Как разрезать равносторонний треугольник (2 видео)

Разбиение на подобные треугольники

Как разбить треугольник на подобные ему треугольники? 1 Сколько треугольников можно получить при таких разбиениях?

Содержание

Разбиения равностороннего треугольника на равносторонние: от 4 до бесконечности
Обобщаем на произвольные треугольники
Прямоугольные треугольники
Разбиения на различные подобные треугольники
Вместо заключения
Задачи для самостоятельного решения
Весна 2002 года (24)
Логические задачи и головоломки
Комментарии
📽️ Видео

Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Разбиения равностороннего треугольника на равносторонние: от 4 до бесконечности

Очень легко разбить любой равносторонний треугольник на 4 равных равносторонних треугольника, соединив отрезками середины его сторон, то есть проведя средние линии (рис. 1, а).

Продолжая разбивать этим же способом получающиеся части, мы сможем разделить исходный треугольник на 7, 10, 13, . равносторонних треугольников, и вообще, на любое их число вида 3k + 1 (где k — натуральное). Отметим, что среди треугольников разбиения обязательно будут равные.

Аналогично строится одна из самоподобных фигур — треугольник Серпинского (такие фигуры называются фракталами). В равностороннем треугольнике проводятся средние линии и «вынимается» средний из четырёх получившихся треугольников. Этот процесс повторяется в каждом из трёх остальных треугольников и т. д., до бесконечности. Итоговая фигура (рис. 1, б) имеет ту же форму, что и её части.

А если делить стороны равностороннего треугольника не на 2 равные части, а на 3, 4 и т. д.? Тогда можно разбить его на 9, 16, . равных равносторонних треугольников (рис. 2, а, б). Ведь если поделить одну из сторон на n равных частей, то сторона маленького треугольника будет в n раз меньше стороны исходного, а площадь тогда — в n 2 раз меньше. Это и значит, что в разбиении будет n 2 треугольников. Кстати, их можно было подсчитать и по «слоям»: в верхнем слое — один треугольник, в следующем — 3, в последующем — 5, . в самом нижнем слое будет 2n − 1 треугольников. Попутно мы доказали геометрически, что 1 + 3 + . + (2n − 1) = n 2 .

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Обобщаем на произвольные треугольники

Всё сказанное выше легко обобщить на случай произвольного треугольника, проводя три семейства параллельных прямых (в каждом семействе прямые параллельны одной стороне и делят каждую из двух других сторон на n равных частей). Теперь несложно понять, как разбить любой треугольник на n ему подобных, где n > 5. Разбиение на 6 треугольников, подобных исходному, получается, если сделать чертёж, аналогичный рисунку 2, а, и стереть лишние линии (рис. 3, а). Разбиение на 8 подобных (рис. 3, б) получается из рисунка 2, б, и т. д., для любых чётных n, больших 5. Если же n — нечётное, то после стирания надо сделать ещё один шаг: разбить «верхний» треугольник средними линиями на четыре равных. На рисунке 3, в показано такое разбиение на 11 треугольников.

А вот на 2, 3 или 5 треугольников, подобных исходному, можно разбить не любой треугольник.

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Прямоугольные треугольники

Выясним, какой треугольник можно разбить на два ему подобных. Пусть отрезок CD делит треугольник АВС на два ему подобных: ACD и BCD. Если ∠ САD = α, ∠ AСD = β, то ∠ BDС = α + β (рис. 4, а). Тогда в треугольнике ACD должен быть угол α + β, и это может быть только угол ADС. Значит, ∠ АDС = ∠ ВDС = α + β = 90°. Тогда исходный треугольник тоже прямоугольный, и ∠ AСВ = 90°.

Так как α + β = 90°, то ∠ DCB = α, ∠ АВС = β, и треугольники ACD и BCD подобны треугольнику АВС (рис. 4, б).

Проведя в любом из полученных треугольников высоту из вершины D, мы разобьём треугольник АВС на три треугольника, ему подобных. Продолжая этот процесс, можно разбить прямоугольный треугольник на любое количество ему подобных. А можно ли сделать эти треугольники равными? Иногда можно.

Так, если прямоугольный треугольник АВС — ещё и равнобедренный, высота CD разбивает его на 2 равных прямоугольных равнобедренных треугольника, подобных ABC, а их высоты, проведённые из вершины D, дают уже 4. Продолжая, можно разбить прямоугольный равнобедренный треугольник на 2 n равных треугольников, подобных ему (n — любое натуральное).

Но этот случай — не единственный. Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны целым числам m и k, тогда его можно разбить на m 2 + k 2 равных треугольников, подобных ему. Для этого проведём высоту из вершины прямого угла и разобьём один получившийся треугольник на m 2 , а другой — на k 2 равных треугольников, как на рисунке 2. Полученные маленькие прямоугольные треугольники двух видов равны (по гипотенузе и острому углу) и подобны исходному. На рисунке 5 — пример разбиения треугольника с катетами 5 и 7 на 74 = 5 2 + 7 2 равных треугольника.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Разбиения на различные подобные треугольники

А какой треугольник можно разбить на треугольники, ему подобные, среди которых не будет равных? Оказывается, любой неравносторонний. Перед тем как объяснить решение, напомним, что в подобных треугольниках равны отношения соответствующих сторон. Построить искомое разбиение поможет обобщённая теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Рассмотрим треугольник АВС, в котором BC / AC = k > 1. Приложим к треугольнику ABC треугольники 1, 2, 3, 4 и 5 (рис. 6). Получим треугольник, разбитый на 6 неравных подобных треугольников.

Треугольники ABC, 1, 2, 3, 4 все различны, так как каждый следующий в k раз больше предыдущего.

Но треугольники 4 и 5 могут оказаться равными, если k + k 3 = k 4 . Тогда достроим треугольники 6 и 7, а треугольник 5 заменим треугольником 8. Треугольники 7 и 8 не равны, так как k 6 ≠ k + k 3 + k 5 . Ведь если k + k 3 = k 4 , то k 6 = k 2 (k + k 3 ) = k 3 + k 5 3 + k 5 .

Видео:Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.Скачать

Вместо заключения

Какие треугольники разрезаются на 5 подобных, до конца неизвестно, см. статью Б. Френкина «О разрезании треугольника на подобные ему» («Квант» № 4 за 2008 г.). Развитие темы для многоугольников см. в книге М. Гарднера «Математические досуги» (Мир, 2000; гл. 24: «Делящиеся» фигуры на плоскости).

Художник Мария Усеинова

Задачи для самостоятельного решения

1. Можно ли какой-нибудь треугольник разбить на три равных треугольника, подобных исходному?

2. Можно ли разбить на пять треугольников, подобных исходному, какой-нибудь: а) прямоугольный треугольник; б) (С. Маркелов) непрямоугольный треугольник?

3. (Т. Емельянова) Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все между собой равны.

4. (А. Галочкин) Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?

5. (Д. Шноль) Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей первого подобна одной из частей второго. Обязательно ли подобны оставшиеся части?

6. (М. Панов) Можно ли равносторонний треугольник разбить на 5 равнобедренных, но попарно не подобных?

1 Два треугольника подобны, если углы одного соответственно равны углам другого (достаточно соответствующего равенства двух углов).

Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Весна 2002 года (24)

Можно ли равносторонний треугольник разрезать на:
а) 4; б) 6; в) 7; г) 8
равносторонних треугольников (не обязательно равных друг другу)?

д) Покажите, как разрезать равносторонний треугольник на любое количество равносторонних треугольников (не обязательно равных между собой), начиная с 9.

Способы для пунктов (а)-(в) показаны на рисунках.

Чтобы разрезать на 8 равносторонних треугольников, нужно одну из сторон исходного треугольника разделить на четыре равные части, а затем провести те же построения, как и в пункте (б).

д) Решение пункта (а) показывает, как из одного треугольника получить четыре. Таким образом, мы можем увеличивать количество частей на 3.

Например, на правом рисунке показано, как из разрезания на 4 треугольника получается разрезание на 7 треугольников. Разрезав еще один из этих семи треугольников на 4 треугольника, можно получить 10 равносторонних треугольников, и так далее:
4 ® 7 ® 10 ® 13 ® …

Исходя из решения пункта (б) получаем такую последовательность:
6 ® 9 ® 12 ® 15 ® …

Исходя из решения пункта (д) получаем такую последовательность:
8 ® 11 ® 14 ® 17 ® …

Таким образом, начиная с четырех, можно получить любое количество треугольников, кроме пяти.

Видео:Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Логические задачи и головоломки

Как разрезать равносторонний треугольник на пять подобных между собой треугольников? Чтобы стало интересно, введём также дополнительное условие почти равности — наибольшая сторона наименьшего из треугольников должна быть строго больше, чем наименьшая сторона наибольшего

Ответ:

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Ничего не понял. В ответе треугольники разве подобные? Это раз. Второе— нельзя поделить одну из сторон треугольника на 5 равных частей и провести к точкам деления прямую от противоположного угла?

Оставлен Гость Ср, 02/15/2017 — 12:50

В ответе, как раз подобные.

Оставлен Hamo Чт, 08/23/2018 — 14:49

Если маленьк. Стор. Внешных 3 треуг.

Вставим =а —то больш. Буд.2*а, третья сторона ==а*√3 ,это сторона ровносторонного внешн. Угольника , хочеш не хочеш ,она больше а,

Даже стедная сторона (=а*√3 * √3/2=(3/2)*а,

Так что условие не кчему,,

Внутр /2 будут 2 прямоуг. Треуг , другие версии

Не дадуть подобных треуг.

Значит и 3 внешние тоже пьямоугольные треуг.,