Свойство пересекающихся медиан треугольника

Элементы треугольника. Медиана

Видео:Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Точка пересечения медиан в треугольнике

Определение

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

Свойство пересекающихся медиан треугольника

Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.

Свойства

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины . Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Свойство пересекающихся медиан треугольника

2. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника)

Свойство пересекающихся медиан треугольника

3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников

Свойство пересекающихся медиан треугольника

4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы

Свойство пересекающихся медиан треугольника

5. Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:

Свойство пересекающихся медиан треугольника, где где Свойство пересекающихся медиан треугольника— медиана к стороне Свойство пересекающихся медиан треугольника; Свойство пересекающихся медиан треугольника— стороны треугольника

6. Длина стороны треугольника через медианы вычисляется по формуле:

Свойство пересекающихся медиан треугольника, где Свойство пересекающихся медиан треугольника– медианы к соответствующим сторонам треугольника, Свойство пересекающихся медиан треугольника— стороны треугольника.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:Теорема о трёх медианахСкачать

Теорема о трёх медианах

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Свойство пересекающихся медиан треугольника

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shorts

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Свойство пересекающихся медиан треугольника

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Свойство пересекающихся медиан треугольника

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Свойство пересекающихся медиан треугольника

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

Свойство пересекающихся медиан треугольника

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Свойство пересекающихся медиан треугольника

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Свойство пересекающихся медиан треугольника

Видео:Медианы треугольника пересекаются в точке М. Свойство пересекающихся хорд.Скачать

Медианы треугольника пересекаются в точке М.  Свойство пересекающихся хорд.

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Видео:Урок 33. Свойство медиан треугольника (8 класс)Скачать

Урок 33.  Свойство медиан треугольника (8 класс)

Свойство медиан треугольника

Свойство медиан треугольника может быть доказано многими способами. Доказательство, опирающееся на свойства параллелограмма и средней линии треугольника, может быть проведено сразу же после изучения соответствующих тем, что позволяет начать использовать свойство медиан треугольника уже с начала 8 класса.

(Свойство медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойство пересекающихся медиан треугольникаДано : ABC, AA1, BB1, CC1 — медианы

Свойство пересекающихся медиан треугольника

Свойство пересекающихся медиан треугольника

Свойство пересекающихся медиан треугольника1) Пусть M — середина отрезка AO, N — середина BO

(то есть AM=OM, BN=ON).

2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками.

Свойство пересекающихся медиан треугольника

3) Так как AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, точка A1- середина отрезка BC, B1 — середина AC.

Следовательно, A1B1 — средняя линия треугольника ABC и

Свойство пересекающихся медиан треугольника

Свойство пересекающихся медиан треугольника

Значит, четырёхугольник MNA1B1 — параллелограмм (по признаку).

По свойству диагоналей параллелограмма

Свойство пересекающихся медиан треугольника

Свойство пересекающихся медиан треугольника

Свойство пересекающихся медиан треугольника

Свойство пересекающихся медиан треугольника

из чего следует, что

Свойство пересекающихся медиан треугольника

5) Доказательство того факта, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, будем вести методом от противного.

Предположим, что третья медиана CC1 треугольника ABC пересекает медианы AA1 и BB1 в некоторой точке, отличной от точки O.

Тогда на каждой медиане есть две различные точки, делящие её в отношении 2:1, считая от вершины. Пришли к противоречию.

Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точка пересечения медиан делит каждую из их в отношении 2:1, считая от вершины:

Свойство пересекающихся медиан треугольника

Что и требовалось доказать .

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольникаСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольника

7 Comments

Промогите пожалуйста:
В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла до гипотенузы провели медиану длинной 50см и перпендикуляр 48см. Вычислить периметр.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Следовательно, гипотенуза 100 см. Пусть катеты равны x см и y см. По теореме Пифагора x²+y²=100². Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне S=0,5∙100∙48 см², либо половине произведения катетов S=0,5∙x∙y. Отсюда xy=4800.
Решаем систему уравнений: x²+y²=100²; xy=4800. Решения (60;80) (80;60). То есть катеты 60 см и 80 см. Периметр P=60+80+100=240 см.
(Не обязательно доводить решение системы до конца. Достаточно найти x+y. Для этого к 1-му уравнению прибавим удвоенное 2-е, получим
x²+2xy+y²=19600; x+y=140).

Прошу помощи в решении задачи: на стороне ромба построен равносторонний треугольник. Отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей ромба с серединой стороны треугольника, составляет с ней угол 70 градусов. Найти острый угол ромба.

Во-первых, большое спасибо за решение, даже не ожидала ответа, но, по счастью, ошиблась! Но я к этому времени уже решила так:провела ВМ, которая в равностороннем треугольнике является также высотой.
Рассмотрим четырехугольник ОВМС: угол ВОС =углу ВМС=90 градусов (диагонали ромба взаимно перпендикулярны),отсюда, ВМ параллельна ОС, тогда угол МОС=20 градусам. Рассм. треугольник ОМС: угол МСО= 180-20-70=90 градусов, и одновременно= 60+x, т.о., угол х=30 градусам, и искомый острый угол ромба=60 градусам. Мы получили разные ответы, в чем может быть дело (окружности мы еще не проходили).

Наталия углы BOC и BMC не накрест лежащие и не внутренние односторонние, поэтому BM не параллельна OC. Но вариант решения без окружности возможен, добавила второй способ.

💥 Видео

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианыСкачать

Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианы

22 Медианы треугольника пересекаются в одной точкеСкачать

22 Медианы треугольника пересекаются в одной точке

Длина медианы треугольникаСкачать

Длина медианы треугольника

Свойство точки пересечения медиан треугольникаСкачать

Свойство точки пересечения медиан треугольника

Медиана треугольника. Построение. Свойства.Скачать

Медиана треугольника. Построение. Свойства.

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой ЭйлераСкачать

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой Эйлера

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Все свойства медианы в одной задаче.Скачать

Все свойства медианы в одной задаче.

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Что даёт точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Что даёт точка пересечения медиан в треугольнике

Свойство медиан треугольника. Конкурентность медиан треугольника.Скачать

Свойство медиан треугольника. Конкурентность медиан треугольника.
Поделиться или сохранить к себе: