Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности
Содержание
  1. Как найти площадь треугольника
  2. По формуле Герона
  3. Через основание и высоту
  4. Через две стороны и угол
  5. Через сторону и два прилежащих угла
  6. Площадь прямоугольного треугольника
  7. Площадь равнобедренного треугольника через стороны
  8. Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
  9. Площадь равностороннего треугольника через стороны
  10. Площадь равностороннего треугольника через высоту
  11. Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
  12. Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
  13. Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
  14. Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны
  15. Как найти площадь треугольника
  16. Основные понятия
  17. Формула площади треугольника
  18. Общая формула
  19. 1. Площадь треугольника через основание и высоту
  20. 2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
  21. 3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
  22. 4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
  23. 5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
  24. 6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
  25. Для прямоугольного треугольника
  26. Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
  27. Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
  28. Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
  29. Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
  30. Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
  31. Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
  32. Для равнобедренного треугольника
  33. Вычисление площади через основание и высоту
  34. Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
  35. Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
  36. Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
  37. Площадь равностороннего треугольника через сторону
  38. Площадь равностороннего треугольника через высоту
  39. Таблица формул нахождения площади треугольника
  40. Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
  41. Если треугольник прямоугольный
  42. Если он равнобедренный
  43. Если он равносторонний
  44. Если известна сторона и высота
  45. Если известны две стороны и градус угла между ними
  46. Если известны длины трех сторон
  47. Если известны три стороны и радиус описанной окружности
  48. Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
  49. (50 + БАЛЛОВ ЗА ПОДРОБНЫЙ ОТВЕТ) О — центр окружности, описанной около треугольника ABC, O1 — центр окружности, вписанной в треугольник ABC?
  50. Треугольник ABC вписан в окружность?
  51. В треугольнике ABC , угол С = 42 градуса, О — центр вписанной окружности?
  52. Вписанный угол ABC = 42 градусам?
  53. Около треугольника ABC описана окружность с центром O?
  54. Центр окружности описанной около равнобедренного треугольника ABC ?
  55. Треугольник ABC вписан в окружность с центром О?
  56. В равнобедренный треугольник ABC ( AB = BC ) вписана окружность с центром О ?
  57. Треугольник ABC — остроугольный Описать около треугольника ABC окружность, указать центр и радиусю?
  58. Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности?
  59. Сторона ac треугольника abc проходит через центр описанной около него окружности?
  60. Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной
  61. §2. Площадь треугольника. Метод площадей

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Видео:Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольника

Как найти площадь треугольника

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

  • квадратный миллиметр (мм 2 );
  • квадратный сантиметр (см 2 );
  • квадратный дециметр (дм 2 );
  • квадратный метр (м 2 );
  • квадратный километр (км 2 );
  • гектар (га).

Видео:Задание 24 Площадь описанного треугольникаСкачать

Задание 24 Площадь описанного треугольника

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:15 задание треугольники огэ по математике / маттаймСкачать

15 задание треугольники огэ по математике / маттайм

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Видео:Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #ShortsСкачать

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #Shorts

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Видео:Геометрия. Теорема Пифагора. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. Теорема Пифагора. ОГЭ по математике. Задание 16

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Видео:👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shortsСкачать

👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shorts

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Видео:Все формулы площади треугольника #огэ #егэ #shorts #математикаСкачать

Все формулы площади треугольника #огэ #егэ #shorts #математика

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Если известны длины трех сторон

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Видео:ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Видео:2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABCСкачать

2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

(50 + БАЛЛОВ ЗА ПОДРОБНЫЙ ОТВЕТ) О — центр окружности, описанной около треугольника ABC, O1 — центр окружности, вписанной в треугольник ABC?

Геометрия | 5 — 9 классы

(50 + БАЛЛОВ ЗА ПОДРОБНЫЙ ОТВЕТ) О — центр окружности, описанной около треугольника ABC, O1 — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Найти площадь треугольника ABC.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

8. проводим из т.

В высоту ВН к АС.

Найдем ОН : для этого рассмотрим треугольник АОН.

Он прямо угольный.

К. треугольник АВС равносторонний, а значит все его углы равны по 60 градусов.

И ОА будет биссектриссой.

По теореме о прямо угольном треугольнике : против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы.

Значит ОН = 2 Тогда по теореме Пифагора найдем АН : АН ^ 2 = АО ^ 2 — ОН ^ 2.

АН ^ 2 = 16 — 4 = 12 АН = 2корень из 3.

Тогда АС = 2×2 корень из3 = 4 корень из 3.

Найдем S = 1 / 2×АС×ВН = 1 / 2×4 корень из3 × ( 4 + 2) = 2 корень из 3 ×6 = 12 корень из 3

ВН высота, медиана и биссектриса проведенная к АС.

Значит АН = 8 / 2 = 4.

Треугольник АНО прямо угольный .

Пифагора : ОН ^ 2 = 25 — 16 = 9 ОН = 3.

АО = ОВ = 6 радиус .

Тогда АВ = 12 S = 1 / 2×12×6 = 36 А вот 11 и 12 незнаю.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Видео:Секретные формулы площади треугольникаСкачать

Секретные формулы площади треугольника

Треугольник ABC вписан в окружность?

Треугольник ABC вписан в окружность.

Найти радиус окружности, если AB = 24см, а центр окружности удален от AB на 5см.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Видео:Найти площадь треугольника АВС. Задачи по рисункамСкачать

Найти площадь треугольника АВС. Задачи по рисункам

В треугольнике ABC , угол С = 42 градуса, О — центр вписанной окружности?

В треугольнике ABC , угол С = 42 градуса, О — центр вписанной окружности.

Найти : угол AOB.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Вписанный угол ABC = 42 градусам?

Вписанный угол ABC = 42 градусам.

Найти углы треугольника AOC.

(О — ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ).

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Около треугольника ABC описана окружность с центром O?

Около треугольника ABC описана окружность с центром O.

Найдите угол ABC если угол AOC равен 64 градуса.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Центр окружности описанной около равнобедренного треугольника ABC ?

Центр окружности описанной около равнобедренного треугольника ABC .

Является серединой основания треугольника.

Найдите углы треугольника Пожалуйста с решением.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Треугольник ABC вписан в окружность с центром О?

Треугольник ABC вписан в окружность с центром О.

Найдите градусную меру угла С треугольника ABC, если угол AOB равен 63º.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

В равнобедренный треугольник ABC ( AB = BC ) вписана окружность с центром О ?

В равнобедренный треугольник ABC ( AB = BC ) вписана окружность с центром О .

Найти углы треугольника , если угол BOC = 130.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Треугольник ABC — остроугольный Описать около треугольника ABC окружность, указать центр и радиусю?

Треугольник ABC — остроугольный Описать около треугольника ABC окружность, указать центр и радиусю.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности?

Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности.

Найдите угол С, если А = 75.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Сторона ac треугольника abc проходит через центр описанной около него окружности?

Сторона ac треугольника abc проходит через центр описанной около него окружности.

Найти угол с , если угал aравен 44градусам.

На странице вопроса (50 + БАЛЛОВ ЗА ПОДРОБНЫЙ ОТВЕТ) О — центр окружности, описанной около треугольника ABC, O1 — центр окружности, вписанной в треугольник ABC? из категории Геометрия вы найдете ответ для уровня учащихся 5 — 9 классов. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Простите думала но не получается. Я правда хотела помочь.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

180 — 118 = 72 72 : 2 = 36 Это вроде равнобедреный треугольник. Сначало в буквах запиши. А после вот так.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

В равнобедренном треугольнике ABC : AB = BC — боковые стороны Основание AC = 12 BD — высота (также медиана и биссектриса), опущенная на основание Пусть BD = x, тогда AB = BC = x + 2 AD = CD = 12 / 2 = 6 (cм) По теореме Пифагора : AB² = BD² + AD² (x +..

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Вот тебе подсказка как найти площадь треугольника.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Надеюсь увидишь что там ( всё праверенно).

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

По моему, вопрос задан неправильно.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Диаметр d = √(4² + (2√5))² = √(16 + 20) = √36 = 6 ; значит радиус r = 3. Длина окружности С = 2πr = 2π * 3 = 6π ; Площадь круга S = πr² = π3² = 9π.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Смотри во вложении.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

180(n — 2) = 165n 180n — 360 = 165n 180n — 165n = 360 15n = 360 n = 360 : 15 = 24 Ответ : 24 стороны.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

10 задание : Угол САО = 40градусов Угол АСО = 40градусов В треугольнике 180 градусов УГЛЫ САО + АСО = 80 градусов 40 + 40 = 80 градусов Решение : 180 — 80 = 100 градусов УГОЛ СОА = 100 градусов Ответ : 100 градусов.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

  • Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

§2. Площадь треугольника. Метод площадей

В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.

Пусть `A`, `B` и `C` — углы треугольника`ABC`; `a`, `b` и `c` — противолежащие этим углам стороны; `h_a`, `h_b` и `h_c` — высоты к этим сторонам; `r` — радиус вписанной окружности;`R` — радиус описанной окружности; `2p=(a+b+c)` — периметр треугольника; `S` — площадь треугольника

`S=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c`,(1)
`S=1/2 ab sinC=1/2acsinB=1/2bcsinA`,(2)
`S=pr`,(3)
``S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))` — формула Герона,(4)
`S=(abc)/(4R)`.(5)

При вычислении площади из этих формул следует выбрать ту, которая в условиях конкретной задачи приводит к более простому решению.

Для примера, рассмотрим два треугольника:

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

`DeltaABC:` `AB=13`, `BC=14`, `AC=15`;

`DeltaKML:` `KL=sqrt(13)`, `LM=sqrt(14)`, `KM=sqrt(15)`;

Надо найти площадь и радиус описанной окружности.

Для треугольника `ABC` удобен ход решения такой:

`p=1/2(AB+BC+AC)=21`, по формуле Герона

`S_(ABC)=sqrt(21*6*7*8)= ul(84)` и по формуле (5)

Для треугольника `KLM` вычисленная по формуле Герона затруднительны, более простой путь — найти косинус, например, угла `M`. По теореме косинусов

тогда `sinM=sqrt(1-64/(210))=(sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))` и по формуле (2):

тогда `R=(KL)/(2sinM)=ul((sqrt(13)*sqrt(14)*sqrt(15))/(2*sqrt(146)))=(sqrt(13)*sqrt7*sqrt(15))/(2*sqrt(73))` (точно также по формуле 5).

Сравнение площадей треугольников обычно опирается на одно из следующих утверждений:

$$ 2.^$$. Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как длины соответствующих оснований. В частности, если точка `D` лежит на основании `AC` (рис. 6а), то

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описаннойТаблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

$$ 2.^$$. Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (см. рис. 6б):

$$ 2.^$$. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их

сходственных сторон, т. е. если `Delta ABC

DeltaA_1B_1C_1`, то `(S_(A_1B_1C_1))/(S_(ABC))=((A_1B_1)/(AB))^2`.

Все эти утверждения легко доказываются с использованием соответственно формул площади (1) и (2).

Обратим внимание на важное свойство медиан треугольника.

Три медианы треугольника разбивают его на `6` треугольников с общей вершиной и равными площадями.

Известно, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении `2:1`, считая от вершины. Пусть `O` — точка пересечения медиан треугольника `DeltaABC` площади `S` (рис. 7а). Надо доказать, что площади всех шести треугольников с верш иной в точке `O`, составляющих треугольник `ABC`, равны между собой, т. е. равны `1/6S`.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Докажем, например, для треугольника `BOM`, что `S_(BOM)=1/6S_(ABC)`.

Точка `M` — середина стороны `BC` (рис. 7б), по утверждению $$ 2.^$$ о сравнении площадей `S_(ABM)=1/2S`. Медиана `BN`, пересекая медиану `AM` в точке `O` (рис. 7в), делит её в отношении `AO:OM=2:1`, т. е. `OM=1/3AM`. По тому же утверждению $$ 2.^$$ площадь треугольника `BOM` составляет `1//3` площади треугольника `ABM`, т. е.

Дан треугольник `ABC`. Точка `D` лежит на стороне `AB`, `AD:DB=1:2`, точка `K` лежит на стороне `BC`, `BK:KC=3:2` (рис. 8а). Отрезки `AK` и `CD` пересекаются в точке `O`. Найти отношение площади четырёхугольника `DBKO` к площади треугольника `ABC`.

1. Обозначим `S_(ABC)=S`, `S_(DBKO)=sigma` и `S_(ADO)=a`. По утверждению $$ 2.^$$ имеем `S_(ABK)=a+sigma=3/5S` (так как `BK:BC=3:5`). Площадь `a` треугольника `ADO` найдём как часть площади треугольника `ADC`, зная, что `S_(ADC)=1/3S` (так как `AD:AB=1:3`).

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

2. Через точку `D` проведём прямую `DL«||«AK`. По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми (`/_ABC`, `DL«||«AK`) имеем `(BL)/(LK)=(BD)/(AD)`, откуда `LK=y`.

По той же теореме (`/_DCB`, `OK«||«DL`) получим `(DO)/(DC)=(LK)/(LC)`, `DO=1/3DC`.

3. Теперь находим `S_(ADO):S_(ADC)=DO:DC`, `a=1/3(1/3S)=1/9S`.

(Можно по теореме Менелая для треугольника `BCD` и секущей `CD:`

`(BK)/(KC)*(CO)/(OD)*(DA)/(AB)=1 iff 3/2*(CO)/(OD)*1/3=1 iff CO=2OD=>OD=1/3DC`).

Находим площадь: `sigma=3/5S-a=(3/5-1/9)S=22/45S`.

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны `3` и `7`, а медиана к третьей стороне равна `4` (рис. 9).

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Пусть `AB=3`, `BC=7`, `AM=MC` и `BM=4`. Достроим треугольник `ABC` до параллелограмма, для этого на прямой `BM` отложим отрезок `MD=BM` и соединим точки: `A` с `D` и `C` с `D`. Противоположные стороны параллелограмма равны: `(DC=AB)` и равны площади треугольников `ABC` и `DBC` (общее основание `BC` и равные высоты из вершин `A` и `D`).

В треугольнике `DBC` известны все три стороны: `BC=7`, `DC=3`, `BD=2BM=8`.

Находим его площадь по формуле Герона: `p=9`, `S_(BCD)=6sqrt3`.

Значит и `S_(ABC)=6sqrt3`.

В решении этой задачи дополнительным построением получен треугольник, площадь которого равна площади заданного и легко вычисляется по данным задачи. Приведём ещё одну задачу, где сначала вычисляется площадь дополнительно построенной фигуры, а затем легко находится искомая площадь.

Найти площадь треугольника, если его медианы равны `3`, `4` и `5`.

Пусть `O` — точка пересечения медиан треугольника `ABC` (рис. 10) и пусть `m_a=AM=3`, `m_b=BN=4` и `m_c=CP=5`.

По свойству медиан `AO=2/3m_a`, `CO=2/3m_c` и `ON=1/3m_b`. В треугольнике `AOC` известны две стороны `AO` и `CO` и медиана третьей стороны `ON`. Площадь этого треугольника найдём как в предыдущей задаче.

Достроим треугольник `AOC` до параллелограмма `AOCD`, `S_(AOC)=S_(DOC)`, в треугольнике `DOC` известны три стороны:

`DO=2ON=2/3m_b`, `OC=2/3m_c`, `DC=AO=2/3m_a`.

Площадь треугольника `DOC` вычисляем по формуле Герона `S_1=S_(AOC)=S_(DOC)=8/3`. Сравним теперь площадь треугольника `ABC` (обозначим её `S`) с площадью треугольника `AOC`. Из теоремы 2 о медианах и площадях следует `S_(AOC)=S_(AON)+S_(NOC)=2*1/6S=1/3S`.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

В следующей задаче докажем лемму об отношении площади треугольника к площади другого треугольника, построенного из медиан первого.

Найти отношение площади `S` треугольника к площади `S_0` треугольника, составленного из медиан первого.

Рассмотрим рис. 10. В построенном треугольнике `OCD` стороны таковы: `OC=2/3m_c`, `OD=2/3m_b`, `CD=2/3m_a`. Очевидно, что треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c` подобен (по третьему признаку) треугольнику со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`.

Из решения предыдущей задачи следует, что `S_(OCD)=S_1=1/3S` (здесь `S` — площадь треугольника `ABC`). Кроме того, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон, поэтому `(S_1)/(S_0)=(2/3)^2`. Таким образом, имеем `S_0=9/4S_1=3/4S`, т. е.

`S_(m_am_bm_c)=3/4S_(abc)`.

Из рассуждений в решении Примера 9 следует, что всегда существует треугольник со сторонами, равными медианам данного треугольника, поскольку всегда существует подобный ему треугольник со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`. Кроме того, становится ясным план построения треугольника по трём отрезкам, равным его медианам: сначала строится треугольник `OCD` (см. рис. 10) со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`, затем точка `N` — середина отрезка `OD`, потом точка `A` (из `AN=NC`) и точка `B` (из `OB=OD`). Это построение осуществимо, если существует треугольник `OCD`, т. е. если существует треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c`. Итак, вывод: три отрезка могут быть медианами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда из них можно составить треугольник.

Около окружности радиуса `sqrt3` описан треугольник. Найти его площадь, если одна из его сторон точкой касания делится на отрезки `9` и `5`.

Пусть `AP=9`, `PC=5` (рис. 11) и пусть `BM=x`. По свойству касательных `AM=AP`, `CN=CP` и `BN=BM`, поэтому стороны треугольника таковы: `AC=14`, `AB=9+x`, `BC=5+x`, тогда `p=14+x`. (Заметим, что `p=AC+BM`!). По формулам площади (3) и (4) имеем: `S=pr=(14+x)sqrt3` и `S=sqrt((14+x)x*5*9)`. Приравниваем правые части, возводим в квадрат, приводим подобные члены, получаем `x=1`. Вычисляем площадь треугольника:

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Приём, применённый в решении этой задачи, когда площадь фигуры выражается двумя различными способами, часто используется в задачах на доказательство.

Проведём два примера, в каждом выведем полезную формулу.

В треугольнике `ABC` угол `C` равен `varphi`, `AC=b`, `BC=a` (рис. 12). Доказать, что биссектриса `CD` равна `(2ab)/(a+b) cos varphi/2`.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Обозначим `CD=x`. Очевидно, что `S_(ABC)=S_(ACD)+S_(DCB)`. По формуле (2) `S_(ABC)=1/2 ab sin varphi`, `S_(ACD)=1/2 bx sin varphi/2`, `S_(BDC)=1/2 ax sin varphi/2`. Таким образом, имеем: `1/2 ab sin varphi=1/2(a+b)x sin varphi/2`. Используем формулу синуса двойного угла `sin varphi=2sin varphi/2 cos varphi/2`, получим:

`x=(2ab)/(a+b)cos varphi/2`.

называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Таких окружностей, очевидно, три (рис. 13). Их радиусы обычно обозначаются `r_a`, `r_b`, `r_c` в зависимости от того, какой стороны окружность касается.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Вневписанная окружность касается стороны `a=BC` треугольника `ABC` (рис. 14). Доказать, что `S_(ABC)=r_a(p-a)`, где `2p=a+b+c`.

Таблица 2 площадь треугольника о центр окружности описанной

Центр окружности `I_a` лежит на пересечении биссектрисы угла `A` и биссектрис внешних углов при вершинах `B` и `C`. Легко видеть, что если `D`, `F` и `E` — точки касания, то `I_aD=I_aF=I_aE=r_a`.

Считаем площадь `S_0` четырёхугольника `ABI_aC`:

`S_0=S_(ABC)+S_(BCI_a)` и `S_0=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)`, откуда

Поделиться или сохранить к себе: