Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:Радиус перпендикулярный хорде делит ее пополамСкачать

Радиус  перпендикулярный хорде делит ее пополам

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Видео:Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Видео:ищем хорду в окружности. огэ 1 часть геометрияСкачать

ищем хорду в окружности. огэ 1 часть геометрия

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополамОтрезки и прямые, связанные с окружностью
    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополамСвойства хорд и дуг окружности
    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополамТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополамДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополамТеорема о бабочке

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

    Отрезки и прямые, связанные с окружностью

    Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

    Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

    Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

    Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

    Хорда, проходящая через центр окружности.

    Диаметр является самой длинной хордой окружности

    Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

    Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

    Прямая, пересекающая окружность в двух точках

    ФигураРисунокОпределение и свойства
    ОкружностьСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам
    КругСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам
    РадиусСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам
    ХордаСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам
    ДиаметрСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам
    КасательнаяСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам
    СекущаяСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам
    Окружность
    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

    КругСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

    РадиусСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

    ХордаСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

    ДиаметрСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Хорда, проходящая через центр окружности.

    Диаметр является самой длинной хордой окружности

    КасательнаяСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

    Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

    СекущаяСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Прямая, пересекающая окружность в двух точках

    Видео:№634. Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательнаяСкачать

    №634. Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная

    Свойства хорд и дуг окружности

    ФигураРисунокСвойство
    Диаметр, перпендикулярный к хордеСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополамДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
    Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
    Равные хордыСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополамЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
    Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
    Две хорды разной длиныСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополамБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
    Равные дугиСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополамУ равных дуг равны и хорды.
    Параллельные хордыСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополамДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
    Диаметр, перпендикулярный к хорде
    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

    Диаметр, проходящий через середину хордыСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

    Равные хордыСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

    Хорды, равноудалённые от центра окружностиСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

    Две хорды разной длиныСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

    Равные дугиСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    У равных дуг равны и хорды.

    Параллельные хордыСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

    Видео:Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

    Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

    Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

    Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    ФигураРисунокТеорема
    Пересекающиеся хордыСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам
    Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам
    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам
    Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСвойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Пересекающиеся хорды
    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам
    Касательные, проведённые к окружности из одной точки
    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам
    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам
    Секущие, проведённые из одной точки вне круга
    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам
    Пересекающиеся хорды
    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Касательные, проведённые к окружности из одной точки

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Секущие, проведённые из одной точки вне круга

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Видео:Свойства хорд окружностиСкачать

    Свойства хорд окружности

    Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

    Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Тогда справедливо равенство

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    откуда и вытекает требуемое утверждение.

    Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    откуда и вытекает требуемое утверждение.

    Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    откуда и вытекает требуемое утверждение.

    Видео:Геометрия. Свойства окружности. Диаметр и хордаСкачать

    Геометрия. Свойства окружности. Диаметр и хорда

    Теорема о бабочке

    Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Воспользовавшись теоремой 1, получим

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    откуда вытекает равенство

    что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

    Видео:ОГЭ Задание 26 Свойство диаметра и хордыСкачать

    ОГЭ Задание 26 Свойство диаметра и хорды

    Диаметр делит хорду пополам

    Если диаметр делит хорду пополам, каково их взаимное расположение?

    Если диаметр делит хорду пополам, то он перпендикулярен этой хорде.

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополамДано: окружность (O;R),

    AB — диаметр, CD — хорда,

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополам

    Свойство радиуса окружности пересекающего хорду и делящего ее пополамСоединим концы хорды CD с точкой O — центром окружности.

    Так как OC=OD (как радиусы), то треугольник COD — равнобедренный с основанием CD.

    Так как CP=PD, то OP — медиана треугольника COD, проведённая к основанию.

    По свойству равнобедренного треугольника, OP является также его высотой.

    🌟 Видео

    Радиус перпендикулярный хорде делит ее пополамСкачать

    Радиус  перпендикулярный хорде делит ее пополам

    Геометрия Радиус ОС окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательнаяСкачать

    Геометрия Радиус ОС окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная

    ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

    ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

    Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

    Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

    ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

    ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

    Свойство хорд, пересекающихся внутри окружностиСкачать

    Свойство хорд, пересекающихся внутри окружности

    Радиус перпендикулярен хордеСкачать

    Радиус перпендикулярен хорде

    Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)Скачать

    Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)
    Поделиться или сохранить к себе: