Свойство внешнего угла окружности

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Внешний угол треугольникаСкачать

Внешний угол треугольника

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Видео:❓ Угол между секущими (вне окружности)Скачать

❓ Угол между секущими (вне окружности)

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

    Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

    Углы, связанные с окружностью

    Свойство внешнего угла окружностиВписанные и центральные углы
    Свойство внешнего угла окружностиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
    Свойство внешнего угла окружностиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

    Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

    Вписанные углы в окружности

    Вписанные и центральные углы

    Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

    Свойство внешнего угла окружности

    Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

    Свойство внешнего угла окружности

    Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

    Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

    Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

    ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

    Теоремы о вписанных и центральных углах

    Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

    Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
    около этого треугольника окружности.

    ФигураРисунокТеорема
    Вписанный уголСвойство внешнего угла окружности
    Вписанный уголСвойство внешнего угла окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
    Вписанный уголСвойство внешнего угла окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
    Вписанный уголСвойство внешнего угла окружностиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
    Вписанный уголСвойство внешнего угла окружностиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
    Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаСвойство внешнего угла окружности

    Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

    Свойство внешнего угла окружности

    Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

    Свойство внешнего угла окружности

    Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

    Свойство внешнего угла окружности

    Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

    Свойство внешнего угла окружности

    Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

    Свойство внешнего угла окружности

    Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
    около этого треугольника окружности.

    Свойство внешнего угла окружности

    Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

    Вписанный угол
    Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

    Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

    Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    ФигураРисунокТеоремаФормула
    Угол, образованный пересекающимися хордамиСвойство внешнего угла окружностиСвойство внешнего угла окружности
    Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаСвойство внешнего угла окружностиСвойство внешнего угла окружности
    Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияСвойство внешнего угла окружностиСвойство внешнего угла окружности
    Угол, образованный касательной и секущейСвойство внешнего угла окружностиСвойство внешнего угла окружности
    Угол, образованный двумя касательными к окружностиСвойство внешнего угла окружностиСвойство внешнего угла окружности

    Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
    Свойство внешнего угла окружности
    Формула: Свойство внешнего угла окружности
    Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
    Формула: Свойство внешнего угла окружности

    Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
    Свойство внешнего угла окружности
    Формула: Свойство внешнего угла окружности
    Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
    Формула: Свойство внешнего угла окружности

    Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
    Формулы: Свойство внешнего угла окружности

    Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

    8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

    Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

    Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

    Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

    Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

    Свойство внешнего угла окружности

    В этом случае справедливы равенства

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    и теорема 1 в этом случае доказана.

    Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

    Свойство внешнего угла окружности

    В этом случае справедливы равенства

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    что и завершает доказательство теоремы 1.

    Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

    Свойство внешнего угла окружности

    Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    что и требовалось доказать.

    Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    что и требовалось доказать.

    Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    что и требовалось доказать

    Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    что и требовалось доказать.

    Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

    Свойство внешнего угла окружности

    Свойство внешнего угла окружности

    Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

    Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

    7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

    Центральные и вписанные углы

    Свойство внешнего угла окружности

    О чем эта статья:

    Видео:Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

    Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний Угол

    Центральный угол и вписанный угол

    Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

    Определение центрального угла:

    Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
    Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

    Свойство внешнего угла окружности

    На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

    Определение вписанного угла:

    Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

    Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

    Свойство внешнего угла окружности

    На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

    Видео:Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать

    Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углы

    Свойства центральных и вписанных углов

    Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

    • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

    Свойство внешнего угла окружности

    Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

    • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

    Свойство внешнего угла окружности

    • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

    Свойство внешнего угла окружности

    ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

    • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

    Свойство внешнего угла окружности

    ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

    Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

    Свойство внешнего угла окружности

    На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

    Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

    Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

    Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

    Свойство внешнего угла окружности

    • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

    Свойство внешнего угла окружности

    AB * AC = AE * AD
    Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

    • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

    Свойство внешнего угла окружности

    ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

    • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

    Свойство внешнего угла окружности

    ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

    Видео:Углы, связанные с окружностьюСкачать

    Углы, связанные с окружностью

    Примеры решения задач

    Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

    Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

    Свойство внешнего угла окружности

    Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
    По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
    ㄥACB = ½ AB = 40°

    Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

    Свойство внешнего угла окружности

    Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
    На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
    Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

    Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

    Свойство внешнего угла окружности

    СB = ⅕ от 360° = 72°
    Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

    📺 Видео

    Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

    Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

    Свойство биссектрисы внешнего угла треугольникаСкачать

    Свойство биссектрисы внешнего угла треугольника

    Углы, связанные с окружностьюСкачать

    Углы, связанные с окружностью

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

    Свойство (признак) биссектрисы внутреннего (внешнего) угла треугольникаСкачать

    Свойство (признак) биссектрисы внутреннего (внешнего)  угла треугольника

    Углы в окружности | ФормулыСкачать

    Углы в окружности | Формулы
    Поделиться или сохранить к себе: