Свойство отрезков секущих окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Свойство отрезков секущих окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Свойство отрезков секущих окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Свойство отрезков секущих окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Свойство отрезков секущих окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Свойство отрезков секущих окружностиТеорема о бабочке

Свойство отрезков секущих окружности

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьСвойство отрезков секущих окружности
КругСвойство отрезков секущих окружности
РадиусСвойство отрезков секущих окружности
ХордаСвойство отрезков секущих окружности
ДиаметрСвойство отрезков секущих окружности
КасательнаяСвойство отрезков секущих окружности
СекущаяСвойство отрезков секущих окружности
Окружность
Свойство отрезков секущих окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругСвойство отрезков секущих окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусСвойство отрезков секущих окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаСвойство отрезков секущих окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрСвойство отрезков секущих окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяСвойство отрезков секущих окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяСвойство отрезков секущих окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Пропорциональность отрезков хорд, касательных и секущих. Геометрия 9 классСкачать

Пропорциональность отрезков хорд, касательных и секущих. Геометрия 9 класс

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеСвойство отрезков секущих окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыСвойство отрезков секущих окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныСвойство отрезков секущих окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиСвойство отрезков секущих окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыСвойство отрезков секущих окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Свойство отрезков секущих окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыСвойство отрезков секущих окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыСвойство отрезков секущих окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиСвойство отрезков секущих окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныСвойство отрезков секущих окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиСвойство отрезков секущих окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыСвойство отрезков секущих окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойство отрезков секущих окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыСвойство отрезков секущих окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСвойство отрезков секущих окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСвойство отрезков секущих окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСвойство отрезков секущих окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойство отрезков секущих окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Пересекающиеся хорды
Свойство отрезков секущих окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Свойство отрезков секущих окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Свойство отрезков секущих окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Свойство отрезков секущих окружности
Пересекающиеся хорды
Свойство отрезков секущих окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Свойство отрезков секущих окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Видео:#234. Формула Эйлера | Свойства отрезков хорд и секущихСкачать

#234. Формула Эйлера | Свойства отрезков хорд и секущих

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Тогда справедливо равенство

Свойство отрезков секущих окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Свойство отрезков секущих окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Свойство отрезков секущих окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Свойство отрезков секущих окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Свойство отрезков секущих окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Свойство отрезков секущих окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать

Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Свойство отрезков секущих окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Свойство отрезков секущих окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Свойства отрезков, хорд, секущих и касательных.Скачать

Свойства отрезков, хорд, секущих и касательных.

Свойство секущих

Теорема

Для каждой из секущих, проведённых из одной точки, произведение длины секущей на длину её внешней части есть величина постоянная.

Свойство отрезков секущих окружностиДано : окружность (O; R), AB и AC — секущие,

AB∩окр. (O; R)=F, AC∩окр. (O; R)=K

Свойство отрезков секущих окружностиРассмотрим треугольники ABK и ACF.

∠ABK=∠ACF (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу FK).

Следовательно, треугольники ABK и ACF подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Свойство отрезков секущих окружности

По основному свойству пропорции:

Свойство отрезков секущих окружности

Что и требовалось доказать.

Свойство отрезков секущих окружностиII способ

1) Проведём отрезки FK и BC.

2) Так как четырёхугольник BFKC — вписанный в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180º:

∠BCK+∠BFK=180º. Следовательно, ∠BFK=180º-∠BCK.

3) ∠AFK+∠BFK=180º (как смежные). Отсюда,

Свойство отрезков секущих окружности4) Рассмотрим треугольники ABC и AKF.

У них ∠ACB=∠AFK (так как ∠AFK=∠BCK по доказанному), ∠A — общий угол. Следовательно, треугольники ABC и AKF — подобны (по двум углам).

Свойство отрезков секущих окружности

Что и требовалось доказать .

При решении задач будем использовать свойство секущих, а также запомним полученные в ходе доказательства теоремы факты о подобии треугольников, образованных секущими. Причем подобие треугольников ABC и AKF можно доказывать как приведённым выше способом, так и опираясь на свойство секущих.

Видео:9 класс. Геометрия. Теорема о пропорциональности отрезков хорд и в секущих окружности. 22.05.2020.Скачать

9 класс. Геометрия. Теорема о пропорциональности отрезков хорд и в секущих окружности. 22.05.2020.

Свойства касательных, секущих и хорд окружности. Радикальная ось

Факт 1.
(bullet) Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Свойство отрезков секущих окружности

Факт 2.
(bullet) Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Свойство отрезков секущих окружности

Факт 3.
(bullet) Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

Свойство отрезков секущих окружности

Факт 4.
(bullet) Если (OK) – касательная к окружности, где (K) – точка касания, (OB) – секущая, (A) и (B) – точки пересечения с окружностью, то

Свойство отрезков секущих окружности

Факт 5.
(bullet) Если (OA) и (OB) – секущие к окружности, пересекающие повторно окружность в точках (B_1) и (A_1) соответственно, то

Свойство отрезков секущих окружности

Факт 6.
(bullet) При пересечении хорд в окружности образуются две пары подобных треугольников.

Свойство отрезков секущих окружности

Факт 7.
(bullet) Радикальная ось (AB) перпендикулярна линии (MN) центров двух пересекающихся окружностей.
(bullet) Отрезки (OK_1, OK_2, OK_3, OK_4) касательных, проведенных из точки (Oin AB) к обеим окружностям, равны.

🎥 Видео

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Свойства отрезков хорд, касательных и секущих. Решение задач.Скачать

Свойства отрезков хорд, касательных и секущих. Решение задач.

Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теорема о касательной и секущейСкачать

Теорема о касательной и секущей

Свойства Касательных, Хорд, СекущихСкачать

Свойства Касательных, Хорд, Секущих

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

Свойство секущей окружности из внешней точки.Скачать

Свойство секущей окружности из внешней точки.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Секущие в окружности и их свойство. Геометрия 8-9 классСкачать

Секущие в окружности и их свойство. Геометрия 8-9 класс

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность
Поделиться или сохранить к себе: