Свойство пересекающихся хорд окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Свойство пересекающихся хорд окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Свойство пересекающихся хорд окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Свойство пересекающихся хорд окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Свойство пересекающихся хорд окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Свойство пересекающихся хорд окружностиТеорема о бабочке

Свойство пересекающихся хорд окружности

Видео:Свойство пересекающихся хорд окружности. Геометрия 8-9 классСкачать

Свойство пересекающихся хорд окружности. Геометрия 8-9 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьСвойство пересекающихся хорд окружности
КругСвойство пересекающихся хорд окружности
РадиусСвойство пересекающихся хорд окружности
ХордаСвойство пересекающихся хорд окружности
ДиаметрСвойство пересекающихся хорд окружности
КасательнаяСвойство пересекающихся хорд окружности
СекущаяСвойство пересекающихся хорд окружности
Окружность
Свойство пересекающихся хорд окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругСвойство пересекающихся хорд окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусСвойство пересекающихся хорд окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаСвойство пересекающихся хорд окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрСвойство пересекающихся хорд окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяСвойство пересекающихся хорд окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяСвойство пересекающихся хорд окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеСвойство пересекающихся хорд окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыСвойство пересекающихся хорд окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныСвойство пересекающихся хорд окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиСвойство пересекающихся хорд окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыСвойство пересекающихся хорд окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Свойство пересекающихся хорд окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыСвойство пересекающихся хорд окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыСвойство пересекающихся хорд окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиСвойство пересекающихся хорд окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныСвойство пересекающихся хорд окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиСвойство пересекающихся хорд окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыСвойство пересекающихся хорд окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Свойство хорд, пересекающихся внутри окружностиСкачать

Свойство хорд, пересекающихся внутри окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойство пересекающихся хорд окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыСвойство пересекающихся хорд окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСвойство пересекающихся хорд окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСвойство пересекающихся хорд окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСвойство пересекающихся хорд окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойство пересекающихся хорд окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Пересекающиеся хорды
Свойство пересекающихся хорд окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Свойство пересекающихся хорд окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Свойство пересекающихся хорд окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Свойство пересекающихся хорд окружности
Пересекающиеся хорды
Свойство пересекающихся хорд окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойство пересекающихся хорд окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Видео:Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Тогда справедливо равенство

Свойство пересекающихся хорд окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Свойство пересекающихся хорд окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Свойство пересекающихся хорд окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Свойство пересекающихся хорд окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Свойство пересекающихся хорд окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Свойство пересекающихся хорд окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Свойство пересекающихся хорд окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хордыСкачать

Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды

Хорды пересекаются

Если хорды пересекаются, как этот факт можно использовать при решении задач?

Теорема

(Свойство отрезков пересекающихся хорд (пропорциональность хорд окружности))

Произведения длин отрезков пересекающихся хорд, на которые эти хорды делятся точкой пересечения, есть число постоянное.

То есть, если хорды AB и CD пересекаются в точке F, то

AF ∙ FB=CF ∙ FD

Свойство пересекающихся хорд окружностиДано : окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Свойство пересекающихся хорд окружности

Доказать : AF ∙ FB=CF ∙ FD

1) Проведём отрезки BC и AD.

2) Рассмотрим треугольники AFD и CFB.

Свойство пересекающихся хорд окружности∠AFD=∠CFB (как вертикальные);

Следовательно, треугольники AFD и CFB подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Свойство пересекающихся хорд окружности

то есть отрезки пересекающихся хорд пропорциональны.

По основному свойству пропорции:

Свойство пересекающихся хорд окружности

Что и требовалось доказать .

При решении задач с пересекающимися хордами можно использовать не только вывод теоремы, но также полученный в ходе её доказательства факт, что пересекающиеся хорды образуют пары подобных треугольников.

Через точку M, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой M на отрезки, длины которых равны 6 см и 16 см. Найти расстояние от точки M до центра окружности, если радиус окружности равен 14 см.

Свойство пересекающихся хорд окружностиДано : окружность (O; R), R=14 см, AB — хорда, M∈AB, AM=16 см, MB=6 см

Проведём через точку M диаметр CD.

Свойство пересекающихся хорд окружностиПо свойству отрезков пересекающихся хорд:

Пусть OM=x см (x>0). Так как радиус равен 14 см, то MD= (14-x) см, CM=(14+x) см.

Составим и решим уравнение:

Следовательно, расстояние от точки M до центра окружности равно 10 см.

В окружности проведены хорды AB и CD , пересекающиеся в точке F. Найти длину отрезка AC, если AF=6, DF=8, BD=20.

Свойство пересекающихся хорд окружностиДано : окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Свойство пересекающихся хорд окружности

В треугольниках AFC и BFD:

∠AFC=∠BFD (как вертикальные);

∠ACF=∠DBF (как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду AD).

Следовательно, треугольники AFC и BFD подобны (по двум углам). Поэтому

Видео:Свойства касательной, секущей и пересекающихся хорд окружностиСкачать

Свойства касательной, секущей и пересекающихся хорд  окружности

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Свойство пересекающихся хорд окружности

Видео:Задание 24 Свойство пересекающихся хордСкачать

Задание 24 Свойство пересекающихся хорд

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Свойство пересекающихся хорд окружности

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

Свойство пересекающихся хорд окружности

  1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
  2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
  3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
  4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
  5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
  6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
  7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Свойство пересекающихся хорд окружности

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Свойство пересекающихся хорд окружности

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Свойство пересекающихся хорд окружности

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Свойство пересекающихся хорд окружности

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Свойство пересекающихся хорд окружности

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Видео:теоренма об отрезках пересекающихся хордСкачать

теоренма об отрезках пересекающихся хорд

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

Свойство пересекающихся хорд окружности

  • Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
  • Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
  • Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

💥 Видео

Свойства хорд окружностиСкачать

Свойства хорд окружности

Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

теорема об отрезках пересекающихся хорд и еще несколько свойств окружностиСкачать

теорема об отрезках пересекающихся хорд и еще несколько свойств окружности

Математика ОГЭ Задание 24 Отрезки пересекающихся хордСкачать

Математика ОГЭ  Задание 24 Отрезки пересекающихся хорд

39. Теорема об отрезках пересекающихся хордСкачать

39. Теорема об отрезках пересекающихся хорд

Теорема о пероизведении отрезков пересекающихся хордСкачать

Теорема о пероизведении отрезков пересекающихся хорд

Геометрия 8 класс. Свойство пересекающихся хорд.Скачать

Геометрия 8 класс. Свойство пересекающихся хорд.

Пересекающиеся хорды окружности. Решишь задачу?Скачать

Пересекающиеся хорды окружности. Решишь задачу?

Геометрия для чайников 39 Свойство пересекающихся хорд Свойство касательной и секущейСкачать

Геометрия для чайников 39  Свойство пересекающихся хорд  Свойство касательной и секущей

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью
Поделиться или сохранить к себе: