Свойства транзитивности параллельных прямых в пространстве (2 видео)

§3.3. Свойства параллельных прямых

Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Это свойство называется транзитивностью параллельности прямых.

Пусть прямые a и b одновременно параллельны прямой c. Допустим, что a не параллельна b, тогда прямая a пересекается с прямой b в некоторой точке A, не лежащей на прямой c по условию. Следовательно, мы имеем две прямые a и b, проходящие через точку A, не лежащую на данной прямой c, и одновременно параллельные ей. Это противоречит аксиоме 3.1. Теорема доказана.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Пусть (AB) данная прямая, C – точка, не лежащая на ней. Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости. Точка B лежит в одной из них. В соответствии с аксиомой 3.2 можно от луча СA отложить угол (ACD), равный углу (CAB), в другую полуплоскость. ∠ACD и ∠CAB – равные внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей (AC) Тогда в силу теоремы 3.1 (AB) || (CD). С учетом аксиомы 3.1 теорема доказана.

Свойство параллельных прямых задается следующей теоремой, обратной к теореме 3.1.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Пусть (AB) || (CD). Предположим, что ∠ACD ≠ ∠BAC. Через точку A проведем прямую AE так, что ∠EAC = ∠ ACD. Но тогда по теореме 3.1 (AE) || (CD), а по условию – (AB) || (CD). В соответствии с теоремой 3.2 (AE) || (AB). Это противоречит теореме 3.3, по которой через точку A, не лежащую на прямой CD, можно провести единственную прямую, параллельную ей. Теорема доказана.

Рис. 3.3.1. К теореме 3.4

На основании этой теоремы легко обосновываются следующие свойства.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие углы равны.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Понятие параллельности позволяет ввести следующее новое понятие, которое в дальнейшем понадобится в 11-й главе.

Два луча называются одинаково направленными, если существует такая прямая, что, во-первых, они перпендикулярны этой прямой, во-вторых, лучи лежат в одной полуплоскости относительно этой прямой.

Два луча называются противоположно направленными, если каждый из них одинаково направлен с лучом, дополнительным к другому.

Одинаково направленные лучи AB и CD будем обозначать: [ A B ) ↑ ↑ [ C D ) , а противоположно направленные лучи AB и CD – [ A B ) ↑ ↓ [ C D ) .

Рис. 3.3.2.

Содержание

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых
Геометрия
Параллельные прямые в пространстве
Параллельность трех прямых в пространстве
Параллельность прямой и плоскости
Параллельность плоскостей
🎥 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы дадим основные определения и теоремы на тему параллельных прямых в пространстве.
В начале урока рассмотрим определение параллельных прямых в пространстве и докажем теорему о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной. Далее докажем лемму о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость. И с ее помощью докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Геометрия

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Видео:10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

Параллельные прямые в пространстве

В 7 классе мы уже изучали параллельные прямые. При этом мы рассматривали только прямые, находящиеся на одной плоскости. Сформулируем определение параллельных прямых, которое используется в стереометрии.

Для обозначения параллельности прямых используется специальный символ «||». В частности, запись а||b означает, что а и b– это параллельные прямые.

Рассмотрим для наглядности пример.

На этом рисунке m||n. В свою очередь пары прямых р и m, р и n непараллельны, ведь у них есть общая точка. Прямые h и nтакже непараллельны, но по другой причине – они находятся в разных плос-тях (такие прямые называют скрещивающимися).

Напомним, что в геометрии параллельными могут быть не только прямые, но также отрезки и лучи. Для параллельности отрезков требуется, чтобы они находились на параллельных прямых. Аналогичное правило действует и в отношении лучей.

Докажем одну довольно простую теорему (для удобства мы будем их нумеровать, чтобы потом ссылаться на их номера).

Действительно, пусть в пространстве есть прямая m и точка А. Мы уже знаем, что через них можно провести плос-ть. Обозначим ее буквой α.

По аксиоме параллельности мы можем через А провести единственную прямую n, параллельную m, причем n будет находиться в α. Любая другая прямая в плос-ти α, проходящая через А, не может быть параллельной m, это будет противоречить аксиоме параллельности. Любая прямая, проходящая через А и не находящаяся в α, также не будет параллельна m, ведь в противном случае она по определению параллельности находилась бы с m в одной плос-ти, и тем самым получилось бы, что через m и А проведены две различные плос-ти, а это невозможно.

Заметим ещё один очевидный факт.

Существование такой плос-ти прямо вытекает из определения параллельности. Но нам надо показать, что эта плос-ть – единственная. Пусть есть прямые m и n, причем m||n. Отметим на m точку Р, а на n точки Н и К:

Если бы через m и n можно было провести более одной плос-ти, то каждая из них проходила бы через точки Р, Н и К. Однако через них можно провести лишь единственную плос-ть. Значит, и через m и n проходит лишь одна плос-ть, ч. т. д.

Доказанная теорема показывает, что параллельные прямые однозначно определяют (или задают) плос-ть, проведенную через них.

Докажем ещё одну теорему.

Доказательство. Пусть есть прямые m и n, и m||n. Прямая m пересекает плос-ть α некоторой точке М. Нам надо показать, что и n пересекает α. Проведем через m и nплос-ть β (это можно сделать по теор. 2). Точка M как часть прямой m будет ей принадлежать. Но она же принадлежит и α. Значит, у α и β есть общая точка, то есть они пересекаются. Тогда у них должна быть и общая прямая, которую мы обозначим буквой h:

Точка М должна находиться на прямой h, то есть m и h пересекаются в ней.Значит, h пересекает и прямую n. В противном случае получилось бы, чтобы через M проведено две прямые, h и m, каждая из которых была бы параллельна n. А это невозможно по теор. 1. Обозначим точку пересечения n и h буквой N. Оно будет общей для n и α.

Осталось лишь показать, что других общих точек у n и α нет. Действительно, если бы такая точка была, то вся прямая n должна бы принадлежать β. Тогда n стала бы общей прямой α и β, то есть совпала бы с р.Но р пересекается с m, а n – нет, то есть на самом деле это различные прямые. Получается, что α и n имеют единственную общую точку N, ч. т. д.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность трех прямых в пространстве

Напомним, что в планиметрии параллельные прямые обладали так называемым свойством транзитивности: если m||nи m||р, то и n||р. Оказывается, что это правило верно и в более общем случае, когда прямые находятся в пространстве, а не на единой плос-ти.

Это утверждение иногда именуют признаком параллельности прямых.

Доказательство. Пусть в пространстве располагаются прямые m,n и р, и р||n, а р||m. Надо доказать, что также m||n. То есть надо продемонстрировать, что m и n находятся в одной плос-ти, но не пересекаются. Отметим на n некоторую точку K и проведем через K и m плос-ть α.

Раз n и α имеют общую точку К, то либо n пересекает α, либо n полностью лежит в α. Предположим, что n и α пересекаются. Тогда с α также пересекается и р, ведь р||n(по теор. 3). Из этого вытекает (по всё той же теор. 3), что и m пересекает α, а это не так. Значит, n полностью находиться в α. Получается, что n и m в одной плос-ти.

Осталось показать, что n и m НЕ пересекаются. Действительно, если бы они пересеклись, то через точку их пересечения проходило бы сразу две прямых, параллельных р, что невозможно (по теор. 1). Значит, n и m НЕ пересекаются, а потому представляют собой пару параллельных прямых, ч. т. д.

Теперь мы можем рассмотреть одну интересную задачу.

Задание. В пространстве выбраны произвольные точки М, К, Н и Р, находящиеся в разных плос-тях. Далее отметили середины отрезков:

А – середина МК

В – середина КН

С – середина НР

D – середина РМ

Докажите, что эти середины находятся в одной плос-ти, и четырехугольник АВСD – это параллелограмм.

Решение. Напомним, что мы уже сталкивались с похожей задачей, когда рассматривали так называемый параллелограмм Вариньона. Здесь разница в том, что точки М, К, Н, Р находятся в разных плос-тях.

Сначала рассмотрим ∆НКР. В нем ВС – это средняя линия, ведь она соединяет середины НК и НР. Значит, ВС||РК. В ∆КМР средней линией будет являться AD, и поэтому AD|| КР. По свойству транзитивности (теор. 4) мы можем заключить, что ВС||АD. Это уже показывает, что эти два отрезка, а значит и их точки А, В, С и D, находятся в одной плос-ти, и потому АВСD– плоский четырехугольник.

Далее рассмотрим ∆РМН. Его средняя линия – это СD, поэтому CD||НМ. Аналогично из ∆КНМ можно получить, что АВ||НМ. Отсюда вытекает (по теор. 4), что CD||АВ. В итоге мы получили, что у четырехугольника АВСD противоположные стороны параллельны, и поэтому он по определению представляют собой параллелограмм.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Параллельность прямой и плоскости

Ранее мы изучили два случая взаимного расположения прямой и плос-ти. Первый случай возникает, если прямая с плос-тью имеют две общие точки. Тогда, по одной из аксиом стереометрии, вся прямая находиться в плос-ти.

Второй случай возникает, если прямая и плос-ть имеют строго одну общую точку. Тогда говорят, что они пересекаются.

Но возможен и третий случай – прямая и плос-ть вовсе не имеют общих точек. Тогда говорят, что прямая параллельна плоскости.

Для иллюстрации этого примера рассмотрим обычный куб:

Здесь плос-ть, проходящая через нижнюю грань АЕНD, параллельна отрезкам ВС, СG, GF и BF.

Существует теорема, которая представляет собой признак параллельности прямой и плоскости.

Действительно, пусть есть плос-ть α и прямая m, не лежащая в ней. Также в αесть такая прямая n, что m||n. Тогда через mbn можно провести некоторую плос-ть β (по теор. 2):

Так как n принадлежит обеим плос-тям, и α, и β, то она является их границей.Предположим, что у α и m есть хотя бы одна общая точка К. Тогда эта точка будет общей для α и β, то есть она будет находиться на их границе – прямой n. Но тогда получится, что в К пересекаются n и m. Это противоречие, из которого вытекает, что ни одной общей точки у α и m быть не может. Это как раз и значит, что они параллельны, ч. т. д.

Интересно, верно ли обратное утверждение? Вытекает ли из параллельности прямой m и плос-ти α тот факт, что в плос-ти обязательно найдется прямая, параллельная m? Оказывается, что да, и это легко продемонстрировать.

Возьмем такую прямую m и плос-ть α, что m||α. Далее выберем на α любую точку K и проведем через нее такую прямую n, что n||m (по теор. 1):

Раз n проходит через К, то она уже имеет общую точку с α. Тогда возможны лишь два варианта: либо n пересекает α, либо лежит в ней. Но вариант с пересечением на самом деле невозможен, ведь в этом случае и m также должна пересекать α (по теор. 3), а это не так. Значит, n полностью находиться на α.

В результате мы показали, что в α обязательно есть прямая, параллельная m. Более того, немного усложнив наши рассуждения, мы покажем, что таких прямых существует бесконечно много! Продолжим наше построение и проведем через К ещё одну прямую р, находящуюся в α. Она состоит из бесконечного количества различных точек. Через каждую из них мы можем провести прямую, параллельную n и лежащую в α (по аксиоме параллельности):

В силу свойства транзитивности (теор. 3) каждая такая прямая окажется параллельной не только n, но и m.

Вернемся к примеру с кубиком:

Мы уже говорили, что ребра ВС, СG, GF и FB параллельны грани АЕНD. Теперь мы можем строго доказать этот факт. Сначала напомним, что у куба каждая грань – это квадрат, а у него, в свою очередь, параллельны противоположные стороны. Например, АЕFB – квадрат, поэтому BF||АЕ. Но прямая АЕ находится в плос-ти АЕН. Так как плос-ть АЕН содержит прямую АЕ, параллельную BF, то BF||АЕН (по теор. 5). Аналогичное доказательство можно привести и для трех других ребер верхней грани ВСGF.

Докажем ещё пару важных теорем.

Проиллюстрируем теорему картинкой:

Доказать теорему очень просто. Прямые р и m находятся в одной плос-ти α. Если бы они пересекались в некоторой точке N, то она была бы общей для прямой m и плос-ти β, ведь р полностью находится в β. Но этой невозможно, ведь m||β. Значит, и р||m.

Действительно, если прямые m, n и плос-ть α соответствуют условиям теоремы, то n не может пересекать α, иначе и m также ее пересекало бы (по теор. 3). Значит, остаются только те два варианта, которые упомянуты в теореме.

Теперь мы можем ознакомиться с некоторыми задачами. Перед просмотром решения попытайтесь самостоятельно их решить.

Задание. Верно ли, что все прямые, пересекающие две параллельные прямые m и n, находятся в одной и той же плос-ти?

Решение.m и n как параллельные прямые лежат в единственной плос-ти α (теор. 2). Любая прямая, пересекающая m и n в каких-то точках M и N, уже имеет с α две общие точки – как раз M и N. Значит, она целиком принадлежит α. Таким образом, любые прямые, пересекающие m и n, будут располагаться в одной и той же плос-ти α.

Задание. Две смежные стороны параллелограмма пересекают плос-ть α. Каково взаимное положение этой плос-ти и двух других сторон этого параллелограмма?

Решение. Пусть в параллелограмме МНРК c α пересекаются стороны МН и НР. По определению параллелограмма МН||РК, а НР||КМ. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плос-ть, то и другая делает то же самое (по теор. 3). Поэтому РК и КМ ведут себя также, как МН и НР, то есть также пересекают α.

Задание. Через среднюю линию трапеции проведена плос-ть α. Могут ли основания трапеции пересечь эту же плос-ть?

Решение. Основания трапеции параллельны ее средней линии. Если бы они пересекли α, то и средняя линия обязательно пересекала бы α (по теор. 3), а это не так. Значит, основания никак не могут пересечься с α.

Задание. В пространстве через концы отрезка АВ и его середину (оно обозначается буквой М) построены параллельные прямые. Они пересекают плос-тьα в точках А₁, В₁ и М₁ соответственно. Известно, что А₁А = 5, В₁В = 7. Отрезок АВ с плос-тью не пересекается. Вычислите длину ММ₁.

Через параллельные прямые АА₁ и ММ₁ можно провести единственную плос-ть β (теор. 2). Прямая АВ имеет с β две минимум две общие точки – А и М. Значит, она полностью лежит в β, и тогда точка В также принадлежит β. Аналогично можно показать, что в β находятся прямая А₁В₁ и точка ВВ₁. Наконец, и прямая ВВ₁ располагается в β (по двум точкам – В и В₁). Тем самым мы можем утверждать, что АВВ₁А₁ – плоский четырехугольник, а именно трапеция, ведь ее основания АА₁ и ВВ₁ параллельны. ММ₁ будет средней линией в этой трапеции (так как она проходит через одну середину и боковой стороны и параллельна основаниям, в 8 классе мы выясняли, что этого достаточно для того, чтобы считать ММ₁ средней линией.).

Задание. Решите предыдущую задачу в случае, если отрезок АВ и плос-ть α пересекаются.

Решение. Аналогично предыдущей задаче мы можем показать, что все точки, фигурирующие в задаче, находятся в одной плос-ти β. Пусть АВ пересекается с α в некоторой точке С. Она будет общей для плос-тей α и β и потому будет находиться на их границе, то есть на прямой А₁В₁. Изобразим отдельно плос-ть β не в пространстве, а в плоском виде, без искажения:

Теперь нам надо просто решить планиметрическую задачу и найти ММ₁. ∆АА₁С,∆ВВ₁С и ∆ММ₁С подобны, ведь ∠ВСВ₁ и ∠А₁СА одинаковы как вертикальные углы, а

Для дальнейших рассуждений нам потребуется ещё один факт: М₁ – это середина А₁В₁. Он вытекает из теоремы Фалеса. Действительно, на прямой АВ отмечены одинаковые отрезки АМ и МВ (ведь М – середина АВ). Через их концы проведены параллельные прямые, которые, по теореме Фалеса, на любой другой прямой также отсекут равные отрезки. То есть можно записать:

У подобных треугольников ∆∆АА₁С и ∆ММ₁С стороны пропорциональны, поэтому мы можем записать:

Задание. m и n – прямые, не находящиеся в одной плос-ти. Существует ли прямая такая прямая р, что р||m и р||m?

Решение. Предположим, что р существует. Тогда она будет одновременно параллельна и m,и n. По свойству транзитивности (теор. 4) получается, что прямые m и n должны быть также параллельны друг другу. Но это невозможно, ведь они находятся в различных плос-тях. Из этого противоречия вытекает, что прямая р на самом деле не может существовать.

Задание. Докажите, что прямая, параллельная каждой из двух пересекающихся плос-тей, обязательно будет параллельна и линии их пересечения.

Пусть есть прямая m, плос-ти α и β, и m||α, m||β. Также пусть α и β пересекаются по прямой n. Отметим на n произвольную точку K. Далее проведем через К прямую, параллельную m (используя теор. 1), и обозначим ее как р. Каково будет положение р относительно плос-тей α и β? Ни одну из этих плос-тей она пересекать не может, ведь тогда бы такую плос-ть пересекала бы и m (по теор. 3). Также р не может быть параллельна плос-тям, ведь она уже имеет с ними общую точку. Остается один вариант – она полностью находится и в α, и в β. Но это значит, что р – общая прямая для α и β, то есть она совпадает с n. В итоге получилось, что n||m, ч. т. д.

Видео:10 класс - Геометрия - Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямыхСкачать

Параллельность плоскостей

В стереометрии параллельными могут быть не только две прямые, но и две плоскости.

В реальной жизни параллельны друг другу пол и потолок в квартире, противоположные грани кубика, задняя и передняя стенка шкафа.

Существует признак параллельности плоскостей.

Докажем этот признак. Пусть есть плос-ти α и β, и в α находятся прямые m и n, пересекающиеся в точке К. В свою очередь в β находятся прямые α₁ и β₁, их общая точка – это К₁. При этом m||m₁ и n||n₁:

Возможны два варианта: либо α и β пересекаются по некоторой прямой р, либо они параллельны. Рассмотрим вариант с пересечением. Заметим, что m и n параллельны плос-ти β (по теор. 5), ведь в β находятся параллельные им прямые. В таком случае и m, и n должны быть параллельны линии пересечения α и β, то есть прямой р (по теор. 7). Но тогда получится, что через точку К проведены сразу две прямые, параллельные р. Это невозможно (по теор. 1). Противоречие показывает, что на самом деле α и β не могут пересекаться, то есть они параллельны, ч. т. д.

Оказывается, что свойство транзитивности распространяется и на параллельные плос-ти:

Действительно, пусть есть три плос-ти α, β и γ, причем α||γ и β||γ. Надо продемонстрировать, что α||β. Для этого отметим на γ произвольную точку K и проведем через нее пересекающиеся прямые m и n. Далее отметим в α точку К₁, через которую построим прямые m₁ и n₁, причем так, чтобы m||m₁ и n||n₁ (это возможно по теор. 1). Аналогично через точку К₂, находящуюся на β, построим прямые m₂ и n₂ так, чтобы m||m₂ и n||n₂:

Легко заметить, что в силу свойства транзитивности (теор. 4) m₁||m₂, а n₁||n₂. Тогда получится, что в α и β есть пересекающиеся прямые, параллельные друг другу. Этого достаточно для того, чтобы считать α и β параллельными плос-тями (по теор. 9), ч. т. д.

Довольно очевиден следующий факт:

Докажем это. Возьмем плос-ть α и некоторую точку К, не находящуюся на α. Далее в α проведем какие-нибудь две пересекающиеся прямые m и n. Ясно, что мы можем через К провести такие прямые m₁ и n₁, что m₁||m и n₁||n (по теор. 1). Но любые две пересекающиеся прямые уже задают плос-ть. То есть мы можем провести плос-ть β через m₁и n₁. По признаку параллельности плос-тей (теор. 9) получаем, что α||β:

Осталось доказать, что через К нельзя провести ещё одну плос-ть γ, параллельную α. Действительно, если бы такая плос-ть γ существовала бы, то в силу свойства транзитивности (теор. 10) она была бы параллельна и β. Но у β и γ есть общая точка K, то есть они не параллельны. Значит, плос-ть γ не существует, ч. т. д.

Существует два свойства параллельных плос-тей. Сформулируем их и докажем:

В самом деле, если плос-ть γ пересекает плос-ти α и β, и α||β, то линии их пересечения не могут пересечься, ведь в противном случае у α и β будет общая точка. При этом линии пересечения находятся в одной плос-ти γ. Значит, они параллельны, ч. т. д.

Действительно, пусть параллельные плос-ти α и β пересекаются параллельными прямыми АD и ВС, причем А и В находятся на β, а С и D– на α. Тогда через AD и ВС можно провести плос-ть γ (по теор. 2), и прямые АВ и CD окажутся линиями пересечения:

Рассмотрим четырехугольник АВСD. АВ||CD(по теор. 11), а АD||ВС. Получается, что АВСD – это параллелограмм. Но у параллелограмма одинаковы противоположные стороны, поэтому AD = ВС, ч. т. д.

Рассмотрим несколько задач про параллельные плос-ти.

Задание. Докажите, что противоположные грани куба параллельны.

Решение. Построим куб и обозначим его вершины.

Покажем, что нижняя и верхняя грань (то есть плос-ти АЕН и ВFG) параллельны. Заметим, что в нижней грани располагаются пересекающиеся прямые АЕ и АD, а в верхней грани – также пересекающиеся прямые BF и ВС. При этом АЕ||BF (это противоположные стороны квадрата АЕFB) и AD||ВС (это уже стороны в квадрате АВСD). Из этого вытекает (по теор. 9), что АЕН||BFG, ч. т. д.

Задание. Даныплос-ти α и β, α||β. Верно ли, что любая прямая, находящаяся в α, будет параллельна β?

Решение. Плос-ти α и β не имеют ни одной общей точки. Значит, и любая прямая, располагающаяся в α, также не может иметь общих точек с β. А это как раз и значит, что прямая и плос-ть параллельны. То есть утверждение в условии задачи верно.

Задание. MNPQ и MNGF – параллелограммы, находящиеся в разных плос-тях. Докажите, что PQFG – это также параллелограмм.

Так как MNPQ и MNGF – параллелограммы, то MN||FG и MN||QP. По свойству транзитивности (теор. 4) получаем, что и QP||FG.

Также из свойств параллелограмма вытекает, что стороны MN и FG одинаковы, как и стороны MN и QP. Тогда должны быть одинаковы отрезки QP и FG:

Итак, в четырехугольнике PQFG стороны FG и PQ одновременно и параллельны, и равны. Тогда по одному из признаков параллелограмма PQFG оказывается именно этой фигурой, ч. т. д.

Задание. Отрезки А₁А₂, В₁В₂, С₁С₂ пересекаются в точке М, являющейся серединой каждого из этих отрезков. При этом отрезки не находятся в одной плос-ти. Верно ли, что плос-ти А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны?

Сравним ∆А₁В₁М и ∆А₂В₂М. ∠В₁МА₁ и ∠А₂М одинаковы, ведь они вертикальные. По условию также одинаковы стороны, прилегающие кэти углам: В₁М и В₂М; А₁М и А₂М. Отсюда вытекает, что ∆А₁В₁М и ∆А₂В₂М равны.

Равенство ∆А₁В₁М и ∆А₂В₂М означает, что одинаковы углы ∠А₁В₁М и А₂В₂М. Но эти углы являются накрест лежащими для прямых А₁В₁ и А₂В₂, если В₁В₂ рассматривать как секущую. Из равенства накрест лежащих углов делаем вывод о том, что отрезки А₁В₁ и А₂В₂ параллельны.

Аналогичным образом, сравнивая ∆А₁С₁М и ∆А₂С₂М, приходим к выводу и о параллельности отрезков А₁С₁ и А₂С₂. В итоге получается, что в плос-тях А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ есть пары пересекающихся отрезков, которые соответственно параллельны: А₁В₁||А₂В₂ и А₁С₁||А₂С₂. Отсюда делаем вывод, что плос-ти А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны (по теор. 9).

Задание. На плос-ти α построен ∆MPK. Через его вершины проведены параллельные друг другу прямые, которые пересекли другую плос-ть β в точках М₁, Р₁ и К₁ соответственно. Известно, что α||β. Докажите, что ∆МРК и ∆М₁Р₁К₁ равны.

Ясно, что точки М, К, М₁, К₁ находятся в единой плос-ти, ведь они располагаются на параллельных прямых. То есть МКК₁М₁ – это плоский четырехугольник. Попытаемся определить его тип.

Отрезки ММ₁ и М₁К₁ параллельны по условию, но они также и одинаковы, согласно одному из свойств параллельных плос-тей (теор. 12). Тогда МКК₁М₁ – это параллелограмм по его признаку. Но в параллелограмме одинаковы противоположные стороны, поэтому отрезки МК и М₁К₁ равны.

Аналогично рассматривая параллелограммы МРР₁М₁ и РКК₁Р₁, мы приходим к выводу о равенстве отрезков МР и М₁Р₁, РК и Р₁К₁. Тогда ∆МРК и ∆М₁Р₁К₁ оказываются равными по 3 одинаковым сторонам, ч. т. д.

Задание. Из точки H в пространстве проведены три прямые, пересекающие плос-ть α в точках M, Р, К, а другую плос-ть β в точках М₁, Р₁, К₁. Известно, что α||β и точки М, Р, К образуют треугольник. Докажите, что ∆МРК и ∆М₁Р₁К₁ подобны.

Ясно, что отрезки МК м М₁К₁ находятся в единой плос-ти, задаваемой пересекающимися отрезками НК и НМ. При этом прямые МК и М₁К₁ не могут пересечься (ведь они располагаются в параллельных плос-тях). Значит, МК||М₁К₁. Аналогично можно показать, что МР||М₁Р₁ и РК||Р₁К₁.

Теперь рассмотрим ∆НМК и ∆НМ₁К₁. У них есть общий ∠МНК, а ∠НМК и ∠НМ₁К₁ одинаковы как соответственные углы при параллельных МК и М₁К₁ и их секущей НМ₁. Значит, ∆НМК и ∆НМ₁К₁ подобны. Выразим их коэффициент подобия:

Аналогично можно убедиться, что подобны ∆НМ₁Р₁ и ∆НМР; ∆НР₁К₁ и ∆НРК. Причем их коэффициенты подобия будут такие же, как у пары ∆∆НМК и ∆НМ₁К₁. Так, для ∆НМ₁Р₁ и ∆НМР можно написать

Получили, что все стороны ∆МРК и ∆М₁Р₁К₁ пропорциональны друг другу. Согласно третьему признаку подобия мы можем заключить, что ∆МРК и ∆М₁Р₁К₁ подобны, ч. т. д.

В ходе сегодняшнего урока мы расширили понятие параллельности, распространив ее на прямые в пространстве и плос-ти. Параллельность тех или иных геометрических объектов постоянно встречается как в реальной жизни, так и в задачах. Особенно важно запомнить изученные нами признаки параллельности (теор. 5 и 9).