Таблица действий с векторами

Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Видео:ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ \\ 9 класс \\ геометрияСкачать

ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ \\\\ 9 класс \\\\ геометрия

Сложение двух векторов

Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

— для неколлинеарных векторов:

Таблица действий с векторами

— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Таблица действий с векторами

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Таблица действий с векторами

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и — b → .

Видео:СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Умножение вектора на число

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
— если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
— если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
— если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
— если k = 1 , то вектор остается прежним;
— если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a → и число k = 2 ;
2) вектор b → и число k = — 1 3 .

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Таблица действий с векторами

Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .

  1. Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
    Таблица действий с векторами
  2. Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
    Таблица действий с векторами
  3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
  4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
  5. Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор — a → и верным является равенство: a → + ( — a → ) = 0 → . Указанное свойство — очевидное.
  6. Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
  7. Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
  8. Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → .
    Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
    Таблица действий с векторами

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Задача: упростить выражение a → — 2 · ( b → + 3 · a → )
Решение
— используя второе распределительное свойство, получим: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → )
— задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → ) = a → — 2 · b → — ( 2 · 3 ) · a → = a → — 2 · b → — 6 · a →
— используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → — 2 · b → — 6 · a → = a → — 6 · a → — 2 · b →
— затем по первому распределительному свойству получаем: a → — 6 · a → — 2 · b → = ( 1 — 6 ) · a → — 2 · b → = — 5 · a → — 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · 3 · a → = 5 · a → — 2 · b →
Ответ: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = — 5 · a → — 2 · b →

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

Таблица действий с векторами

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения Таблица действий с вектораминаправлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Таблица действий с векторами

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B . Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B , то есть перемещение на вектор Таблица действий с векторами.

Таблица действий с векторами

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: Таблица действий с векторамиили Таблица действий с векторами

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1 . Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y , абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами: Таблица действий с векторами

Здесь в скобках записаны координаты вектора Таблица действий с векторами— по x и по y .
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Таблица действий с векторами

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Таблица действий с векторами

Видео:Линейная алгебра. Векторы и операции над векторами.Скачать

Линейная алгебра. Векторы и операции над векторами.

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы Таблица действий с векторамии Таблица действий с векторами, помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов Таблица действий с векторамии Таблица действий с векторами.

Таблица действий с векторами

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2 . Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы Таблица действий с векторамии Таблица действий с векторами. К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов Таблица действий с векторамии Таблица действий с векторами.

Таблица действий с векторами

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Таблица действий с векторами

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий — перемещение из А в F .

При сложении векторов Таблица действий с векторамии Таблица действий с векторамиполучаем:

Таблица действий с векторами

Таблица действий с векторами

Видео:Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать

Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.

Вычитание векторов

Вектор Таблица действий с вектораминаправлен противоположно вектору Таблица действий с векторами. Длины векторов Таблица действий с векторамии Таблица действий с векторамиравны.

Таблица действий с векторами

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов Таблица действий с векторамии Таблица действий с векторами— это сумма вектора Таблица действий с векторамии вектора Таблица действий с векторами.

Таблица действий с векторами

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Умножение вектора на число

При умножении вектора Таблица действий с векторамина число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины Таблица действий с векторами. Он сонаправлен с вектором Таблица действий с векторами, если k больше нуля, и направлен противоположно Таблица действий с векторами, если k меньше нуля.

Таблица действий с векторами

Видео:Умножение вектора на число. 9 класс.Скачать

Умножение вектора на число. 9 класс.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Таблица действий с векторами

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Таблица действий с векторами

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов Таблица действий с векторамии Таблица действий с векторами:

Таблица действий с векторами

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Таблица действий с векторами

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Таблица действий с векторамиОнлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»

— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.

Видео:Урок 11. Решение задач на действия с векторамиСкачать

Урок 11. Решение задач на действия с векторами

Действия над векторами.Опорная таблица

Действия над векторами

Таблица действий с векторами

а). переместительный закон сложения

Таблица действий с векторами

б).сочетательный закон сложения

Таблица действий с векторами

а). Правило треугольника(Т.10.1)

Таблица действий с векторами

Чтобы сложить векторы по правилу треугольника, необходимо конец первого вектора совместить с началом второго вектора, сумма будет направлена из начала первого в конец второго.

б). Правило параллелограмма

По правилу треугольника

Таблица действий с векторамиТаблица действий с векторами

От точки А отложим

Таблица действий с векторами

Чтобы сложить векторы по правилу параллелограмма, надо совместить их начало, достроить до параллелограмма, вектор сумма имеет начало в той же точке (А) и является диагональю построенного параллелограмма.

Действия над векторами

Таблица действий с векторами

Таблица действий с векторамиТаблица действий с векторами

Чтобы найти разность векторов, необходимо начало вектора уменьшаемого совместить с началом вектора вычитаемого, вектор разности направлен из конца вектора вычитаемого, в конец вектора уменьшаемого.

Действия над векторами

Таблица действий с векторами

а).λ>0,ā и λā- одинаково направлены

Таблица действий с векторами

λ=2 | 2a |=| 2 |*| ā |=2| ā |

Таблица действий с векторами

Таблица действий с векторамиТаблица действий с векторами

Скалярное произведение векторов – сумма произведений соответствующий координат.

1Таблица действий с векторами). ā²=|ā|²

Скалярный квадрат любого вектора, равен квадрату его абсолютной величины.

Таблица действий с векторами

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Таблица действий с векторами,

где φ – угол между векторами.

Скалярное произведение векторов, равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

4). Если ā≠0,b≠0 и āb=0 ,то ā┴ в и наоборот

Таблица действий с векторами

с os φ = 0, φ = 90°.

нет т. к. это число. Понятия угла между векторами.

Таблица действий с векторами

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Таблица действий с векторами

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 938 человек из 80 регионов

Таблица действий с векторами

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 699 человек из 75 регионов

Таблица действий с векторами

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 329 человек из 72 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Таблица действий с векторами

  • Гильц Светлана ИвановнаНаписать 447 20.05.2017

Номер материала: ДБ-490891

    20.05.2017 586
    20.05.2017 191
    20.05.2017 1209
    20.05.2017 1152
    20.05.2017 246
    20.05.2017 720
    20.05.2017 837

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Таблица действий с векторами

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Таблица действий с векторами

В Госдуме призвали обсуждать на школьных уроках тему опасности абортов

Время чтения: 1 минута

Таблица действий с векторами

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Таблица действий с векторами

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Таблица действий с векторами

В Подмосковье вводят систему голосования оценки качества школьных столовых

Время чтения: 1 минута

Таблица действий с векторами

Стартовал региональный этап Всероссийской олимпиады школьников

Время чтения: 2 минуты

Таблица действий с векторами

Онлайн-конференция об управлении общеобразовательной организацией

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

📽️ Видео

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Сложение, вычитание, умножение на число векторов через координату. 9 класс.Скачать

Сложение, вычитание, умножение на число векторов через координату. 9 класс.

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторовСкачать

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторов

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Матрицы и векторыСкачать

Матрицы и векторы

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.

Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: