Синусом угла а называется точки единичной окружности полученной поворотом

Единичная окружность

Что такое единичная окружность и как с ее помощью вводятся определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса?

Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координат окружность с центром в начале координат — точке O.

Синусом угла а называется точки единичной окружности полученной поворотом

Отметим на окружности точку P, лежащую на оси абсцисс справа от точки O.

Осуществим поворот радиуса OP около точки O на угол α в верхнюю полуплоскость.

При этом радиус OP займет положение OA. Говорят, что при повороте на угол альфа радиус OP переходит в радиус OA, а точка P переходит в точку точку A(x;y).

Синусом угла а называется точки единичной окружности полученной поворотом

Опустив перпендикуляр AB из точки A на ось Оx, получим прямоугольный треугольник OAB, в котором гипотенуза OA равна радиусу окружности, катеты AB и OB — ординате и абсциссе точки A: OA=R, AB=y, OB=x.

Катет AB — противолежащий углу AOB, равному α, катет OB — прилежащий.

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

Синусом угла а называется точки единичной окружности полученной поворотом

Таким образом, на окружности косинус угла α — это отношение абсциссы точки A окружности к радиусу этой окружности.

Аналогично, по определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

Синусом угла а называется точки единичной окружности полученной поворотом

Значит, синус угла α — это отношение ординаты точки A окружности к радиусу этой окружности.

Для окружности любого радиуса отношения x/R и y/R не зависят от величины радиуса, а зависят только от угла альфа. Поэтому удобно взять R=1. Для окружности единичного радиуса определение синуса и косинуса упрощаются:

Синусом угла а называется точки единичной окружности полученной поворотом

Синусом угла а называется точки единичной окружности полученной поворотом

Окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице, называется единичной окружностью.

Отсюда получаем определения синуса и косинуса на единичной окружности.

Синусом угла α называется ордината точки A единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.

Косинусом угла α называется абсцисса точки A единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.

Применив определения тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике в ∆AOB, получаем:

Синусом угла а называется точки единичной окружности полученной поворотом

Синусом угла а называется точки единичной окружности полученной поворотом

Синусом угла а называется точки единичной окружности полученной поворотом

Приходим к определению тангенса и котангенса на единичной окружности.

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки A единичной окружности к абсциссе этой точки.

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки A единичной окружности к ординате этой точки.

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

One Comment

Искала везде. Нигде нет такого подробного и понятного объяснения. Огромное Вам спасибо!

Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат Лекция

Тригонометрия: определение тригонометрических функций

Синусом угла а называется точки единичной окружности полученной поворотомВ этой статье мы рассмотрим тригонометрический круг и введем определения тригонометрических функций с помощью тригонометрического круга .

Впервые с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса школьники встречаются в восьмом классе в курсе геометрии. Напомню эти определения. Рассмотрим прямоугольный треугольник: Синусом угла а называется точки единичной окружности полученной поворотомСинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A=a/b; sin C=c/b

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A=c/b; cos C= a/b

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A=a/c; tg C=c/a.

Эти определения тригонометрических функций удобно использовать при решении геометрических задач, связанных с нахождением сторон и углов в прямоугольном треугольнике, однако они не улучшают понимания того, что из себя представляют тригонометрические функции именно как функции.

Часто во время занятий со школьниками я сталкиваюсь с тем, что они не понимают, откуда «взялись» тригонометрические функции, что они из себя представляют, и как их «готовить», чтобы легко решать уравнения и неравенства, содержащие тригонометрические функции.

Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, чтобы понять, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, как они между собой связаны, и как легко определять знаки тригонометрических функций без использования таблиц.

  • Косинусом угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.

    Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующеий данному углу α.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса (x), синус — ордината (y).

    Поскольку радиус окружности равен 1, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от −1 до 1:

    −1 ≤ cos α ≤ 1, −1 ≤ sin α ≤ 1.

    Основное тригонометрическое тождество является следствием теоремы Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

    sin 2 α+ cos 2 α = 1

    Чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу α, смотрим, положительны или отрицательны её координаты по x (это косинус угла α) и по y (это синус угла α).

    Купить видеокурс «ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и 13»

    Видео:Найти координаты точки единичной окружности полученной при повороте точки Ро(1;0) на угол π, 450°...Скачать

    Найти координаты точки единичной окружности полученной при повороте точки Ро(1;0) на угол π, 450°...

    Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

    Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

    Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

    Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

    Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

    Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

    Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

    Определения тригонометрических функций

    Синус угла ( sin α ) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

    Косинус угла ( cos α ) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    Тангенс угла ( t g α ) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

    Котангенс угла ( c t g α ) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

    Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

    Синусом угла а называется точки единичной окружности полученной поворотом

    В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

    Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

    Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

    Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

    Угол поворота

    Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от — ∞ до + ∞ .

    В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

    Синусом угла а называется точки единичной окружности полученной поворотом

    Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).

    Синус (sin) угла поворота

    Синус угла поворота α — это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y

    Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α = х

    Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x

    Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y

    Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , — 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

    Синус и косинус определены для любых углов α .

    Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )

    Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )

    При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

    Видео:Изобразить на единичной окружности точку.Скачать

    Изобразить на единичной окружности точку.

    Числа

    Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

    Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

    Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

    Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

    Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

    Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

    Начальная точка на окружности — точка A c координатами ( 1 , 0 ).

    Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

    Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

    Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

    Синус (sin) числа t

    Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

    Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

    Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

    Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

    Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?

    Тригонометрические функции углового и числового аргумента

    Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

    Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

    Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

    Основные функции тригонометрии

    Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

    Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

    Видео:В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...Скачать

    В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...

    Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

    Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

    Синусом угла а называется точки единичной окружности полученной поворотом

    Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

    В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

    sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

    Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

    Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

    📺 Видео

    Решение задач по теме "Поворот точки вокруг начала координат"Скачать

    Решение задач по теме "Поворот точки вокруг начала координат"

    Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать

    Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.

    Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать

    Как найти координаты точек на тригонометрической окружности

    Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

    Как искать точки на тригонометрической окружности.

    Точки, полученные поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на заданные углыСкачать

    Точки, полученные поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на заданные углы

    ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по Математике

    Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)Скачать

    Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)

    Алгебра 10 класс (Урок№31 - Знаки синуса, косинуса и тангенса.)Скачать

    Алгебра 10 класс (Урок№31 - Знаки синуса, косинуса и тангенса.)

    Алгебра 10 класс (Урок№30 - Определение синуса, косинуса и тангенса угла.)Скачать

    Алгебра 10 класс (Урок№30 - Определение синуса, косинуса и тангенса угла.)

    9 класс, 9 урок, Синус, косинус, тангенс, котангенсСкачать

    9 класс, 9 урок, Синус, косинус, тангенс, котангенс
  • Поделиться или сохранить к себе: