Свойство сторон в треугольнике

Свойства сторон и углов треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Свойство сторон в треугольнике,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Свойство сторон в треугольнике,

где β – меньший угол треугольника.

Свойство сторон в треугольнике,

ФигураРисунокФормулировка
ТреугольникСвойство сторон в треугольнике
Большая сторона треугольникаСвойство сторон в треугольникеПротив большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольникаПротив большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольникаСвойство сторон в треугольникеПротив меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольникаПротив меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольникаСвойство сторон в треугольнике
Углы треугольникаСвойство сторон в треугольнике
Внешний угол треугольникаСвойство сторон в треугольнике
Больший угол треугольникаСвойство сторон в треугольнике
Меньший угол треугольникаСвойство сторон в треугольнике
Теорема косинусовСвойство сторон в треугольнике
Теорема синусовСвойство сторон в треугольнике

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Свойство сторон в треугольнике,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Свойство сторон в треугольнике,

где β – меньший угол треугольника.

Свойство сторон в треугольнике,

Треугольник
Свойство сторон в треугольнике
Большая сторона треугольника
Свойство сторон в треугольникеПротив большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольника
Свойство сторон в треугольникеПротив большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольника
Свойство сторон в треугольникеПротив меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольника
Свойство сторон в треугольникеПротив меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольника
Свойство сторон в треугольнике
Углы треугольника
Свойство сторон в треугольнике
Внешний угол треугольника
Свойство сторон в треугольнике
Больший угол треугольника
Свойство сторон в треугольнике
Меньший угол треугольника
Свойство сторон в треугольнике
Теорема косинусов
Свойство сторон в треугольнике
Теорема синусов
Свойство сторон в треугольнике
Треугольник
Свойство сторон в треугольнике

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Большая сторона треугольникаСвойство сторон в треугольнике

Свойство большей стороны треугольника:

Против большей стороны треугольника лежит больший угол

Больший угол треугольникаСвойство сторон в треугольнике

Свойство большего угла треугольника:

Против большего угла треугольника лежит большая сторона

Меньшая сторона треугольникаСвойство сторон в треугольнике

Свойство меньшей стороны треугольника:

Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол

Меньший угол треугольникаСвойство сторон в треугольнике

Свойство меньшего угла треугольника:

Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона

Длины сторон треугольникаСвойство сторон в треугольнике

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Углы треугольникаСвойство сторон в треугольнике

Свойство углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника

Свойство сторон в треугольнике

Свойство сторон в треугольнике

Свойство внешнего угла треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Больший угол треугольникаСвойство сторон в треугольнике

Свойство большего угла треугольника:

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Свойство сторон в треугольнике,

где α – больший угол треугольника.

Меньший угол треугольникаСвойство сторон в треугольнике

Свойство меньшего угла треугольника:

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Свойство сторон в треугольнике,

где β – меньший угол треугольника.

Теорема косинусовСвойство сторон в треугольнике

Теорема синусовСвойство сторон в треугольнике

Свойство меньшего угла треугольника:

Свойство сторон в треугольнике,

Содержание
  1. Треугольник
  2. Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем
  3. треугольнике равен 60 º.
  4. 4. Продолжая одну из сторон треугольника ( AC , рис.25), получаем внешний
  5. угол BCD . Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
  6. не смежных с ним : BCD = A + B .
  7. 5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше
  8. их разности ( a b – c; b b > a – c; c c > a – b ).
  9. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  10. Типы треугольников
  11. По величине углов
  12. По числу равных сторон
  13. Вершины углы и стороны треугольника
  14. Свойства углов и сторон треугольника
  15. Теорема синусов
  16. Теорема косинусов
  17. Теорема о проекциях
  18. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  19. Медианы треугольника
  20. Свойства медиан треугольника:
  21. Формулы медиан треугольника
  22. Биссектрисы треугольника
  23. Свойства биссектрис треугольника:
  24. Формулы биссектрис треугольника
  25. Высоты треугольника
  26. Свойства высот треугольника
  27. Формулы высот треугольника
  28. Окружность вписанная в треугольник
  29. Свойства окружности вписанной в треугольник
  30. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  31. Окружность описанная вокруг треугольника
  32. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  33. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  34. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  35. Средняя линия треугольника
  36. Свойства средней линии треугольника
  37. Периметр треугольника
  38. Формулы площади треугольника
  39. Формула Герона
  40. Равенство треугольников
  41. Признаки равенства треугольников
  42. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  43. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  44. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  45. Подобие треугольников
  46. Признаки подобия треугольников
  47. Первый признак подобия треугольников
  48. Второй признак подобия треугольников
  49. Третий признак подобия треугольников

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Треугольник

Треугольник. Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольник.

Катеты и гипотенуза. Равнобедренный и равносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников. Сумма углов треугольника.

Внешний угол треугольника. Признаки равенства треугольников.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Замечательные линии и точки в треугольнике: высоты, медианы,

биссектрисы, срединны e перпендикуляры, ортоцентр,

центр тяжести, центр описанного круга, центр вписанного круга.

Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольном треугольнике.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

Свойство сторон в треугольнике
Если все три угла острые ( рис.20 ), то это остроугольный треугольник . Если один из углов прямой ( Свойство сторон в треугольникеC, рис.21 ), то это прямоугольный треугольник; стороны a , b , образующие прямой угол, называются катетами; сторона c , противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой ( Свойство сторон в треугольникеB, рис.22 ), то это тупоугольный треугольник.
Свойство сторон в треугольнике
Треугольник ABC ( рис.23 ) — равнобедренный , если две его стороны равны ( a = c ); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC ( рис.24 ) – равносторонний , если все его стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( abc ) имеем неравносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

треугольнике равен 60 º.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

4. Продолжая одну из сторон треугольника ( AC , рис.25), получаем внешний

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

угол Свойство сторон в треугольникеBCD . Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

не смежных с ним : Свойство сторон в треугольникеBCD = Свойство сторон в треугольникеA + Свойство сторон в треугольникеB .

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

их разности ( a bc; b b > ac; c c > ab ).

Признаки равенства треугольников.

Треугольники равны, если у них соответственно равны:

a ) две стороны и угол между ними;

b ) два угла и прилегающая к ним сторона;

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Д ва прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

1) равны их катеты;

2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;

3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;

4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Замечательные линии и точки в треугольнике.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника . Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке , называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника ( точка O , рис.26 ) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника ( точка O , рис.27 ) снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Свойство сторон в треугольнике

Медиана – это отрезок , соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника ( AD , BE , CF , рис.28 ) пересекаются в одной точке O , всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD , BE , CF , рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).

Свойство сторон в треугольнике

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам ; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС ( KO , MO , NO , рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга ( точки K , M , N – середины сторон треугольника ABC ).

Свойство сторон в треугольнике

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном — в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами a , b и гипотенузой c .

Свойство сторон в треугольнике

Построим квадрат AKMB , используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF , сторона которого равна a + b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна ( a + b ) 2 . С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB , то есть

и окончательно имеем:

Соотношение сторон в произвольном треугольнике.

В общем случае ( для произвольного треугольника ) имеем:

где C – угол между сторонами a и b .

Copyright © 2004 — 2012 Др. Юрий Беренгард. All rights reserved.

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:ТРЕУГОЛЬНИК: построение треугольников, свойства сторон и углов треугольникаСкачать

ТРЕУГОЛЬНИК: построение треугольников, свойства сторон и углов треугольника

Типы треугольников

По величине углов

Свойство сторон в треугольнике

Свойство сторон в треугольнике

Свойство сторон в треугольнике

По числу равных сторон

Свойство сторон в треугольнике

Свойство сторон в треугольнике

Свойство сторон в треугольнике

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

Треугольники. 7 класс.

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Свойство сторон в треугольнике

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Средняя линия. Теорема о средней линии треугольникаСкачать

Средняя линия. Теорема о средней линии треугольника

Медианы треугольника

Свойство сторон в треугольнике

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Биссектрисы треугольника

Свойство сторон в треугольнике

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Высоты треугольника

Свойство сторон в треугольнике

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Окружность вписанная в треугольник

Свойство сторон в треугольнике

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойство сторон в треугольнике

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Свойство сторон в треугольнике

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Периметр треугольника

Свойство сторон в треугольнике

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Формулы площади треугольника

Свойство сторон в треугольнике

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Свойство сторон в треугольнике

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Поделиться или сохранить к себе: