Свойства пересечения окружностей и треугольников

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Свойства пересечения окружностей и треугольниковСерединный перпендикуляр к отрезку
Свойства пересечения окружностей и треугольниковОкружность описанная около треугольника
Свойства пересечения окружностей и треугольниковСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Свойства пересечения окружностей и треугольниковДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Свойства пересечения окружностей и треугольников

Содержание
  1. Серединный перпендикуляр к отрезку
  2. Окружность, описанная около треугольника
  3. Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
  4. Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
  5. Окружность
  6. Основные термины
  7. Касательная
  8. Свойства касательной
  9. Хорда
  10. Свойства хорд
  11. Свойства окружности
  12. Теорема о касательной и секущей
  13. Теорема о секущих
  14. Углы в окружности
  15. Свойства углов, связанных с окружностью
  16. Длины и площади
  17. Вписанные и описанные окружности
  18. Окружность и треугольник
  19. Окружность и четырехугольники
  20. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  21. Типы треугольников
  22. По величине углов
  23. По числу равных сторон
  24. Вершины углы и стороны треугольника
  25. Свойства углов и сторон треугольника
  26. Теорема синусов
  27. Теорема косинусов
  28. Теорема о проекциях
  29. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  30. Медианы треугольника
  31. Свойства медиан треугольника:
  32. Формулы медиан треугольника
  33. Биссектрисы треугольника
  34. Свойства биссектрис треугольника:
  35. Формулы биссектрис треугольника
  36. Высоты треугольника
  37. Свойства высот треугольника
  38. Формулы высот треугольника
  39. Окружность вписанная в треугольник
  40. Свойства окружности вписанной в треугольник
  41. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  42. Окружность описанная вокруг треугольника
  43. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  44. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  45. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  46. Средняя линия треугольника
  47. Свойства средней линии треугольника
  48. Периметр треугольника
  49. Формулы площади треугольника
  50. Формула Герона
  51. Равенство треугольников
  52. Признаки равенства треугольников
  53. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  54. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  55. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  56. Подобие треугольников
  57. Признаки подобия треугольников
  58. Первый признак подобия треугольников
  59. Второй признак подобия треугольников
  60. Третий признак подобия треугольников

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Свойства пересечения окружностей и треугольников

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Свойства пересечения окружностей и треугольников

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Свойства пересечения окружностей и треугольников

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Свойства пересечения окружностей и треугольников

Свойства пересечения окружностей и треугольников

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Свойства пересечения окружностей и треугольников

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Свойства пересечения окружностей и треугольников

Свойства пересечения окружностей и треугольников

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства пересечения окружностей и треугольников

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Свойства пересечения окружностей и треугольников,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Свойства пересечения окружностей и треугольников

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Свойства пересечения окружностей и треугольниковВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаСвойства пересечения окружностей и треугольниковОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиСвойства пересечения окружностей и треугольниковЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиСвойства пересечения окружностей и треугольниковЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовСвойства пересечения окружностей и треугольников
Площадь треугольникаСвойства пересечения окружностей и треугольников
Радиус описанной окружностиСвойства пересечения окружностей и треугольников
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Свойства пересечения окружностей и треугольников

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаСвойства пересечения окружностей и треугольников

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиСвойства пересечения окружностей и треугольников

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиСвойства пересечения окружностей и треугольников

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиСвойства пересечения окружностей и треугольников

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовСвойства пересечения окружностей и треугольников

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Свойства пересечения окружностей и треугольников,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаСвойства пересечения окружностей и треугольников

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиСвойства пересечения окружностей и треугольников

Для любого треугольника справедливо равенство:

Свойства пересечения окружностей и треугольников

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Свойства пересечения окружностей и треугольников

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Свойства пересечения окружностей и треугольников

Свойства пересечения окружностей и треугольников.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Свойства пересечения окружностей и треугольников

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Видео:Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.Скачать

    Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.

    Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

    Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

    7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

    Типы треугольников

    По величине углов

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    По числу равных сторон

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

    Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

    Вершины углы и стороны треугольника

    Свойства углов и сторон треугольника

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    Сумма углов треугольника равна 180°:

    В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

    если α > β , тогда a > b

    если α = β , тогда a = b

    Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

    a + b > c
    b + c > a
    c + a > b

    Теорема синусов

    Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    a=b=c= 2R
    sin αsin βsin γ

    Теорема косинусов

    Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

    a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

    b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

    c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

    Теорема о проекциях

    Для остроугольного треугольника:

    a = b cos γ + c cos β

    b = a cos γ + c cos α

    c = a cos β + b cos α

    Формулы для вычисления длин сторон треугольника

    Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

    Медианы треугольника

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    Свойства медиан треугольника:

    В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

    Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

    Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

    Формулы медиан треугольника

    Формулы медиан треугольника через стороны

    ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

    mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

    mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

    Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

    Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

    Биссектрисы треугольника

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    Свойства биссектрис треугольника:

    Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

    Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

    Формулы биссектрис треугольника

    Формулы биссектрис треугольника через стороны:

    la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

    lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

    lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

    где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

    Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

    la = 2 bc cos α 2 b + c

    lb = 2 ac cos β 2 a + c

    lc = 2 ab cos γ 2 a + b

    Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

    🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shorts

    Высоты треугольника

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    Свойства высот треугольника

    Формулы высот треугольника

    ha = b sin γ = c sin β

    hb = c sin α = a sin γ

    hc = a sin β = b sin α

    Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

    Окружность вписанная в треугольник

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    Свойства окружности вписанной в треугольник

    Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

    r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

    Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

    Окружность описанная вокруг треугольника

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    Свойства окружности описанной вокруг треугольника

    Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

    R = S 2 sin α sin β sin γ

    R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

    Видео:Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

    Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника

    Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

    Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

    Построить описанную окружность (Задача 1)

    Средняя линия треугольника

    Свойства средней линии треугольника

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

    MN || AC KN || AB KM || BC

    Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Периметр треугольника

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

    Формулы площади треугольника

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    Формула Герона

    S =a · b · с
    4R

    Равенство треугольников

    Признаки равенства треугольников

    Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

    Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

    Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

    Подобие треугольников

    Свойства пересечения окружностей и треугольников

    ∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

    где k — коэффициент подобия

    Признаки подобия треугольников

    Первый признак подобия треугольников

    Второй признак подобия треугольников

    Третий признак подобия треугольников

    Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

    Добро пожаловать на OnlineMSchool.
    Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

    Поделиться или сохранить к себе: