доказательство:
Пусть — точка пересечения медиан и треугольника (рис. 107).
1) Построим четырехугольник где — середина — середина
2) — средняя линия треугольника
поэтому и
3) — средняя линия треугольника поэтому и
4) Следовательно, и Значит, — параллелограмм (по признаку параллелограмма).
5) — точка пересечения диагоналей и параллелограмма поэтому Но Тогда и Следовательно, точка делит каждую из медиан и в отношении 2:1, считая от вершин и соответственно.
6) Точка пересечения медиан и должна также делить в отношении 2 : 1 каждую медиану. Поскольку существует единственная точка — точка которая в таком отношении делит медиану то медиана также проходит через эту точку.
7) Следовательно, три медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
Точку пересечения медиан еще называют центром масс треугольника, или центроидом треугольника.
Треугольник и его элементы
Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки (рис. 267).
Точки — вершины треугольника; отрезки — стороны треугольника; — углы треугольника.
Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
На рисунке 268 — медиана треугольника
Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.
На рисунке 269 — биссектриса треугольника
Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую его противолежащую сторону.
На рисунке 270 — высота Сумма углов треугольника равна 180°.
Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.
Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 271).
Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 272).
Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам ). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны (рис. 273).
Виды треугольников
Треугольник называют равнобедренным, если две его стороны равны.
На рисунке 274 — равнобедренный, и — его боковые стороны, — основание.
Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Треугольник, все стороны которого равны, называют равносторонним.
На рисунке 275 — равносторонний.
Свойство углов равностороннего треугольника. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
Признак равностороннего треугольника. Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний.
Треугольник, все стороны которого имеют разную длину, называют разносторонним.
Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
На рисунке 276 биссектриса проведенная к основанию равнобедренного треугольника является его медианой и высотой.
В зависимости от углов рассматривают следующие виды треугольников:
- остроугольные (все углы которого — острые — рис. 277);
- прямоугольные (один из углов которых — прямой, а два других — острые — рис. 278);
- тупоугольные (один из углов которых — тупой, а два других — острые — рис. 279).
Внешний угол треугольника
Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.
На рисунке 280 — внешний угол треугольника
Свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть
Прямоугольные треугольники
Если то — прямоугольный (рис. 281). и — катеты прямоугольного треугольника; — гипотенуза прямоугольного треугольника.
Свойства прямоугольных треугольников:
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
- Гипотенуза больше любого из катетов.
- Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
- Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
- В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
- По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
- По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.
- По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
- По катету и противолежащему углу. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого, то такие треугольники равны.
- По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Всё о треугольнике
Как, не накладывая треугольники один на другой, узнать, что они равны? Какими особыми свойства ми обладают равнобедренный и равносторонний треугольники? Как «устроена» теорема?
На эти и многие другие вопросы вы найдете ответы в данном параграфе.
Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника
Рассмотрим три точки , , , не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками , , . Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 109 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками , и называют треугольником. Точки , , называют вершинами, а отрезки , , — сторонами треугольника.
Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треугольник, изображенный на рисунке 109, обозначают так: , или , или и т. д. (читают: «треугольник , треугольник » и т. д.). Углы , , (рис. 110) называют углами треугольника .
В треугольнике , например, угол называют углом, противолежащим стороне , углы и — углами, прилежащими к стороне , сторону — стороной, противолежащей углу , стороны и — сторонами, прилежащими к углу (рис. 110).
Определение. Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
Например, для периметра треугольника используют обозначение .
Определение. Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой. Если все углы острые, то треугольник называют остроугольным (рис. 111).
Теорема7.1 (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
Доказательство: Рассмотрим (рис. 109). Точка не принадлежит отрезку . Тогда в силу основного свойства длины отрезка . Аналогично доказывают остальные два неравенства: , .
Из доказанной теоремы следует, что если ZK длина одного из трех данных отрезков не меньше суммы длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторонами треугольника (рис. 112).
Если любой из трех данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.
Определение. Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением.
На рисунке 113 изображены равные треугольники и . Записывают: . Эти треугольники можно совместить так, что вершины и , и , и совпадут. Тогда можно записать: , .
Те стороны и те углы, которые совмещаются при наложении треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами. Так, на рисунке 113 углы и , стороны и — соответственные.
Обычно на рисунках равные стороны отмечают одинаковым количеством черточек, а равные углы — одинаковым количеством дуг. На рисунке ИЗ таким способом отмечены соответственные стороны и углы.
Заметим, что в равных треугольниках против соответственных углов лежат соответственные стороны, и наоборот: против соответственных сторон лежат соответственные углы.
То, что для каждого треугольника существует равный ему треугольник, обеспечивает такое основное свойство равенства треугольников. Для данного треугольника и луча существует треугольник равный треугольнику , такой, что и сторона принадлежит лучу , а вершина лежит в заданной полуплоскости относительно прямой (рис. 114).
Теорема 7.2. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.
Доказательство: Рассмотрим прямую и не принадлежащую ей точку (рис. 115). Предположим, что через точку проходят две прямые и , перпендикулярные прямой .
В силу основного свойства равенства треугольников существует треугольник , равный треугольнику (рис. 116). Тогда . Отсюда , а значит, точки , ( лежат на одной прямой.
Аналогично доказывают, что точки также лежат на одной прямой. Но тогда прямые и имеют две точки пересечения: и . А это противоречит теореме 1.1. Следовательно, наше предположение неверно.
Возможно, вы заметили, что определения равных отрезков, равных углов и равных треугольников очень похожи. Поэтому целесообразно принять следующее
Определение. Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.
На рисунке 117 изображены равные фигуры и . Пишут: . Понятно, что любые две прямые (два луча, две точки).
Определение. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, называют высотой треугольника.
На рисунке 118 отрезки и — высоты треугольника . Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называют медианой треугольника.
На рисунке 119 отрезок — медиана треугольника .
Определение. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называют биссектрисой треугольника.
На рисунке 120 отрезок — биссектриса треугольника .
Далее, говоря «биссектриса угла треугольника», будем иметь в виду биссектрису треугольника, проведенную из вершины этого угла. Ясно, что каждый треугольник имеет три высоты, три медианы и три биссектрисы.
Часто длины сторон, противолежащих углам , обозначают соответственно . Длины высот обозначают , , , медиан — , , , биссектрис — . Индекс показывает, к какой стороне проведен отрезок (рис. 121).
Первый и второй признаки равенства треугольников
Если для треугольников и выполняются шесть условий , ,, , , то очевидно, что эти треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Попробуем уменьшить количество условий. Например, оставим лишь два равенства: и . Но тогда треугольники не обязательно окажутся равными (рис. 127).
Как же сократить список требований до минимума, но при этом сохранить равенство треугольников? На этот вопрос отвечают теоремы, которые называют признаками равенства треугольников.
Теорема 8.1 (первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум, сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство: Рассмотрим треугольники и у которых (рис. 128). Докажем, что
Наложим на так, чтобы луч совместился с лучом , а луч совместился с лучом . Это можно сделать, так как по условию Поскольку по условию и , то при таком наложении сторона совместится со стороной , а сторона — со стороной . Следовательно, и полностью совместятся, значит, они равны.
Определение. Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.
На рисунке 129 прямая а является серединным перпендикуляром отрезка .
Теорема 8.2. Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.
Доказательство: Пусть — произвольная точка серединного перпендикуляра отрезка , точка — середина отрезка . Надо доказать, что . Если точка совпадает с точкой (а это возможно, так как — произвольная точка прямой а), то . Если точки и не совпадают, то рассмотрим треугольники и (рис. 130).
В этих треугольниках , так как — середина отрезка . Сторона — общая, . Следовательно, по первому признаку равенства треугольников. Значит, отрезки и равны как соответственные стороны равных треугольников.
Теорема 8.3 (второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство: Рассмотрим треугольники и , у которых , , , (рис. 131). Докажем, что .
Наложим на так, чтобы точка совместилась с точкой , отрезок — с отрезком (это возможно, так как ) и точки и лежали в одной полуплоскости относительно прямой . Поскольку и то луч совместится с лучом , а луч — с лучом . Тогда точка — общая точка лучей и — совместится с точкой — общей точкой лучей и . Значит, и , полностью совместятся, следовательно, они равны.
Пример №27
На рисунке 132 точка — середина отрезка . Докажите, что .
Решение:
Рассмотрим и . , так как точка — середина отрезка . по условию. и равны как вертикальные. Следовательно, по / стороне и двум прилежащим углам. Рассмотрим и . , , так как . — общая сторона. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними. Тогда .
Равнобедренный треугольник и его свойства
Определение. Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
На рисунке 155 изображен равнобедренный треугольник , у которого .
Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.
Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон (точка на рисунке 155). При этом угол называют углом при вершине, а углы и — углами при основании равнобедренного треугольника.
Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.
На рисунке 156 изображен равносторонний треугольник . Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника.
Теорема 9.1. В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.
Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник , у которого , отрезок — его биссектриса (рис. 157). Требуется доказать, что , , .
В треугольниках и сторона — общая, , так как по условию — биссектриса угла , стороны и равны как боковые стороны равнобедренного треугольника. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников.
Отсюда можно сделать такие выводы:
- и равны как соответственные углы в равных треугольниках;
- отрезки и равны как соответственные стороны равных треугольников, следовательно, — медиана;
- . Но . Отсюда следует, что , значит, — высота.
Из этой теоремы следует, что:
- в треугольнике против равных сторон лежат равные углы;
- в равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из его вершины, совпадают;
- в равностороннем треугольнике все углы равны;
- в равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.
Определение. Если в треугольнике все стороны имеют разную длину, то такой треугольник называют разносторонним.
Пример №28
Отрезок — медиана равнобедренного треугольника , проведенная к основанию. На сторонах и отмечены соответственно точки и так, что . Докажите равенство треугольников и .
Решение:
Имеем:, (рис. 158). Так как и , то . , поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой. — общая сторона треугольников и . Следовательно, по двум сторонам и углу между ними.
Признаки равнобедренного треугольника
В предыдущем пункте мы рассмотрели свойства равнобедренного треугольника. А как среди треугольников «распознавать» равнобедренные? На этот вопрос дают ответ следующие теоремы.
Теорема 10.1. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
Доказательство: Рассмотрим треугольник , у которого отрезок — медиана и высота. Надо доказать, что (рис. 168). Из условия теоремы следует, что прямая — серединный перпендикуляр отрезка .
Тогда по свойству серединного перпендикуляра .
Теорема 10.2. Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
Доказательство: Рассмотрим треугольник , у которого отрезок — биссектриса и высота. Надо доказать, что (рис. 169). В треугольниках и сторона — общая, , так как по условию — биссектриса угла , , так как по условию — высота. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников. Тогда стороны и равны как соответственные стороны равных треугольников.
Теорема 10.3. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
Доказательство: Рассмотрим треугольник , у которого. Надо доказать, что .
Проведем серединный перпендикуляр стороны . Докажем, что прямая проходит через вершину .
Предположим, что это не так. Тогда прямая пересекает или сторону (рис. 170), или сторону (рис. 171).
Рассмотрим первый из этих случаев. Пусть — точка пересечения прямой со стороной . Тогда по свойству серединного перпендикуляра (теорема 8.2) . Следовательно, — равнобедренный, а значит . Но по условию. Тогда имеем: , что противоречит основному свойству величины угла (п. 3).
Аналогично получаем противоречие и для второго случая (рис. 171).
Следовательно, наше предположение неверно. Прямая проходит через точку (рис. 172), и по свойству серединного перпендикуляра .
Из этой теоремы следует, что в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
Теорема 10.4. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.
Доказательство: Рассмотрим треугольник , у которого отрезок — медиана и биссектриса (рис. 173). Надо доказать, что . На луче отложим отрезок , равный отрезку (рис. 173). В треугольниках и , так как по условию — медиана, по построению, и равны как вертикальные. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников. Тогда стороны и , и равны как соответственные элементы равных треугольников. Поскольку — биссектриса угла , то . С учетом доказанного получаем, что . Тогда по теореме 10.3 — равнобедренный, откуда . Но уже доказано, что . Следовательно, .
Пример №29
В треугольнике проведена биссектриса (рис. 174), ,. Докажите, что .
Решение:
Так как и — смежные, то . Следовательно, в треугольнике .
Тогда — равнобедренный с основанием , и его биссектриса ( — точка пересечения и ) является также высотой, т. е. .
Третий признак равенства треугольников
Теорема 11.1 (третий признак равенства треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство: Рассмотрим треугольники и (рис. 177), у которых , , (эти равенства указывают, какие стороны треугольников соответствуют друг другу). Докажем, что .
Расположим треугольники и , так, чтобы вершина совместилась с вершиной вершина — с а вершины и лежали в разных полуплоскостях относительно прямой (рис. 178). Проведем отрезок . Поскольку , то треугольник — равнобедренный, значит, . Аналогично можно доказать, что . Следовательно, . Тогда по первому признаку равенства треугольников.
Казалось бы, доказательство завершено. Однако мы рассмотрели лишь случай, когда отрезок пересекает отрезок во внутренней точке. На самом деле отрезок может проходить через один из концов отрезка , например, через точку (рис. 179), или не иметь общих точек с отрезком (рис. 180). В обоих этих случаях доказательства будут аналогичными приведенному. Проведите их самостоятельно.
Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник — жесткая фигура. Действительно, если четыре рейки скрепить так, как показано на рисунке 181, а, то такая конструкция не будет жесткой (рис. 181, б, в).
Если же добавить еще одну рейку, создав два треугольника (рис. 181, г), то полученная конструкция станет жесткой.
Этот факт широко используют в практике (рис. 182).
Теорема 11.2. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.
Доказательство: Пусть точка равноудалена от концов отрезка , т. е. (рис. 183). Рассмотрим треугольники и , где — середина отрезка . Тогда по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда . Но сумма этих углов равна 180°, следовательно, каждый из них равен 90°. Значит, прямая — серединный перпендикуляр отрезка .
Заметим, что мы рассмотрели случай, когда точка не принадлежит прямой . Если точка принадлежит прямой , то она совпадает с серединой отрезка , а значит, принадлежит его серединному перпендикуляру.
Теоремы
Вы видите, что в учебнике появляется все больше и больше теорем. И это не удивительно: ведь геометрия в основном состоит из теорем и их доказательств. Формулировки всех теорем, которые мы доказали, состоят из двух частей. Первую часть теоремы (то, что дано) называют условием теоремы, вторую часть теоремы (то, что требуется доказать) — заключением.
Например, в теореме 8.1 (первый признак равенства треугольников) условием является то, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, а заключением — равенство треугольников.
Все знакомые вам теоремы можно условно разделить на теоремы-свойства и теоремы-признаки. Например, теорема 1.1 устанавливает свойство пересекающихся прямых, теорема 9.1 — свойство равнобедренного треугольника.
Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру, т. е. отнести ее к тому или иному виду (классу). Так, теоремы-признаки равенства треугольников указывают требования, по которым два треугольника можно причислить к классу равных. Например, в теоремах 10.1-10.4 сформулированы свойства, по которым «распознают» равнобедренный треугольник. Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем, называют теоремами-следствиями или просто следствиями.
Например, теорема 7.1 (неравенство треугольника) является следствием из основного свойства длины отрезка. Свойство углов, противолежащих равным сторонам треугольника, является следствием из теоремы 9.1.
Если в теореме 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра поменять местами условие и заключение, то получим теорему 11.2. В таких случаях теоремы называют взаимно обратными. Если какую-то из этих теорем назвать прямой, то вторую теорему будем называть обратной.
При формулировке обратной теоремы надо быть очень внимательными: не всегда можно получить истинное утверждение. Например, утверждение, обратное теореме 4.1 о сумме смежных углов, неверно. Действительно, если сумма каких-то двух углов равна 180°, то совершенно не обязательно, чтобы эти углы были смежными. В таких случаях говорят, что обратная теорема неверна. Вы знаете, что справедливость теоремы устанавливают путем логических рассуждений, т. е. доказательства.
Первая теорема этого учебника была доказана методом от противного. Название этого метода фактически отражает его суть. Мы предположили, что заключение теоремы 1.1 неверно. На основании этого предположения с помощью логических рассуждений был получен факт, который противоречил основному свойству прямой.
Методом от противного также были доказаны и другие теоремы, например теоремы 2.1, 5.1, 10.3.
Очень важно, чтобы доказательство теоремы было полным. Так, полное доказательство теоремы 11.1 (третий признак равенства треугольников) потребовало рассмотрения всех трех возможных случаев. Умение видеть все тонкости доказательства — важнейшее качество, формирующее математическую культуру. Если бы, например, при доказательстве теоремы 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра мы не рассмотрели отдельно случай, когда точка является серединой отрезка , то обращение к треугольникам и было бы не совсем «законным». При доказательстве теоремы 10.4 (признак равнобедренного треугольника) мы использовали прием дополнительного построения: чертеж дополнили элементами, о которых не шла речь в условии теоремы. Этот метод является ключом к решению многих задач и доказательству ряда теорем. Поэтому очень важно научиться видеть «выгодное» (результативное) дополнительное построение.
А как приобрести такое «геометрическое зрение»? Вопрос непростой, и на него сложно ответить конкретными рекомендациями. Но все же мы советуем, во-первых, не быть равнодушными к геометрии, а полюбить этот красивый предмет, во-вторых, решать больше задач, чтобы развить интуицию и приобрести нужный опыт. Дерзайте!
Видео:Геометрия. 7 класс. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника /28.01.2021/Скачать
Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
Как установить параллельность двух прямых? Какими свойствами обладают параллельные прямые? Чему равна сумма углов любого треугольника? Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник? Изучив материал этого параграфа, вы получите ответы на поставленные вопросы.
Параллельные прямые
Определение. Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
На рисунке 192 изображены параллельные прямые и . Пишут: (читают: «прямые и параллельны» или «прямая а параллельна прямой »). Если два отрезка лежат на параллельных прямых, то их также называют параллельными.
На рисунке 193 отрезки и параллельны. Пишут: .
Также можно говорить о параллельности двух лучей, луча и отрезка, прямой и луча, отрезка и прямой. Например, на рисунке 194 изображены параллельные лучи.
Теорема 13.1 (признак параллельности прямых). Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
Доказательство: На рисунке 195 и . Надо доказать, что.
Предположим, что прямые и пересекаются в некоторой точке (рис. 196). Тогда через точку , не принадлежащую прямой , проходят две прямые и , перпендикулярные прямой . Это противоречит теореме 7.2. Следовательно, .
Доказанная теорема позволяет с помощью линейки и угольника строить параллельные прямые (рис. 197).
Следствие. Через данную точку , не принадлежащую прямой , можно провести прямую , параллельную прямой .
Доказательство: Пусть точка не принадлежит прямой (рис. 198).
Проведем (например, с помощью угольника) через точку прямую , перпендикулярную прямой . Теперь через точку проведем прямую , перпендикулярную прямой . В силу теоремы 13.1 .
Можно ли через точку (рис. 198) провести еще одну прямую, параллельную прямой ? Ответ дает следующее
Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Теорема 13.2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Доказательство: Пусть и. Докажем, что .
Предположим, что прямые и не параллельны, а пересекаются в некоторой точке (рис. 199). Получается, что через точку проходят две прямые, параллельные прямой , что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, .
Пример №30
Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Решение:
Пусть прямые и параллельны, прямая пересекает прямую в точке (рис. 200). Предположим, что прямая не пересекает прямую , тогда . Но в этом случае через точку проходят две прямые и , параллельные прямой , что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, прямая пересекает прямую .
Признаки параллельности двух прямых
Если две прямые и пересечь третьей прямой , то образуется восемь углов (рис. 204). Прямую с называют секущей прямых а и .
- Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
- Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
- Углы 6и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4 и 8 называют соответственными.
Теорема 14.1. Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
Доказательство: На рисунке 205 прямая является секущей прямых и , . Докажем, что .
Если (рис. 206), то параллельность прямых и следует из теоремы 13.1.
Пусть теперь прямая не перпендикулярна ни прямой , ни прямой . Отметим точку — середину отрезка (рис. 207). Через точку проведем перпендикуляр к прямой . Пусть прямая пересекает прямую в точке . Имеем: по условию; и равны как вертикальные.
Следовательно, по второму признаку равенства треугольников. Отсюда . Мы показали, что прямые и перпендикулярны прямой , значит, они параллельны.
Теорема 14.2. Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство: На рисунке 208 прямая является секущей прямых и , . Докажем, что .
Углы 1 и 3 смежные, следовательно, . Тогда . Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 .
Теорема 14.3. Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
Доказательство: На рисунке 209 прямая является секущей прямых и , . Докажем, что .
Углы 1 и 3 равны как вертикальные. Следовательно, . Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 . ▲
Пример №31
На рисунке 210 , . Докажите, что .
Решение:
Рассмотрим и . , — по условию. — общая сторона. Значит, по двум сторонам и углу между ними. Тогда . Кроме того, и — накрест лежащие при прямых и и секущей . Следовательно, .
Пятый постулат Евклида
В качестве аксиом выбирают очевидные утверждения. Тогда почему бы, например, теоремы 1.1-5.1 не включить в список аксиом: ведь они тоже очевидны? Ответ на этот вопрос совершенно ясен: если какое-то утверждение можно доказать с помощью аксиом, то это утверждение — теорема, а не аксиома.
С этих позиций очень поучительна история, связанная с пятым постулатом Евклида (напомним, что в рассказе «Из истории геометрии» мы сформулировали первых четыре постулата).
V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов (рис. 225).
Можно показать, что пятый постулат и сформулированная нами в п. 13 аксиома параллельности прямых равносильны, т. е. из постулата следует аксиома и наоборот — из аксиомы следует постулат.
Более 20 веков многие ученые пытались доказать пятый постулат (аксиому параллельности прямых), т. е. вывести его из других аксиом Евклида. Лишь в начале XIX века несколько матема- / тиков независимо друг от друга пришли ДР к выводу: утверждение, что через данную точку, не лежащую на данной, прямой, можно провести только одну прямую, парал- а + р 0 .
Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник . Требуется доказать, что .
Через вершину проведем прямую , параллельную прямой (рис. 245). Имеем: и равны как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей . Аналогично доказываем, что . Но углы 1, 2, 3 составляют развернутый угол с вершиной . Следовательно, .
Следствие. Среди углов треугольника хотя бы два угла острые.
Докажите эту теорему самостоятельно.
Определение. Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.
На рисунке 246 углы 1, 2, 3 являются внешними углами треугольника .
Теорема 16.2. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Доказательство: На рисунке 246 — внешний. Надо доказать, что .
Очевидно, что . Та как , то , отсюда .
Следствие. Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.
Докажите эту теорему самостоятельно.
Вы уже знаете, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы, и наоборот, против равных углов лежат равные стороны (п. 9, 10). Это свойство дополняет следующая
Теорема 16.3. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.
Доказательство: Рассмотрим треугольник , у которого . Надо доказать, что (рис. 247).
Поскольку , то на стороне найдется такая точка , что . Получили равнобедренный треугольник , в котором .
Так как — внешний угол треугольника , то . Следующая «цепочка» доказывает первую часть теоремы:
Рассмотрим треугольник , у которого . Надо доказать, что .
Поскольку , то угол можно разделить на два угла и так, что (рис. 248). Тогда — равнобедренный с равными сторонами и .
Используя неравенство треугольника, получим: .
Пример №34
Медиана треугольника равна половине стороны . Докажите, что — прямоугольный.
Решение:
По условию (рис. 249). Тогда в треугольнике . Аналогично , и в треугольнике . В : . Учитывая, что , имеем:
.
Следовательно, — прямоугольный.
Прямоугольный треугольник
На рисунке 255 изображен прямоугольный треугольник , у которого .
Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами (рис. 255).
Для доказательства равенства двух треугольников находят их равные элементы. У любых двух прямоугольных треугольников такие элементы есть всегда — это прямые углы. Поэтому для прямоугольных треугольников можно сформулировать «персональные» признаки равенства.
Теорема17.1 (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Доказательство: Рассмотрим треугольники и , у которых , , (рис. 256). Надо доказать, что .
Расположим треугольники и так, чтобы вершина совместилась вершиной вершина — с вершиной , а точки и лежали в разных полуплоскостях относительно прямой (рис. 257).
Имеем: . Значит, угол — развернутый, и тогда точки лежат на одной прямой. Получили равнобедренный треугольник с боковыми сторонами и , и высотой (рис. 257). Тогда — медиана этого треугольника, и Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников.
При решении задач удобно пользоваться и другими признаками равенства прямоугольных треугольников, непосредственно вытекающими из признаков равенства треугольников.
Признак равенства прямоугольных треугольников по двум к а т е т а м. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Очевидно, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то равны и два других острых угла. Воспользовавшись этим утверждением, список признаков равенства прямоугольных треугольников можно дополнить еще двумя признаками.
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Пример №35
Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла.
Решение:
В треугольниках и (рис. 258) , отрезки и — биссектрисы, .
Так как
то прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу. Тогда и прямоугольные треугольники и равны по катету и прилежащему острому углу.
Свойства прямоугольного треугольника
Теорема 18.1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Доказательство: Каждый из катетов лежит против острого угла, а гипотенуза лежит против прямого угла. Прямой угол больше острого угла, следовательно, в силу теоремы 16.3 гипотенуза больше любого из катетов.
Следствие. Если из одной точки, не лежащей на прямой, к этой прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной.
На рисунке 267 отрезок — перпендикуляр, отрезок — наклонная, . Часто при решении задач используют результаты следующих двух задач.
Пример №36
Катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°, равен половине гипотенузы.
Решение:
Рассмотрим треугольник , в котором , . Надо доказать, что .
На прямой отложим отрезок , равный отрезку (рис. 268). Тогда по двум катетам. Действительно, стороны и равны по построению, — общая сторона этих треугольников и . Тогда . Отсюда . Следовательно, и треугольник — равносторонний. Значит,
Пример №37
Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Решение:
Рассмотрим треугольник , в котором , . Надо доказать, что . На прямой отложим отрезок , равный отрезку (рис. 268). Тогда . Кроме того, отрезок является медианой и высотой треугольника , следовательно, по признаку равнобедренного треугольника . Теперь ясно, что и треугольник — равносторонний. Так как отрезок — биссектриса треугольника , то .
Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Решение треугольников
- Треугольники и окружность
- Площадь треугольника
- Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
- Геометрические фигуры и их свойства
- Основные фигуры геометрии и их расположение в пространстве
- Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства
- Взаимное расположения прямых на плоскости
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Видео:Математика ОГЭ и ЕГЭ Внутренние, внешние углы треугольникаСкачать
Решение треугольников онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:
- Три стороны треугольника.
- Две стороны треугольника и угол между ними.
- Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
- Одна сторона и любые два угла.
Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.
Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать
Решение треугольника по трем сторонам
Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .
(1) |
(2) |
Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения
. |
Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).
Решение. Из формул (1) и (2) находим:
. |
. |
, . |
И, наконец, находим угол C:
Видео:Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.
Найдем сторону c используя теорему косинусов:
. |
. |
Далее, из формулы
. |
. | (3) |
Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
. |
Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.
Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:
, |
. |
Из формулы (3) найдем cosA:
. |
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
. |
Видео:Задачи по рисункам. Найти углы треугольника АВС. Сумма углов треугольника.Скачать
Решение треугольника по стороне и любым двум углам
Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.
Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:
. |
Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:
, . |
, . |
Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.
Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:
Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:
Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем: