Отрезки и прямые, связанные с окружностью |
Свойства хорд и дуг окружности |
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих |
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих |
Теорема о бабочке |
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать
Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Фигура | Рисунок | Определение и свойства | ||||||||||||||||||||||||||
Окружность | ||||||||||||||||||||||||||||
Круг | ||||||||||||||||||||||||||||
Радиус | ||||||||||||||||||||||||||||
Хорда | ||||||||||||||||||||||||||||
Диаметр | ||||||||||||||||||||||||||||
Касательная | ||||||||||||||||||||||||||||
Секущая |
Окружность |
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Хорда, проходящая через центр окружности.
Диаметр является самой длинной хордой окружности
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Видео:Пропорциональность отрезков хорд, касательных и секущих. Геометрия 9 классСкачать
Свойства хорд и дуг окружности
Фигура | Рисунок | Свойство |
Диаметр, перпендикулярный к хорде | Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. | |
Диаметр, проходящий через середину хорды | Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. | |
Равные хорды | Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. | |
Хорды, равноудалённые от центра окружности | Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. | |
Две хорды разной длины | Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. | |
Равные дуги | У равных дуг равны и хорды. | |
Параллельные хорды | Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. |
Диаметр, перпендикулярный к хорде |
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
У равных дуг равны и хорды.
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Фигура | Рисунок | Теорема | ||||||||||||||||
Пересекающиеся хорды | ||||||||||||||||||
Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||||||||||||||||||
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||||||||||||||||||
Секущие, проведённые из одной точки вне круга |
Пересекающиеся хорды | ||
Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||
Секущие, проведённые из одной точки вне круга | ||
Пересекающиеся хорды |
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Видео:#234. Формула Эйлера | Свойства отрезков хорд и секущихСкачать
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).
Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).
Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).
Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).
Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Видео:Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать
Теорема о бабочке
Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.
Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим
Воспользовавшись теоремой 1, получим
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим
Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство
откуда вытекает равенство
что и завершает доказательство теоремы о бабочке.
Видео:Свойства отрезков, хорд, секущих и касательных.Скачать
Свойство секущих
Теорема
Для каждой из секущих, проведённых из одной точки, произведение длины секущей на длину её внешней части есть величина постоянная.
Дано : окружность (O; R), AB и AC — секущие,
AB∩окр. (O; R)=F, AC∩окр. (O; R)=K
Рассмотрим треугольники ABK и ACF.
∠ABK=∠ACF (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу FK).
Следовательно, треугольники ABK и ACF подобны (по двум углам).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
По основному свойству пропорции:
Что и требовалось доказать.
II способ
1) Проведём отрезки FK и BC.
2) Так как четырёхугольник BFKC — вписанный в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180º:
∠BCK+∠BFK=180º. Следовательно, ∠BFK=180º-∠BCK.
3) ∠AFK+∠BFK=180º (как смежные). Отсюда,
4) Рассмотрим треугольники ABC и AKF.
У них ∠ACB=∠AFK (так как ∠AFK=∠BCK по доказанному), ∠A — общий угол. Следовательно, треугольники ABC и AKF — подобны (по двум углам).
Что и требовалось доказать .
При решении задач будем использовать свойство секущих, а также запомним полученные в ходе доказательства теоремы факты о подобии треугольников, образованных секущими. Причем подобие треугольников ABC и AKF можно доказывать как приведённым выше способом, так и опираясь на свойство секущих.
Видео:9 класс. Геометрия. Теорема о пропорциональности отрезков хорд и в секущих окружности. 22.05.2020.Скачать
Свойства касательных, секущих и хорд окружности. Радикальная ось
Факт 1.
(bullet) Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Факт 2.
(bullet) Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Факт 3.
(bullet) Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.
Факт 4.
(bullet) Если (OK) – касательная к окружности, где (K) – точка касания, (OB) – секущая, (A) и (B) – точки пересечения с окружностью, то
Факт 5.
(bullet) Если (OA) и (OB) – секущие к окружности, пересекающие повторно окружность в точках (B_1) и (A_1) соответственно, то
Факт 6.
(bullet) При пересечении хорд в окружности образуются две пары подобных треугольников.
Факт 7.
(bullet) Радикальная ось (AB) перпендикулярна линии (MN) центров двух пересекающихся окружностей.
(bullet) Отрезки (OK_1, OK_2, OK_3, OK_4) касательных, проведенных из точки (Oin AB) к обеим окружностям, равны.
🎥 Видео
Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать
Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать
Свойства отрезков хорд, касательных и секущих. Решение задач.Скачать
Секретная теорема из учебника геометрииСкачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Теорема о касательной и секущейСкачать
Свойства Касательных, Хорд, СекущихСкачать
Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать
Свойство секущей окружности из внешней точки.Скачать
Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать
Секущие в окружности и их свойство. Геометрия 8-9 классСкачать
Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать