Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Что такое касательная к окружности? Свойства касательной к окружности. Общая касательная к двум окружностям

Секущие, касательные — все это сотни раз можно было слышать на уроках геометрии. Но выпуск из школы позади, проходят года, и все эти знания забываются. Что следует вспомнить?

Видео:Внешняя касательная к двум окружностямСкачать

Внешняя касательная к двум окружностям

Сущность

Термин «касательная к окружности» знаком, наверное, всем. Но вряд ли у всех получится быстро сформулировать его определение. Между тем касательной называют такую прямую, лежащую в одной плоскости с окружностью, которая пересекает ее только в одной точке. Их может существовать огромное множество, но все они обладают одинаковыми свойствами, о которых речь пойдет ниже. Как нетрудно догадаться, точкой касания называют то место, где окружность и прямая пересекаются. В каждом конкретном случае она одна, если же их больше, то это будет уже секущая.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

История открытия и изучения

Понятие касательной появилось еще в древности. Построение этих прямых сначала к окружности, а потом к эллипсам, параболам и гиперболам с помощью линейки и циркуля проводилось еще на начальных этапах развития геометрии. Разумеется, история не сохранила имя первооткрывателя, но очевидно, что еще в то время людям были вполне известны свойства касательной к окружности.

В Новое время интерес к этому явлению разгорелся вновь — начался новый виток изучения этого понятия в сочетании с открытием новых кривых. Так, Галилей ввел понятие циклоиды, а Ферма и Декарт построили к ней касательную. Что же касается окружностей, кажется, еще для древних не осталось секретов в этой области.

Видео:Внутренняя касательная к двум окружностямСкачать

Внутренняя касательная к двум окружностям

Свойства

Радиус, проведенный в точку пересечения, будет перпендикулярен прямой. Это

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Из вышесказанного есть важное следствие. Для каждой точки окружности можно построить касательную, но при этом только одну. Доказательство этого достаточно просто: теоретически опустив на нее перпендикуляр из радиуса, выясняем, что образованный треугольник существовать не может. И это значит, что касательная — единственная.

Видео:Касательные к окружностиСкачать

Касательные к окружности

Построение

Среди прочих задач по геометрии есть особая категория, как правило, не

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Итак, даны окружность и точка, лежащая вне ее границ. И необходимо провести через них касательную. Как же это сделать? Прежде всего, нужно провести отрезок между центром окружности О и заданной точкой. Затем с помощью циркуля следует разделить его пополам. Чтобы это сделать, необходимо задать радиус — чуть более половины расстояния между центром изначальной окружности и данной точкой. После этого нужно построить две пересекающиеся дуги. Причем радиус у циркуля менять не надо, а центром каждой части окружности будут изначальная точка и О соответственно. Места пересечений дуг нужно соединить, что разделит отрезок пополам. Задать на циркуле радиус, равный этому расстоянию. Далее с центром в точке пересечения построить еще одну окружность. На ней будет лежать как изначальная точка, так и О. При этом будет еще два пересечения с данной в задаче окружностью. Именно они и будут точками касания для изначально заданной точки.

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Интересное

Именно построение касательных к окружности привело к рождению

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Кроме того, касательная к окружности связана с геометрическим смыслом тангенса. Именно от этого и происходит его название. В переводе с латыни tangens — «касательная». Таким образом, это понятие связано не только с геометрией и дифференциальным исчислением, но и с тригонометрией.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Две окружности

Не всегда касательная затрагивет лишь одну фигуру. Если к одной окружности можно провести огромное множество прямых, то почему же нельзя наоборот? Можно. Вот только задача в этом случае серьезно усложняется, ведь касательная к двум окружностям может проходить не через любые точки, а взаимное расположение всех этих фигур может быть очень

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Видео:Касательные к двум окружностям.Скачать

Касательные к двум окружностям.

Типы и разновидности

Когда речь идет о двух окружностях и одной или нескольких прямых, то даже если известно, что это касательные, не сразу становится ясно, как все эти фигуры расположены по отношению друг к другу. Исходя из этого, различают несколько разновидностей. Так, окружности могут иметь одну или две общие точки или не иметь их вовсе. В первом случае они будут пересекаться, а во втором — касаться. И вот тут различают две разновидности. Если одна окружность как бы вложена во вторую, то касание называют внутренним, если нет — то внешним. Понять взаимное расположение фигур можно не только, исходя из чертежа, но и располагая информацией о сумме их радиусов и расстоянии между их центрами. Если две эти величины равны, то окружности касаются. Если первая больше — пересекаются, а если меньше — то не имеют общих точек.

Так же и с прямыми. Для любых двух окружностей, не имеющих общих точек, можно

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Если речь идет об окружностях, которые имеют одну общую точку, то задача серьезно упрощается. Дело в том, что при любом взаимном расположении в этом случае касательная у них будет только одна. И проходить она будет через точку их пересечения. Так что построение трудности не вызовет.

Если же фигуры имеют две точки пересечения, то для них может быть построена прямая, касательная к окружности как одной, так и второй, но только внешняя. Решение этой проблемы аналогично тому, что будет рассмотрено далее.

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Решение задач

Как внутренняя, так и внешняя касательная к двум окружностям, в построении не так уж просты, хоть эта проблема и решаема. Дело в том, что для этого используется вспомогательная фигура, так что додуматься до такого способа самостоятельно

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Прежде всего, около центра большей окружности нужно построить вспомогательную. При этом на циркуле должна быть установлена разница между радиусами двух изначальных фигур. Из центра меньшей окружности строятся касательные к вспомогательной. После этого из О1 и О2 проводятся перепендикуляры к этим прямым до пересечения с изначальными фигурами. Как следует из основного свойства касательной, искомые точки на обеих окружностях найдены. Задача решена, по крайнем мере, ее первая часть.

Для того чтобы построить внутренние касательные, придется решить практически

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Касательная к окружности или даже двум и больше — не такая уж сложная задача. Конечно, математики давно перестали решать подобные проблемы вручную и доверяют вычисления специальным программам. Но не стоит думать, что теперь необязательно уметь делать это самостоятельно, ведь для правильного формулирования задания для компьютера нужно многое сделать и понять. К сожалению, есть опасения, что после окончательного перехода на тестовую форму контроля знаний задачи на построение будут вызывать у учеников все больше трудностей.

Что же касается нахождения общих касательных для большего количества окружностей, это не всегда возможно, даже если они лежат в одной плоскости. Но в некоторых случаях можно найти такую прямую.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Примеры из жизни

Общая касательная к двум окружностям нередко встречается и на практике, хоть это и не всегда заметно. Конвейеры, блочные системы, передаточные ремни шкивов, натяжение нити в швейной машинке, да даже просто велосипедная цепь — все это примеры из жизни. Так что не стоит думать, что геометрические задачи остаются лишь в теории: в инженерном деле, физике, строительстве и многих других областях они находят практическое применение.

Видео:Построение касательной двум окружностям внешнего касанияСкачать

Построение касательной двум окружностям внешнего касания

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностямВзаимное расположение двух окружностей
Свойства внутренних касательных к двум окружностямОбщие касательные к двум окружностям
Свойства внутренних касательных к двум окружностямФормулы для длин общих касательных и общей хорды
Свойства внутренних касательных к двум окружностямДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Видео:Построение общей внешней касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей внешней касательной к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиСвойства внутренних касательных к двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другойСвойства внутренних касательных к двум окружностям
Внешнее касание двух окружностейСвойства внутренних касательных к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностейСвойства внутренних касательных к двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точкахСвойства внутренних касательных к двум окружностямСвойства внутренних касательных к двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Свойства внутренних касательных к двум окружностям
Внешнее касание двух окружностей
Свойства внутренних касательных к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Свойства внутренних касательных к двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точках
Свойства внутренних касательных к двум окружностям
Свойства внутренних касательных к двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей
Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Внутренняя касательная к двум окружностямСвойства внутренних касательных к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностейСвойства внутренних касательных к двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точкахСвойства внутренних касательных к двум окружностям
Внешнее касание двух окружностейСвойства внутренних касательных к двум окружностям
Свойства внутренних касательных к двум окружностям
Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям
Свойства внутренних касательных к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Свойства внутренних касательных к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Свойства внутренних касательных к двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точках
Свойства внутренних касательных к двум окружностям
Внешнее касание двух окружностей
Свойства внутренних касательных к двум окружностям
Свойства внутренних касательных к двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Видео:Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямСвойства внутренних касательных к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностямСвойства внутренних касательных к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностейСвойства внутренних касательных к двум окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Внешняя касательная к двум окружностям
Свойства внутренних касательных к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Свойства внутренних касательных к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Видео:1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Видео:Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

Общие касательные

Выясним сколько общих касательных имеют две окружности и как эти общие касательные могут быть расположены.

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Если две окружности не пересекаются и окружность меньшего радиуса лежит внутри окружности большего радиуса, то они не имеют общих касательных.

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

В другом случае не пересекающиеся окружности имеют четыре общие касательные.

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

внешние общие касательные

При этом, если обе окружности лежат по одну сторону от касательной (в одной полуплоскости), то такая касательная называется внешней.

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

внутренние общие касательные

Если окружности лежат по разные стороны от общей касательной (в разных полуплоскостях), то такая касательная называется внутренней.

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Если две окружности имеют внутреннее касание, то у них есть одна общая касательная.

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

При внешнем касании две окружности имеют три общие касательные.

Свойства внутренних касательных к двум окружностям

Две пересекающиеся окружности имеют две общие касательные.

📺 Видео

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Построение касательной к окружности.Скачать

Построение касательной к окружности.

Свойства касательныхСкачать

Свойства касательных

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ. КАСАТЕЛЬНАЯ к окружности. §20 геометрия 7 классСкачать

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ. КАСАТЕЛЬНАЯ к окружности. §20 геометрия 7 класс

Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать

Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность |  Геометрия
Поделиться или сохранить к себе: