Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Признаки и свойства параллельных прямых

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Признаки параллельных прямых

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a || b.

4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Видео:СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. §15 геометрия 7 классСкачать

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. §15 геометрия 7 класс

Свойства параллельных прямых

Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Если a || b, то ∠1 + ∠2 = 180°.

2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:

4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Пятое свойство — это аксиома параллельности прямых:

5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой:

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Признаки параллельности прямых

При пересечении двух прямых третьей прямой образуются углы, названия которых приведены в следующей таблице.

Видео:МЕРЗЛЯК 7 ГЕОМЕТРИЯ. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. ПАРАГРАФ-15Скачать

МЕРЗЛЯК 7 ГЕОМЕТРИЯ. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. ПАРАГРАФ-15

Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей прямой

РисунокОпределение углов
Таблица по геометрии свойства параллельных прямыхВнутренние накрест лежащие углы
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямыхВнешние накрест лежащие углы
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямыхСоответственные углы
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямыхВнутренние односторонние углы
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямыхВнешние односторонние углы
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Внутренние накрест лежащие углы
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Внешние накрест лежащие углы
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Соответственные углы
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Внутренние односторонние углы
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Внешние односторонние углы
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Перечисленные в таблице углы используются в формулировках признаков параллельности двух прямых.

Определение . Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Замечание . Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс: Аксиома параллельных прямых. Свойства параллельных прямых.Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс: Аксиома параллельных прямых. Свойства параллельных прямых.

Признаки параллельности двух прямых

РисунокПризнак параллельности
Таблица по геометрии свойства параллельных прямыхПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямыхПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямыхПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямыхПрямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
Таблица по геометрии свойства параллельных прямыхПрямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°
Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

РисунокПризнак параллельности
Таблица по геометрии свойства параллельных прямыхДве прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Переход свойства параллельности прямых

РисунокПризнак параллельности
Таблица по геометрии свойства параллельных прямыхЕсли прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c

Если прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Задача . Доказать, что биссектрисы внутренних односторонних углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, перпендикулярны.

Решение . Решение этой задачи почти дословно совпадает с решением задачи из раздела нашего справочника «Углы на плоскости» и предоставляется читателю в качестве несложного самостоятельного упражнения.

Видео:Свойства параллельных прямых - 7 класс геометрияСкачать

Свойства параллельных прямых - 7 класс геометрия

Параллельность прямых

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

    два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых
два соответственных угла равны между собой:

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Таблица по геометрии свойства параллельных прямых

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.

🌟 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Геометрия. Свойства параллельных прямых. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Геометрия. Свойства параллельных прямых. Расстояние между параллельными прямыми

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)

Урок 15 Свойства параллельных прямых (7 класс)Скачать

Урок 15  Свойства параллельных прямых (7 класс)

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 класс

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Геометрия. Свойства параллельных прямых. ТеорияСкачать

Геометрия. Свойства параллельных прямых. Теория

24. Определение параллельных прямыхСкачать

24. Определение параллельных прямых

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямых

Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрияСкачать

Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрия

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. Видеоурок | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. Видеоурок | ГЕОМЕТРИЯ 7 класс
Поделиться или сохранить к себе: