Свойство угла между касательной и хордой окружности

Угол между хордой и касательной

Угол между хордой и касательной к окружности, проведённой через конец хорды, равен половине дуги, лежащей внутри этого угла.

Свойство угла между касательной и хордой окружностиДано :

окр. (O; R), AB — хорда, BC — касательная

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности1) Соединим центр окружности с концами хорды.

Треугольник OAB — равнобедренный с основанием AB (так как OA=OB как радиусы).

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

3) Градусная мера дуги AB равна градусной мере центрального угла AOB.

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Что и требовалось доказать .

Треугольник ABC вписан в окружность. Через вершину B проведена касательная к окружности, а из точки A на касательную опущен перпендикуляр AF. Найти ∠ACB, если ∠FAB=27º.

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Дано : ∆ABC, окр. (O; R) — описанная,

Свойство угла между касательной и хордой окружности

1) Рассмотрим ∆ABF. ∠AFB=90º. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то ∠ABF=90º-∠FAB=90-27=63º.

2) ∠ABF — угол между касательной BF и хордой AB. Значит, он равен половине дуги AB:

Свойство угла между касательной и хордой окружности

3) ∠AСB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно он также равен её половине:

Видео:Угол между хордой и касательной. 9 класс.Скачать

Угол между хордой и касательной. 9 класс.

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть . Тогда . Треугольник ОСА – равнобедренный, ОА = ОС (как радиусы окружности). Значит, , что и требовалось доказать.

Заметим, что – как вписанный, опирающийся на ту же дугу.

Задача ЕГЭ по теме «Угол между касательной и хордой»

Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен . Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Касательная ВС перпендикулярна радиусу ОВ, проведенному в точку касания. Значит, угол ОВС равен 90°, и тогда угол ОВА равен . Угол ОАВ также равен 58°, так как треугольник ОАВ – равнобедренный, его стороны ОА и ОВ равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол АОВ, равен .

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, и тогда дуга АВ равна .

Эту задачу можно решить быстрее, зная теорему об угле между касательной и хордой.
Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, — это угол АВС. Он равен половине угловой величины дуги, заключенной между касательной ВС и хордой АВ, то есть дуги АВ. Значит, дуга АВ равна .

Видео:11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордойСкачать

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордой

Углы, связанные с окружностью

Свойство угла между касательной и хордой окружностиВписанные и центральные углы
Свойство угла между касательной и хордой окружностиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Свойство угла между касательной и хордой окружностиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Угол между хордой и касательнойСкачать

Угол между хордой и касательной

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголСвойство угла между касательной и хордой окружности
Вписанный уголСвойство угла между касательной и хордой окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголСвойство угла между касательной и хордой окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголСвойство угла между касательной и хордой окружностиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголСвойство угла между касательной и хордой окружностиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаСвойство угла между касательной и хордой окружности

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Видео:Угол между касательной и хордойСкачать

Угол между касательной и хордой

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиСвойство угла между касательной и хордой окружностиСвойство угла между касательной и хордой окружности
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаСвойство угла между касательной и хордой окружностиСвойство угла между касательной и хордой окружности
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияСвойство угла между касательной и хордой окружностиСвойство угла между касательной и хордой окружности
Угол, образованный касательной и секущейСвойство угла между касательной и хордой окружностиСвойство угла между касательной и хордой окружности
Угол, образованный двумя касательными к окружностиСвойство угла между касательной и хордой окружностиСвойство угла между касательной и хордой окружности

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Свойство угла между касательной и хордой окружности
Формула: Свойство угла между касательной и хордой окружности
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Свойство угла между касательной и хордой окружности

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Свойство угла между касательной и хордой окружности
Формула: Свойство угла между касательной и хордой окружности
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Свойство угла между касательной и хордой окружности

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Свойство угла между касательной и хордой окружности

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Геометрия 11 класс. Угол между касательной и хордойСкачать

Геометрия 11 класс. Угол между касательной и хордой

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Свойство угла между касательной и хордой окружности

В этом случае справедливы равенства

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Свойство угла между касательной и хордой окружности

В этом случае справедливы равенства

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Свойство угла между касательной и хордой окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

📹 Видео

Окружность..Угол между касательной и хордой.Скачать

Окружность..Угол между касательной и хордой.

Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Углы в окружности. Между касательной и хордой. Урок 21. Геометрия 11 классСкачать

Углы в окружности. Между касательной и хордой. Урок 21. Геометрия 11 класс

Найти угол между касательной и хордой. Полная версияСкачать

Найти угол между касательной и хордой. Полная версия

Угол между хордой и касательнойСкачать

Угол между хордой и касательной

Угол между касательной и хордойСкачать

Угол между касательной и хордой

ВАЖНОЕ СВОЙСТВО ОКРУЖНОСТИ | Чему равен угол между касательной и хордой | Теория геометрииСкачать

ВАЖНОЕ СВОЙСТВО ОКРУЖНОСТИ | Чему равен угол между касательной и хордой | Теория геометрии

Теорема об угле между касательной и хордой. Доказательство | Как понимать математику #огэматематикаСкачать

Теорема об угле между касательной и хордой. Доказательство | Как понимать математику #огэматематика

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касанияСкачать

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания

СВОЙСТВА угла между касательной и хордой ✧ Запомнить за 1 мин! #геометрия #егэ #огэСкачать

СВОЙСТВА угла между касательной и хордой  ✧  Запомнить за 1 мин!   #геометрия #егэ #огэ

Угол между касательной и хордой | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич|Уроки геометрии 7-8 классыСкачать

Угол между касательной и хордой | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич|Уроки геометрии 7-8 классы

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.
Поделиться или сохранить к себе: